■河南省許昌高級中學 孫英環(huán)

考綱要求了解函數的單調性與導數的關系,能利用導數研究函數的單調性,會求函數的單調區(qū)間,會利用函數的單調性解決有關參數問題。函數的單調性與導數是高考考查的重點和熱點之一。下面對同學們在解決此類問題時經常失分的情況歸類總結,以防高考時再出現此類錯誤。

一、討論不含參函數的單調性

例1求f(x)=x3+的單調區(qū)間。

解析:函數f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),f＇(x)=3x2-。

令f＇(x)＞0,得x＜-1 或x＞1;令f＇(x)＜0,得-1＜x＜1,且x≠0。所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(-∞,-1),(1,+∞);單調遞減區(qū)間為(-1,0),(0,1)。

易錯點分析:(1)求函數的單調區(qū)間時,要在函數的定義域內討論,還要注意導數為0的點和函數的間斷點。(2)單調區(qū)間不能取并集,應該用“,”隔開或“和”字相連。

例2已知函數f(x)=,求f(x)的單調區(qū)間。

解析:f＇(x)=。

設h(x)=-lnx-1(x＞0),則h＇(x)=＜0。

所以h(x)在(0,+∞)上單調遞減。

由h(1)=0知,當0＜x＜1時,h(x)＞0,所以f＇(x)＞0;

當x＞1時,h(x)＜0,所以f＇(x)＜0。

所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1),單調遞減區(qū)間為(1,+∞)。

易錯點分析:不等式f＇(x)＞0的解集在定義域內的部分為f(x)的單調遞增區(qū)間;不等式f＇(x)＜0的解集在定義域內的部分為f(x)的單調遞減區(qū)間。本題不能直接解f＇(x)＞0,f＇(x)＜0,需構造函數再次求導才可求出單調區(qū)間。

二、討論含參函數的單調性

例3若函數f(x)=x--alnx(a∈R),試討論函數f(x)的單調性。

解析:函數f(x)的定義域為(0,+∞),f＇(x)=1+。

令g(x)=x2-ax+1,則對于x2-ax+1=0,Δ=a2-4。

(1)若-2≤a≤2,則Δ≤0,f＇(x)≥0,只有當a=2,x=1或a=-2,x=-1時,等號成立,故函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增。

(2)若a＜-2,則Δ＞0,g(x)=0 的兩根都小于0,g(x)在(0,+∞)上單調遞增,且g(x)＞1,f＇(x)＞0,故函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增。

(3)若a＞2,則Δ＞0,g(x)=0 的兩根為。

當0＜x＜x1時,f＇(x)＞0;當x1＜x＜x2時,f＇(x)＜0;當x＞x2時,f＇(x)＞0。故函數f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上單調遞增,在(x1,x2)上單調遞減。

綜上,當a≤2時,函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增;當a＞2 時,函數f(x)在上單調遞增,在上單調遞減。

易錯點分析:(1)利用導數討論函數的單調性,通常歸結為求含參不等式的解集問題。含參一元二次不等式問題是熱點,也是重點,著重考查分類討論思想,而對含有參數的不等式問題要針對具體情況進行討論,但要始終注意定義域及分類討論的標準。(2)此題中g(x)=x2-ax+1,需對Δ=a2-4中的a的取值進行分類討論,從而確定函數的單調性。

三、已知單調性求參數的取值范圍

例4已知函數f(x)=x2+(x≠0,常數a∈R),若f(x)在[2,+∞)上單調遞增,求a的取值范圍。

解析:f＇(x)=2x-,要使f(x)在[2,+∞)上單調遞增,則f＇(x)≥0在[2,+∞)上恒成立,即≥0 在[2,+∞)上恒成立。

因為x＞0,所以2x3-a≥0,所以a≤2x3在[2,+∞)上恒成立,所以a≤(2x3)min。

因為在[2,+∞)上y=2x3單調遞增,所以(2x3)min=16,所以a≤16。

當a=16時,f＇(x)=≥0(x∈[2,+∞)),有且只有f＇(2)=0。

所以a的取值范圍為a≤16。

易錯點分析:(1)由單調性可得f＇(x)≥0或f＇(x)≤0 在相應區(qū)間上恒成立,而不是f＇(x)＞0或f＇(x)＜0在相應區(qū)間上恒成立,即f＇(x)＞0(f＇(x)＜0)是函數f(x)在對應區(qū)間上單調遞增(單調遞減)的充分不必要條件。(2)對等號需單獨驗證說明,否則會扣分。

例5已知x=1是f(x)=2x++lnx的一個極值點。

(1)求函數f(x)的單調遞減區(qū)間;

(2)設函數g(x)=f(x)-,若函數g(x)在[1,2]內單調遞增,求實數a的取值范圍。

解析:(1)f(x)=2x++lnx的定義域為(0,+∞),f＇(x)=2-。

因為x=1是f(x)=2x++lnx的一個極值點,所以f＇(1)=0,即2-b+1=0,解得b=3,經檢驗,適合題意,所以b=3。

所以f＇(x)=2-。

令f＇(x)＜0,得0＜x＜1,所以函數f(x)的單調遞減區(qū)間為(0,1)。

(2)g(x)=f(x)-=2x+lnx-,g＇(x)=2+。

因為函數g(x)在[1,2]內單調遞增,所以g＇(x)≥0 在[1,2]上恒成立,即2+≥0在[1,2]上恒成立,所以a≥-2x2-x在[1,2]上恒成立,所以a≥(-2x2-x)max,x∈[1,2]。

因為在[1,2]上,(-2x2-x)max=-3,所以a≥-3。

所以實數a的取值范圍為[-3,+∞)。

易錯點分析:第(1)問求出b的值后要檢驗。第(2)問由g＇(x)≥0在[1,2]上恒成立,可利用分離參數或函數性質求解恒成立問題。

例6已知g(x)=2x+lnx-在區(qū)間[1,2]上不單調,求實數a的取值范圍。

解析:g＇(x)=2+。

因為函數g(x)在區(qū)間[1,2]上不單調,所以g＇(x)=0在區(qū)間(1,2)內有解,則a=-2x2-x=在(1,2)內有解,易知該函數在(1,2)上是減函數,所以a=-2x2-x的值域為(-10,-3),

所以實數a的取值范圍為(-10,-3)。

易錯點分析:若函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)上不單調,則可轉化為f＇(x)=0 在(a,b)上有解。

導數是研究函數單調性問題的重要工具,所以同學們需要掌握利用導數研究函數單調性相關問題的基本思路、基本運算技巧及運算法則。另外,數形結合思想、構造新函數、轉化思想可以化繁為簡,進而準確把握函數單調性的本質。含參一元二次不等式問題是高考考查的熱點,也是重點,著重考查分類討論思想,學習時要加強求解一元二次不等式的熟練度。