王健帆，谷麗瑤，冉小平

(西南交通大學(xué) 機械工程學(xué)院，四川 成都 610036)

1 引言

雙螺桿壓縮機憑借著工作效率和供風(fēng)質(zhì)量高等優(yōu)點，躋身于壓縮機市場中的主導(dǎo)地位[1]，被廣泛應(yīng)用于制動、制冷等工業(yè)范疇。轉(zhuǎn)子型線的設(shè)計是壓縮機性能改良的關(guān)鍵，已經(jīng)歷了三次革新[2]。其中，聯(lián)邦德國GHH公司開發(fā)的GHH新型不對稱型線呈流線型，使螺桿壓縮機的壓縮效率和絕熱效率有了顯著提高[3]。新的不對稱轉(zhuǎn)子型線具有密封性好、型線類型復(fù)雜和設(shè)計難度大等特點，盡管很多學(xué)者效仿GHH型線特點設(shè)計新型線，但至今都尚未有學(xué)者對此型線的設(shè)計機理進行公開詳細地解析。

為提高螺桿壓縮機的性能，學(xué)者們在型線設(shè)計等方面進行了深入研究，運用最為廣泛的是解析包絡(luò)法[4]。在此基礎(chǔ)上，邢子文利用常規(guī)傳統(tǒng)的解析包絡(luò)法對典型的不對稱型線以及進行設(shè)計推導(dǎo)，演示了轉(zhuǎn)子型線正向設(shè)計的一般過程，為型線的設(shè)計推導(dǎo)提供參考[2]。徐健將齒輪設(shè)計方法中的齒形法線法運用到螺桿轉(zhuǎn)子型線的推導(dǎo)中去。并利用此法對復(fù)盛型線進行了詳細推導(dǎo)，檢驗了齒形法線法[5]在螺桿型線推導(dǎo)中的方便有效性[6]。鑒于新的不對稱型線組成齒曲線及方程推導(dǎo)的復(fù)雜性，本文在對已有典型轉(zhuǎn)子型線研究的基礎(chǔ)上，通過對陰、陽轉(zhuǎn)子上組成齒曲線的旋轉(zhuǎn)變換，推導(dǎo)變換前后的齒曲線所對應(yīng)包絡(luò)條件的顯示變化關(guān)系，并得到變化關(guān)系式。將這個變化關(guān)系式稱為嚙合位置相關(guān)性，并基于此性質(zhì)改進型線設(shè)計的一般過程。最后利用改進的型線設(shè)計方法對GHH型線的構(gòu)型進行準確的解析與推導(dǎo)，并結(jié)合具體實例驗證設(shè)計方法的有效快捷性。

2 嚙合位置相關(guān)性

在型線推導(dǎo)的過程中，為了簡化包絡(luò)條件顯示關(guān)系的推導(dǎo)難度，建立如圖1所示齒曲線變換，設(shè)橢圓弧A2B2為陰轉(zhuǎn)子上的某段組成齒曲線，其參數(shù)方程為

(1)

圖1 橢圓弧A2B2的旋轉(zhuǎn)變換

(2)

(3)

將橢圓弧A2B2帶入解析包絡(luò)法求解共軛曲線A1B1，其中動坐標系O2x2y2變換到動坐標系O1x1y1的變換矩陣M12及動坐標系O1x1y1變換到動坐標系O2x2y2的變換矩陣M21分別為

(4)

(5)

得到包絡(luò)條件的顯示關(guān)系[7]

(6)

(7)

(8)

將橢圓弧A2B2帶入齒形法線法求解共軛曲線A1B1，得到橢圓弧A2B2的曲線參數(shù)t與橢圓弧A2B2所在陰轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角參數(shù)φ2的關(guān)系

(9)

(10)

(11)

式(8)與式(11)滿足φ2/φ1=i，表明2種正向設(shè)計的方法都滿足嚙合位置相關(guān)性的推導(dǎo)，也驗證了嚙合位置相關(guān)性的正確性。

圖2 改進后的型線設(shè)計流程圖

3 GHH型線曲線方程

3.1 GHH型線構(gòu)成

利用改進后的型線設(shè)計流程對GHH型線進行推導(dǎo)，典型GHH型線一對齒結(jié)構(gòu)如圖3所示，其型線各段組成如表1所示。

表1 GHH型線的組成曲線

根據(jù)GHH型線的構(gòu)成曲線段，圖3中的虛線為陰陽轉(zhuǎn)子的節(jié)圓(rj)，最外圍細實線為陰陽轉(zhuǎn)子齒頂圓(rt)，β1、β2、α1、α2分別表示陰、陽轉(zhuǎn)子齒前側(cè)、齒后側(cè)所夾的圓心角，并滿足

(12)

圖3 GHH型線構(gòu)成示意圖

3.2 AB和BC的曲線方程

對GHH陰轉(zhuǎn)子型線結(jié)構(gòu)進行分析，如圖4所示。圓心M為O1O2連線與陰轉(zhuǎn)子節(jié)圓線的交點，線段LMN垂直于A2O2于N，以M為圓心MC2為半徑的圓(OM)交MN于B2，以N為圓心a(A2N)為長軸、b(B2N)為短軸的橢圓(ON)與圓(OM)相切與B2，且圓(OM)與陽轉(zhuǎn)子齒頂圓(rt1)相切于C2點，橢圓(ON)與陰轉(zhuǎn)子齒頂圓(rt2)相切與A2點。

經(jīng)此幾何作圖后，得到A2B2型線所在橢圓方程與B2C2型線所在圓方程的相關(guān)參數(shù)為

(13)

故A2B2橢圓弧的參數(shù)方程為

(14)

以及B2C2圓弧的參數(shù)方程為

(15)

采用齒形法線法求解A1B1橢圓弧包絡(luò)線時，由于A2B2曲線段為傾斜的橢圓弧，考慮對其進行旋轉(zhuǎn)變換，結(jié)合圖1所示，旋轉(zhuǎn)矩陣的角度θ=β1。利用嚙合位置相關(guān)性并聯(lián)立式(2)、(7)和(8)求得

(16)

圖4 GHH陰轉(zhuǎn)子型線結(jié)構(gòu)分析

將A2B2段型線矩陣方程左乘式(4)并聯(lián)立式(16)，求得橢圓弧A2B2對應(yīng)的橢圓弧包絡(luò)線A1B1的方程為

(17)

圓弧B2C2為銷齒圓弧型線，其共軛曲線仍為圓弧并沿著整個圓弧段同時嚙合。陽轉(zhuǎn)子上的曲線B1C1為陰轉(zhuǎn)子上銷齒圓弧B2C2的共軛曲線。故B1C1圓弧包絡(luò)線的參數(shù)方程為

(18)

3.3 CD和DE的曲線方程

陽轉(zhuǎn)子上的C1點是坐標系O1x1y1上的固定點，其在O1x1y1上的坐標為(-|rt1|，0)，陰轉(zhuǎn)子上的擺線C2D2是陽轉(zhuǎn)子上C1點相嚙合的共軛曲線。由于無法滿足齒形法線法求解的條件，故點擺線的求解只能運用解析包絡(luò)法。將C1點矩陣方程左乘式(2)，可得C2D2擺線參數(shù)方程為

(19)

圓弧D2E2的圓心P在上齒邊界線O2E2上，D2和E2分別為圓OP、擺線C2D2與陰轉(zhuǎn)子的齒頂圓的G1連續(xù)點，且在連續(xù)點上一階導(dǎo)數(shù)值相等，于是建立方程組

(20)

(21)

解上述非線性方程組，可直接求得擺線C2D2方程與圓弧D2E2所在圓方程的相關(guān)參數(shù)

將求得的D2(xD2,yD2)點矩陣方程左乘式(5)可求得其對應(yīng)的共軛曲線C1D1的參數(shù)方程為

(23)

由式(22)可得D2E2圓弧的參數(shù)方程為

(24)

將圓弧D2E2進行旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)矩陣的角度θ=-β2。參考A1B1段橢圓弧包絡(luò)線求法，求得D1E1圓弧包絡(luò)線的方程為

(25)

3.4 GHH型線具體算例

取陽轉(zhuǎn)子齒數(shù)Z1=5，陰轉(zhuǎn)子齒數(shù)Z2=7，中心距A=206 mm，陽、陰轉(zhuǎn)子齒頂圓半徑rt1=131 mm、rt2=124 mm，可計算出以下參數(shù)見表2：

其中陰轉(zhuǎn)子型線設(shè)計的唯一邏輯為：先確定擺線C2D2以獲得D2點，再確定圓弧D2E2方程以獲得齒后角β2，進而得到齒前角β1，以及橢圓弧A2B2、圓弧B2C2的幾何參數(shù)，最終得到整個陰轉(zhuǎn)子型線的構(gòu)型。利用UG軟件曲線分析中的連續(xù)性和曲率梳對本文設(shè)計的陰轉(zhuǎn)子型線進行連續(xù)性分析如圖5所示，可得到陰轉(zhuǎn)子型線的連續(xù)性為G1連續(xù)，滿足螺桿轉(zhuǎn)子型線設(shè)計的要求，表明陰轉(zhuǎn)子設(shè)計的正確性。

表2 GHH型線算例相關(guān)參數(shù)

結(jié)合陰、陽轉(zhuǎn)子型線的構(gòu)成及型線結(jié)構(gòu)分析的結(jié)果，建立陰、陽轉(zhuǎn)子嚙合時的三維模型如圖6(a)所示，并獲得其空間嚙合線如圖6(b)所示。陽轉(zhuǎn)子對陰轉(zhuǎn)子的包絡(luò)過程如圖7所示，顯示嚙合過程無干涉現(xiàn)象，表明陽轉(zhuǎn)子型線推導(dǎo)的正確性[8]。

圖5 陰轉(zhuǎn)子型線的連續(xù)性

圖6 陰陽轉(zhuǎn)子的三維特征

4 結(jié)論

(1)利用齒曲線的旋轉(zhuǎn)變換，得到變換前后曲線參數(shù)和與其對應(yīng)的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角參數(shù)的變化關(guān)系，即嚙合位置相關(guān)性，并利用解析包絡(luò)法和齒形法線法驗證了嚙合位置相關(guān)性的正確性。

(2)利用嚙合位置相關(guān)性對雙螺桿壓縮機轉(zhuǎn)子型線設(shè)計過程進行改進，減小了新型不對稱型線中復(fù)雜組成齒曲線推導(dǎo)的困難，縮短了型線設(shè)計的時間成本。

(3)利用改進的型線設(shè)計過程以及方法推導(dǎo)出了GHH型線，精確揭示了GHH型線的構(gòu)造特點，為現(xiàn)代轉(zhuǎn)子型線的設(shè)計提供參考。