徐宏海，李旭光

（北方工業(yè)大學(xué)機(jī)械與材料工程學(xué)院，北京100144）

1 引言

RV減速器是由輸入級(jí)行星齒輪傳動(dòng)和輸出級(jí)行星擺線針輪傳動(dòng)組成的兩級(jí)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，采用中心圓盤支承結(jié)構(gòu)，具有傳動(dòng)比大、體積小、剛度大、承載能力大、傳動(dòng)精度和傳動(dòng)效率高等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)和數(shù)控機(jī)床傳動(dòng)裝置中［1-5］。

RV 減速器屬多齒嚙合傳動(dòng)，理論上有一半的齒參與嚙合。擺線輪是RV減速器的關(guān)鍵零件，其齒廓一般為短幅外擺線的等距線。擺線輪齒廓上同時(shí)參與嚙合的點(diǎn)的壓力角是變化的，壓力角的大小影響傳力性能，過大的壓力角會(huì)導(dǎo)致非常大的徑向力，從而影響RV減速器的使用壽命。

文獻(xiàn)［6］從擺線方程入手，研究分析齒廓參數(shù)對(duì)單齒嚙合壓力角的影響，未考慮齒廓修形參數(shù)影響及多齒嚙合平均壓力角的變化規(guī)律。文獻(xiàn)［7］應(yīng)用齒輪嚙合原理，建立擺線輪齒廓方程和單齒嚙合壓力角、多齒嚙合平均壓力角方程，仿真分析了設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)壓力角的影響規(guī)律，但未體現(xiàn)同時(shí)參與嚙合齒號(hào)的動(dòng)態(tài)變化情況，也未考慮擺線輪齒廓修形參數(shù)的影響。

這里根據(jù)擺線輪與針輪的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，導(dǎo)出擺線輪齒廓方程、單齒嚙合壓力角和多齒嚙合平均壓力角的計(jì)算公式，運(yùn)用Matlab編程，仿真分析同時(shí)參與嚙合齒號(hào)的變化規(guī)律及設(shè)計(jì)參數(shù)和修形參數(shù)對(duì)壓力角的影響規(guī)律。

2 擺線輪標(biāo)準(zhǔn)齒廓方程

與標(biāo)準(zhǔn)針輪嚙合、與針齒共軛且無嚙合間隙的擺線輪齒廓稱標(biāo)準(zhǔn)齒廓。選擇擺線輪幾何中心Oa為原點(diǎn)，與擺線輪齒槽對(duì)稱軸重合的軸線為y軸，如圖1所示，Ob為針輪幾何中心。假設(shè)擺線輪固定不動(dòng)，考慮RV 減速器最普遍使用的正一齒差傳動(dòng)情況（Zb－Za=1，Zb為針輪齒數(shù)，Za為擺線輪齒數(shù)），針齒初始位置與y軸重合，當(dāng)針輪繞Ob自轉(zhuǎn)θ時(shí)，針輪繞Oa公轉(zhuǎn)（平動(dòng)）的角度為Zbθ，則擺線輪的標(biāo)準(zhǔn)齒廓方程如下：

圖1 擺線輪齒廓曲線Fig.1 Cycloid Gear Tooth Profile Curve

式中：RZ—針齒中心分布圓半徑，mm；e—偏心距，mm；rZ—針齒半徑，mm；K—短幅系數(shù)，K=eZb/Rz；β—嚙合點(diǎn)公法線與x軸的夾角，Rad。

3 傳動(dòng)壓力角

RV傳動(dòng)屬多齒嚙合行星傳動(dòng)，如圖2所示。針輪繞Oa順時(shí)針公轉(zhuǎn)可看作是針輪固定、轉(zhuǎn)臂逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，故擺線輪順時(shí)針自轉(zhuǎn)。n為嚙合點(diǎn)A的法向矢量，τ為擺線輪齒廓上A點(diǎn)的切向矢量（τ⊥n），v為嚙合點(diǎn)A擺線輪自轉(zhuǎn)速度矢量，α為嚙合點(diǎn)A的壓力角，φ為OaA與x軸的夾角（傾角），AB∥x軸。

圖2 RV傳動(dòng)嚙合原理Fig.2 Engagement Theory of RV Transmission

根據(jù)圖2及擺線輪齒廓方程可求得0號(hào)針齒在嚙合點(diǎn)A（x，y）位置時(shí)的壓力角為［8］：

如圖2所示，擺線輪與針輪同時(shí)有多個(gè)嚙合點(diǎn)，針輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，y軸右側(cè)針齒與擺線輪之間有分離趨勢(shì)而沒有作用力存在，y軸左側(cè)針齒與擺線輪之間相嚙合傳動(dòng)而存在作用力與反作用力，因此理論上同時(shí)嚙合齒數(shù)為針齒數(shù)的一半（圖示位置為針齒號(hào)0，1，2，3，4，5，是動(dòng)態(tài)變化的）。對(duì)于兩擺線輪位置相差180°布置的RV減速器，為滿足擺線輪齒高等于2倍偏心距的安裝要求（一個(gè)擺線輪的齒根與針齒嚙合時(shí)，另一個(gè)擺線輪的齒頂與針齒嚙合），擺線輪的齒數(shù)必須為奇數(shù)［9］。因此對(duì)于一齒差傳動(dòng)，針輪齒數(shù)為偶數(shù)，同時(shí)嚙合齒數(shù)為整數(shù)。各針齒與擺線輪嚙合點(diǎn)相對(duì)于擺線輪齒根的初始位置是不同的，針齒（ii=1，2，...）與擺線輪的嚙合點(diǎn)初始位置與0號(hào)針齒相比，針輪多自轉(zhuǎn)了一個(gè)初始角度（2π/Za－2π/Zb）i，即針齒i嚙合點(diǎn)的壓力角等于0號(hào)針齒轉(zhuǎn)過（2π/Za－2π/Zb）i時(shí)的壓力角。若0號(hào)針齒的θ角為θ（0），則第i個(gè)針齒對(duì)應(yīng)的θ角為：

將式（4）代入式（3）得到第i個(gè)針齒與擺線輪嚙合點(diǎn)的壓力角α（iθ（i））。

各嚙合點(diǎn)壓力角的平均值為：

由于傳動(dòng)壓力角是力與速度方向所夾的銳角即α≤90°，因此按上述方法計(jì)算的壓力角α（iθ（i））>90°時(shí)，則不予統(tǒng)計(jì)（實(shí)際上此時(shí)針齒i不傳遞力）。

4 單齒嚙合壓力角的影響因素及規(guī)律

4.1 單齒嚙合壓力角

以圖2中0號(hào)齒為例，嚙合點(diǎn)從擺線輪齒根-齒頂-齒根的過程為一個(gè)嚙合周期。一個(gè)嚙合周期對(duì)應(yīng)的角度θ=360°/Za，各參數(shù)值：Rz=150mm，rz=15mm，e=8.75mm，Zb=12，Za=11。運(yùn)用matlab編程得到0號(hào)齒一個(gè)嚙合周期內(nèi)的壓力角變化規(guī)律，如圖3所示。0號(hào)齒從齒根到齒頂嚙合過程中的壓力角先減小后增大，且壓力角減小的速率大于增大的速率，在齒根和齒頂處壓力角α=90°，N點(diǎn)處壓力角最小α=43.6834°；后半周即齒頂-齒根嚙合過程的壓力角大于90°（不傳遞動(dòng)力），不納入分析。

圖3 單齒嚙合壓力角變化規(guī)律Fig.3 Variation of Single Tooth Meshing Pressure Angle

4.2 設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)單齒嚙合壓力角的影響

由式（1）～式（5）可知影響壓力角的主要參數(shù)有：Rz、rz、e。運(yùn)用MATLAB編程進(jìn)行仿真分析，得到0號(hào)齒一個(gè)嚙合周期內(nèi)各參數(shù)對(duì)壓力角的影響規(guī)律，如圖4～圖6所示。

由圖4～圖6可知：隨著偏心距e的增大和針齒分布圓半徑Rz的減小，單齒嚙合壓力角減小，壓力角最小值位置向齒根靠近，壓力角變化速率及幅度加??；由于短幅系數(shù)K=eZb/Rz，因此可歸結(jié)為單齒嚙合壓力角隨短幅系數(shù)的增大而減小。針齒半徑rz對(duì)單齒嚙合壓力角的影響很小，可以忽略不計(jì)。

圖4 偏心距e對(duì)單齒嚙合壓力角的影響Fig.4 Effect of Eccentricity on Pressure Angle for Single Tooth Meshing

圖5 針齒分布圓半徑Rz對(duì)單齒嚙合壓力角的影響Fig.5 Effect of Needle Tooth Distribution Circle Radius on Pressure Angle for Single Tooth Meshing

圖6 針齒半徑rz對(duì)單齒嚙合壓力角的影響Fig.6 Effect of Needle Tooth Radius on Pressure Angle for Single Tooth Meshing

5 多齒嚙合平均壓力角的影響因素及規(guī)律

5.1 多齒同時(shí)嚙合壓力角變化分析

以圖3相同設(shè)計(jì)參數(shù)為例，運(yùn)用MATLAB編程和仿真，得到一個(gè)嚙合周期內(nèi)多齒同時(shí)嚙合壓力角的變化規(guī)律圖，如圖7所示。

圖7 多齒同時(shí)嚙合壓力角變化規(guī)律Fig.7 Variation of Pressure Angle of Multiple Teeth Simultaneous Meshing

由圖7可知：一個(gè)嚙合周期內(nèi)，在任意θ位置處，同時(shí)嚙合齒數(shù)為6（等于Zb/2），從圖2所示初始位置開始，同時(shí)嚙合針齒號(hào)依次為0～5、11和0～4、10～11和0～3、9～11和0～2、8～11和0～1、7～11和0、6～11、5～10、4～9、3～8、2～7、1～6，接著開始下一個(gè)循環(huán)。不同針齒參與嚙合時(shí)的壓力角變化規(guī)律、周期與0號(hào)針齒一樣，但初相位與0號(hào)針齒相差（2π/Za－2π/Zb）i，（i=1，2，...，11）。

一個(gè)嚙合周期內(nèi)的多齒嚙合平均壓力角變化規(guī)律，如圖8所示。平均壓力角呈周期性變化，一個(gè)周期對(duì)應(yīng)的角度θ=360°/（Za×Zb）。

圖8 多齒嚙合平均壓力角變化規(guī)律Fig.8 Variation of Average Pressure Angle of Multiple Teeth Meshing

5.2 設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)多齒嚙合平均壓力角的影響

Rz、rz、e對(duì)多齒嚙合平均壓力角的影響，如圖9～圖11所示。

圖9 針齒分布圓半徑Rz對(duì)多齒嚙合平均壓力角的影響Fig.9 Effect of Needle Tooth Distribution Circle Radius on Average Pressure Angle for Multiple Teeth Meshing

圖10 偏心距e對(duì)多齒嚙合平均壓力角的影響Fig.10 Effect of Eccentricity on Average Pressure Angle For Multiple Teeth Meshing

圖11 針輪半徑rz對(duì)多齒嚙合平均壓力角的影響Fig.11 Effect of Needle Tooth Radius on Average Pressure Angle for Multiple Teeth Meshing

由圖9～圖11 可知：多齒嚙合平均壓力角隨Rz的減小而減小、隨e的增大而減小，即隨短幅系數(shù)的增大而減??；隨著rz的增大，平均壓力角略有減小；平均壓力角變化幅值隨Rz的增大而減小、隨e的增大而增大。隨rz的增大，平均壓力角變化幅值略有增加；當(dāng)θ=i×360°（/Za×Zb），i=0，1，2，…時(shí)平均壓力角最大，θ=i×360°（/Za×Zb×2），i=1，2，3，…時(shí)平均壓力角最小。

6 齒廓修形對(duì)傳動(dòng)壓力角的影響

6.1 考慮修形參數(shù)的擺線輪齒廓方程

擺線輪通常采用以下三種修形方式［10］：

（1）等距修形。在修磨擺線輪時(shí)，將磨輪半徑rz增加（正等距）或減少（負(fù)等距）△rz，磨出的擺線輪齒廓是標(biāo)準(zhǔn)齒廓的法向等距曲線。（2）移距修形。修磨擺線輪時(shí)，使磨輪與擺線輪間的中心距（即R）z增加（負(fù)移距）或減少（正移距）△Rz。（3）轉(zhuǎn)角修形。修磨擺線輪時(shí)，磨輪中心相對(duì)于擺線輪中心偏轉(zhuǎn)△θ角。

根據(jù)擺線輪齒廓成形及修形方式原理，結(jié)合式（1）～式（2）得到考慮修形參數(shù)時(shí)的擺線輪齒廓方程：

6.2 修形參數(shù)對(duì)傳動(dòng)壓力角的影響

運(yùn)用MATLAB編程，仿真分析移距修形量△Rz、等距修形量△rz、轉(zhuǎn)角修形量△θ對(duì)單齒嚙合壓力角的影響，如圖12～圖14所示。

圖12 移距修形量△Rz對(duì)單齒嚙合壓力角的影響Fig.12 Effect of Displacement Modification on Pressure Angle for Single Tooth Meshing

圖13 等距修形量△rz對(duì)單齒嚙合壓力角的影響Fig.13 Effect of Iisometric Shape Modification on Pressure Angle for Single Tooth Meshing

圖14 轉(zhuǎn)角修形量△θ對(duì)單齒嚙合壓力角的影響Fig.14 Effect of Angle Modification on Pressure Angle for Single Tooth Meshing

由圖12～圖14可知：移距修形和等距修形對(duì)壓力角的影響都甚微，壓力角隨正移距修形量和正等距修形量的增大而略微減小，隨負(fù)移距修形量及負(fù)等距修形量的增大而略微增大，齒根和齒頂處的壓力角不變，仍為90°。轉(zhuǎn)角修形對(duì)壓力角無影響。擺線輪齒廓修形對(duì)壓力角的影響可以忽略不計(jì)，修形的主要目的在于產(chǎn)生形成油膜所需的嚙合間隙，改善潤(rùn)滑狀況。

7 結(jié)論

（1）RV傳動(dòng)的壓力角呈周期性變化，一個(gè)嚙合周期對(duì)應(yīng)的針輪自轉(zhuǎn)角度θ=360°/Za。一個(gè)嚙合周期內(nèi)，單齒嚙合壓力角變化一次，多齒嚙合平均壓力角變化Zb次。

（2）增大偏心距、減小針齒分布圓半徑、增大針齒半徑，均可使壓力角減小。壓力角變化幅值隨Rz的增大而減小，隨e的增大而增大，隨rz的增大略有增加。偏心距對(duì)壓力角的影響最大，針齒分布圓半徑其次，針齒半徑影響最小。因此在設(shè)計(jì)擺線輪機(jī)構(gòu)各參數(shù)時(shí)，應(yīng)主要考慮偏心距、針齒分布圓半徑兩個(gè)因素（即短幅系數(shù)）的影響。

（3）RV傳動(dòng)同時(shí)嚙合齒數(shù)為針齒數(shù)的一半，在傳動(dòng)過程中，不同針齒依次輪換，參與嚙合傳力。從針輪轉(zhuǎn)動(dòng)方向看，當(dāng)嚙合點(diǎn)位于擺線輪齒廓的齒根-齒頂之間時(shí)，針齒與擺線輪之間存在嚙合力；當(dāng)嚙合點(diǎn)位于擺線輪齒廓的齒頂-齒根之間時(shí)，針齒與擺線輪之間無嚙合力。

（4）移距修形和等距修形對(duì)壓力角的影響很小，轉(zhuǎn)角修形對(duì)壓力角無影響。