王 君，陶 芬，姜榮俊，汪 泉

（湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)器人技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430068）

1 引言

齒輪五桿機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，是種類最多、應(yīng)用最廣的一種組合機(jī)構(gòu)，它由定傳動(dòng)比的齒輪機(jī)構(gòu)與變傳動(dòng)比的連桿機(jī)構(gòu)組合而成，可實(shí)現(xiàn)較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和軌跡，改變齒輪傳動(dòng)比即可調(diào)整從動(dòng)桿的運(yùn)動(dòng)規(guī)律或軌跡［2］。因此，研究齒輪鏈對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的影響具有非常重要的理論意義及價(jià)值。

齒輪鏈包括傳動(dòng)比及初相角兩個(gè)參數(shù)，許多文獻(xiàn)［1-5］通過(guò)改變其中一個(gè)參數(shù)，討論了齒輪五桿機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)比和相位角分別對(duì)機(jī)構(gòu)軌跡曲線的影響，這種方法得到的結(jié)果具有局限性。考慮到齒輪鏈兩個(gè)參數(shù)同時(shí)改變對(duì)機(jī)構(gòu)軌跡曲線的影響，先研究只改變一個(gè)參數(shù)時(shí)，機(jī)構(gòu)軌跡曲線的變化規(guī)律，再結(jié)合兩個(gè)參數(shù)同時(shí)變化時(shí)機(jī)構(gòu)軌跡曲線的變化規(guī)律，進(jìn)行對(duì)比，可得出傳動(dòng)比和初相角對(duì)機(jī)構(gòu)軌跡曲線的影響規(guī)律。在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)、綜合及應(yīng)用中，機(jī)構(gòu)的可動(dòng)性識(shí)別不僅能幫助機(jī)構(gòu)進(jìn)行連續(xù)平滑的運(yùn)動(dòng)，避免運(yùn)動(dòng)缺陷，還能幫助提高機(jī)械產(chǎn)品設(shè)計(jì)的效率和經(jīng)濟(jì)性［7］。機(jī)構(gòu)可動(dòng)性［8］有三個(gè)主要問(wèn)題，即分支，子分支和完全旋轉(zhuǎn)性。運(yùn)動(dòng)缺陷指的是兩個(gè)分支之間，機(jī)構(gòu)不能通過(guò)連續(xù)運(yùn)動(dòng)所達(dá)到的位置［7］。運(yùn)用判別法［8］來(lái)分析齒輪五桿機(jī)構(gòu)的可動(dòng)性，識(shí)別了機(jī)構(gòu)的分支、子分支及完全旋轉(zhuǎn)性，分析了齒輪鏈中的傳動(dòng)比和初相角參數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)可動(dòng)性［8］的影響，提出了在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)和綜合過(guò)程中將無(wú)分支點(diǎn)作為完全旋轉(zhuǎn)性約束條件，來(lái)避免運(yùn)動(dòng)缺陷和運(yùn)動(dòng)不連續(xù)。針對(duì)不具有完全旋轉(zhuǎn)性的齒輪五桿機(jī)構(gòu)，提出通過(guò)改變傳動(dòng)比及初相角的值來(lái)糾正分支。

2 齒輪鏈與軌跡曲線研究

2.1 齒輪五桿機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型

齒輪五桿機(jī)構(gòu)，設(shè)連桿長(zhǎng)度為a（ii=1..5），桿件對(duì)應(yīng)的角度為θ（ii=1..5），a1為機(jī)架，主動(dòng)齒輪2和從動(dòng)齒輪5分別固接于五桿機(jī)構(gòu)的曲柄AB和曲柄DE上，約束了五桿機(jī)構(gòu)的1個(gè)自由度，組合成了單自由度齒輪五桿機(jī)構(gòu)，如圖1所示。各桿與x軸正方向的夾角以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?/p>

圖1 齒輪五桿機(jī)構(gòu)Fig.1 Geared Five-Bar Linkage

齒輪約束一般為：θ2-θ20=n(θ5-θ50)

式中：θ20、θ50—曲柄2和曲柄5的初相角；n—齒輪傳動(dòng)比。

當(dāng)θ20=0，θ50=α?xí)r，齒輪約束可表示為：

五桿機(jī)構(gòu)的環(huán)方程為：

將式（2）向x和y方向投影得到位移方程：

各桿尺寸一定，當(dāng)輸入桿a2旋轉(zhuǎn)到某個(gè)角度θ2時(shí)，輸出桿轉(zhuǎn)角θ5可通過(guò)齒輪約束（1）求解，而連桿a3、a4的轉(zhuǎn)角θ3、θ4可根據(jù)矢量式（3）、式（4）求解，這是解析法的基本思路。

但解析法計(jì)算過(guò)程繁瑣且不直觀，而利用Matlab中的fsolve函數(shù)可以很方便地求解，fsolve函數(shù)相當(dāng)于對(duì)矢量方程等式左邊就目標(biāo)值0尋優(yōu)求值，表達(dá)式為［6］：

當(dāng)輸入桿a2以一定的規(guī)律運(yùn)動(dòng)時(shí)，C點(diǎn)的坐標(biāo)值（xC，yC）受到輸入桿尺寸a2及其轉(zhuǎn)角θ2、連桿尺寸a3及其轉(zhuǎn)角θ3的控制，其關(guān)系式為：

當(dāng)a2、a3的值固定時(shí)，C點(diǎn)的坐標(biāo)值（xC，yC）僅受輸入角θ2、連桿轉(zhuǎn)角θ3的影響，而θ3可由式（3）、式（4）聯(lián)立求解獲得，即C點(diǎn)坐標(biāo)僅與θ2有關(guān)，每一個(gè)θ2值都對(duì)應(yīng)了一個(gè)C點(diǎn)的坐標(biāo)值，取k個(gè)θ2值可得到k個(gè)C點(diǎn)坐標(biāo)，只要C點(diǎn)坐標(biāo)足夠多，即k足夠大，Matlab就可將C點(diǎn)坐標(biāo)擬合成一條軌跡曲線。

而θ2的取值則受齒輪鏈的約束，因此，C點(diǎn)的軌跡曲線受齒輪鏈的影響，而齒輪鏈中包含傳動(dòng)比及初相角參數(shù)。

考慮到齒輪鏈兩個(gè)參數(shù)同時(shí)改變對(duì)機(jī)構(gòu)軌跡曲線的影響，先研究只改變一個(gè)參數(shù)時(shí)，機(jī)構(gòu)軌跡曲線的變化規(guī)律，再結(jié)合兩個(gè)參數(shù)同時(shí)變化時(shí)機(jī)構(gòu)軌跡曲線的變化規(guī)律，進(jìn)行對(duì)比，可得出傳動(dòng)比和初相角對(duì)機(jī)構(gòu)軌跡曲線的影響規(guī)律。

2.2 傳動(dòng)比對(duì)軌跡曲線的影響

取a1=80，a2=a5=30，a3=a4=70，兩初相角θ20=θ50=0，當(dāng)兩齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反時(shí)，改變齒輪傳動(dòng)比大小，取n=1，2，3，4，5，6整數(shù)。在傳動(dòng)比變化的過(guò)程中，C點(diǎn)軌跡曲線的形狀由簡(jiǎn)單的8字形變?yōu)閺?fù)雜的編織形狀，并且傳動(dòng)比的數(shù)值越大，曲線的彎折次數(shù)越多，圖形越復(fù)雜，如圖2所示。

圖2 傳動(dòng)比對(duì)軌跡曲線的影響Fig.2 Influence of Gear Ratio on Trajectory Curve

2.3 初相角對(duì)軌跡曲線的影響

取傳動(dòng)比為n=1，各桿長(zhǎng)度保持不變，主動(dòng)曲柄的初相角θ20=0，只改變從動(dòng)曲柄的初相角α，C點(diǎn)的軌跡曲線的變化，如圖3所示。α由0向π變化時(shí)，C點(diǎn)的軌跡曲線由水平8字形逐漸變化為豎直的直線形狀［1］；并且在α=(0～π)和α=(π～2π)的變化過(guò)程中，軌跡變化關(guān)于α=π處的直線對(duì)稱。

圖3 n=1時(shí)初相角對(duì)軌跡曲線的影響Fig.3 Influence of Initial Phase Angle on Trajectory Curve when n=1

隨著初相角的變化，C點(diǎn)的軌跡曲線發(fā)生了變化，并且變化是對(duì)稱的，除此之外沒(méi)有明顯的變化規(guī)律。

2.4 傳動(dòng)比及初相角對(duì)軌跡曲線的影響規(guī)律

前文研究齒輪鏈中的單個(gè)參數(shù)對(duì)軌跡曲線的影響，可以看出，單個(gè)參數(shù)對(duì)C點(diǎn)軌跡曲線有影響，但卻沒(méi)有明顯的規(guī)律。改變初相角的同時(shí)也改變傳動(dòng)比，對(duì)軌跡曲線的變化進(jìn)行歸納：取傳動(dòng)比為2，各桿長(zhǎng)度保持不變，主動(dòng)曲柄的初相角θ20=0，只改變從動(dòng)曲柄的初相角α，C點(diǎn)的軌跡曲線，如圖4所示。取傳動(dòng)比為3，各桿長(zhǎng)度保持不變，主動(dòng)曲柄的初相角θ20=0，只改變從動(dòng)曲柄的初相角α，C點(diǎn)的軌跡曲線，如圖5所示。

圖4 n=2時(shí)初相角對(duì)軌跡曲線的影響Fig.4 Influence of Initial Phase Angle on Trajectory Curve when n=2

圖5 n=3時(shí)初相角對(duì)軌跡曲線的影響Fig.5 Influence of Initial Phase Angle on Trajectory Curve when n=3

對(duì)比圖2與圖3，當(dāng)n=1時(shí)，C點(diǎn)軌跡曲線在α=0和α=2π時(shí)完全相同，說(shuō)明α=(0～2π)為一個(gè)變化周期。

對(duì)比圖2與圖4，當(dāng)n=2時(shí)，C點(diǎn)軌跡曲線在α=0和α=π、α=2π時(shí)完全相同，并且在α=π/3和α=4π/3時(shí)完全相同，說(shuō)明α=(0～π)為一個(gè)最小變化周期。

對(duì)比圖2 與圖5，當(dāng)n=3 時(shí)，C點(diǎn)的軌跡曲線在α=0 和α=2π/3、α=4π/3、α=2π 時(shí)完全相同，并且在α=π/3 和α=π、α=5π/3時(shí)完全相同，說(shuō)明α=(0～2π/3)為一個(gè)最小變化周期。

由此總結(jié)出C點(diǎn)軌跡曲線的變化規(guī)律：當(dāng)傳動(dòng)比為n時(shí)，初相角α=(0～2π/n)為C點(diǎn)軌跡變化的最小周期，即在同一傳動(dòng)比下，初相角相差2π/n的軌跡曲線完全相同。

3 齒輪五桿機(jī)構(gòu)可動(dòng)性分析

3.1 齒輪五桿機(jī)構(gòu)的環(huán)路分析

齒輪五桿機(jī)構(gòu)可視作一個(gè)二自由度五桿環(huán)與一個(gè)齒輪鏈相耦合，齒輪鏈約束了五桿環(huán)的一個(gè)自由度，使得二自由度五桿機(jī)構(gòu)變成單自由度雙環(huán)機(jī)構(gòu)。對(duì)于單自由度多環(huán)的機(jī)構(gòu)，每個(gè)環(huán)路都有其運(yùn)動(dòng)特性，整個(gè)機(jī)構(gòu)必須同時(shí)滿足每個(gè)環(huán)路的運(yùn)動(dòng)條件，才能進(jìn)行裝配和運(yùn)動(dòng)。二自由度五桿鏈的兩個(gè)輸入關(guān)節(jié)θ2和θ5之間的運(yùn)動(dòng)范圍稱為關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間［9］，通過(guò)五桿鏈的環(huán)方程來(lái)求解，而齒輪鏈的可行域則為輸入關(guān)節(jié)θ2與輸出關(guān)節(jié)θ5之間的輸入輸出曲線，即式（1）。

用三角平方關(guān)系sin2θ4+cos2θ4=1消去式（3）和式（4）中的θ4，式（2）可表示為：

代入公式x3=tan(θ3/2)，式（7）可表示為：

式（8）是一個(gè)二次方程，當(dāng)A1≠0時(shí)，五桿鏈能連續(xù)運(yùn)動(dòng)的條件為：

根據(jù)式（8）和式（9），每種機(jī)構(gòu)構(gòu)型可以唯一確定，其為：

x3和θ3之間是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，由式（10）或式（11）唯一確定。當(dāng)Δ1=0時(shí)，式（8）只有一個(gè)解，五桿鏈處于奇異位置，一個(gè)輸入對(duì)應(yīng)一種機(jī)構(gòu)構(gòu)型；當(dāng)Δ1>0時(shí)，式（8）有兩個(gè)解式（10）、式（11），對(duì)應(yīng)著五桿機(jī)構(gòu)的兩種構(gòu)型；當(dāng)Δ1<0時(shí)，式（8）無(wú)解，說(shuō)明在此機(jī)構(gòu)參數(shù)下，機(jī)構(gòu)不能連續(xù)運(yùn)動(dòng)。因此，式（9）約束了五桿鏈的可行域。

將式（9）進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得到：

其中：

式（12）表示了五桿鏈中θ2和θ5之間的運(yùn)動(dòng)范圍，即關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間，式（13）、式（14）中的S1=0和S2=0表示關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間的邊界［9］，也可稱為邊界曲線或奇異曲線。邊界曲線上的點(diǎn)表示五桿鏈處于奇異位置，此時(shí)二桿組BCD處于拉伸共線（S1=0）或重疊共線狀態(tài)（S2=0），五桿鏈退化為四桿鏈，關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間內(nèi)的點(diǎn)表示五桿鏈能運(yùn)動(dòng)到此位置。

3.2 齒輪五桿機(jī)構(gòu)的分支點(diǎn)識(shí)別

機(jī)構(gòu)只有一個(gè)自由度，說(shuō)明只要確定輸入值便可得到整個(gè)機(jī)構(gòu)的可行性，但由于分支點(diǎn)的存在導(dǎo)致機(jī)構(gòu)僅在某一段角度區(qū)間中具有可行性，且齒輪五桿機(jī)構(gòu)的分支點(diǎn)位于齒輪鏈的特征曲線與五桿鏈的關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間邊界的交點(diǎn)處。

將式（1）代入邊界曲線S1消去θ5，并代入半角公式x2=tan(θ2/2)，可得到關(guān)于x2的一元二次方程：

當(dāng)Δ2>0時(shí)，方程有兩個(gè)不同解：

A2、B2、C2及Δ2是關(guān)于傳動(dòng)比n及初相角α的關(guān)系式。當(dāng)Δ2>0時(shí)，式（15）有兩個(gè)解，齒輪鏈的特征曲線與五桿鏈的邊界曲線S1存在兩個(gè)交點(diǎn)，機(jī)構(gòu)分支點(diǎn)為θ21，22=2arctan(x21，22)；當(dāng)Δ2=0時(shí)，式（15）只有一個(gè)解，機(jī)構(gòu)只有一個(gè)分支點(diǎn)；當(dāng)Δ2<0 時(shí)，式（15）無(wú)解，齒輪鏈的特征曲線與五桿鏈的邊界曲線S1無(wú)交點(diǎn)，機(jī)構(gòu)不存在分支點(diǎn)。

同理，將式（1）代入邊界曲線S2消去θ5，并代入半角公式x2=tan(θ2/2)，可得到：

其判別式：Δ3=，當(dāng)Δ3>0時(shí)，方程有兩個(gè)不同解：

若Δ3>0，方程（16）有兩個(gè)解，齒輪鏈的特征曲線與五桿鏈的邊界曲線S2存在兩個(gè)交點(diǎn)，機(jī)構(gòu)分支點(diǎn)為θ23，24=2arctan(x23，24)；當(dāng)Δ3=0 時(shí)，式（16）只有一個(gè)解，機(jī)構(gòu)只有一個(gè)分支點(diǎn)；若Δ3<0，方程（16）無(wú)解，齒輪鏈的特征曲線與五桿鏈的邊界曲線S2無(wú)交點(diǎn)，機(jī)構(gòu)不存在分支點(diǎn)。

3.3 齒輪五桿機(jī)構(gòu)分支及子分支識(shí)別

分支指的是一個(gè)連桿機(jī)構(gòu)的所有構(gòu)型空間，在這個(gè)構(gòu)型空間中連桿機(jī)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)構(gòu)型之間的連續(xù)轉(zhuǎn)換［7］。子分支指的是一個(gè)連桿機(jī)構(gòu)的連續(xù)的構(gòu)型空間，在子分支內(nèi)，機(jī)構(gòu)可以完成構(gòu)型之間的連續(xù)轉(zhuǎn)換且不存在奇異點(diǎn)。對(duì)于齒輪五桿機(jī)構(gòu)，必須同時(shí)滿足齒輪鏈和五桿鏈的運(yùn)動(dòng)條件，才能連續(xù)運(yùn)動(dòng)。

可通過(guò)以下方法來(lái)識(shí)別齒輪五桿機(jī)構(gòu)的分支和子分支。

（1）齒輪五桿機(jī)構(gòu)可看作一個(gè)五桿鏈和一個(gè)齒輪鏈耦合而成，滿足式（1）表示齒輪鏈能連續(xù)運(yùn)動(dòng)而滿足式（9）表示五桿鏈能連續(xù)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)滿足式（1）和式（9），齒輪五桿機(jī)構(gòu)才能裝配和運(yùn)動(dòng)。

（2）式（1）表示齒輪鏈的輸入輸出曲線，而式（9）表示五桿鏈的關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間。齒輪五桿機(jī)構(gòu)的分支為齒輪鏈的輸入輸出曲線與五桿鏈的關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空公共的部分，每一部分代表了一個(gè)分支。

（3）分支點(diǎn)為齒輪鏈的輸入輸出曲線（式（1））與五桿鏈的關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間邊界曲線的交點(diǎn)。齒輪鏈的輸入輸出曲線可由奇異點(diǎn)（死點(diǎn)和分支點(diǎn)）分成若干部分，僅滿足式（9）的部分為有效分支，也是齒輪五桿機(jī)構(gòu)的分支。

（4）通過(guò)式（10）、式（11）識(shí)別齒輪五桿機(jī)構(gòu)的子分支。由3.1節(jié)可知，每個(gè)輸入值θ2都可能對(duì)應(yīng)著一個(gè)或兩個(gè)θ3，即在每個(gè)分支中，每一個(gè)輸入可能對(duì)應(yīng)著一種或兩種構(gòu)型，也就是子分支，子分支通過(guò)式（10）和式（11）來(lái)區(qū)分。當(dāng)Δ1=0，每一個(gè)輸入對(duì)應(yīng)一個(gè)θ3值，機(jī)構(gòu)只存在一種構(gòu)型，即只有一個(gè)子分支；當(dāng)Δ1>0，每一個(gè)輸入對(duì)應(yīng)兩個(gè)θ3值，機(jī)構(gòu)有兩個(gè)子分支。

3.4 齒輪五桿機(jī)構(gòu)完全旋轉(zhuǎn)性識(shí)別

機(jī)構(gòu)的完全旋轉(zhuǎn)性表示機(jī)構(gòu)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)循環(huán)中平滑變換而不會(huì)遇到死點(diǎn)的能力。要識(shí)別機(jī)構(gòu)的完全旋轉(zhuǎn)性，首先應(yīng)識(shí)別機(jī)構(gòu)的分支［10］。如果分支具有完全可旋轉(zhuǎn)性，則輸入旋轉(zhuǎn)不會(huì)受到限制，在這樣的分支中，每個(gè)輸入值對(duì)應(yīng)于唯一的機(jī)構(gòu)構(gòu)型。

具有完全可旋轉(zhuǎn)性的機(jī)構(gòu)，其分支中不能存在死點(diǎn)或分支點(diǎn)。也就是說(shuō)，對(duì)于齒輪五桿機(jī)構(gòu)，齒輪鏈所在直線應(yīng)滿足式（9）或式（12），同時(shí)式（1）與式（13）、式（14）之間沒(méi)有公共解?？赏ㄟ^(guò)以下方法來(lái)識(shí)別齒輪五桿機(jī)構(gòu)分支的完全旋轉(zhuǎn)性：

（1）識(shí)別分支點(diǎn)。若齒輪鏈的特征曲線與五桿鏈的邊界曲線之間有交點(diǎn)，即Δ2≥0或Δ3≥0，分支有分支點(diǎn)；若齒輪鏈的特征曲線與五桿鏈的邊界曲線無(wú)交點(diǎn)，即Δ2<0且Δ3<0，分支無(wú)分支點(diǎn)。若存在分支點(diǎn)，則機(jī)構(gòu)不具有完全旋轉(zhuǎn)性。（2）識(shí)別機(jī)構(gòu)完全旋轉(zhuǎn)性。若齒輪鏈所在直線完全在五桿鏈關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間內(nèi)，不存在分支點(diǎn)，則齒輪五桿機(jī)構(gòu)的分支具有完全旋轉(zhuǎn)性。

3.5 實(shí)例1

當(dāng)a1=4，a2=7，a3=4，a4=6，a5=8，n=-1，α=0°時(shí)，以θ2為輸入，θ5為輸出的分支圖，如圖6所示。

圖6 例1的分支圖Fig.6 Branch Diagram of Example 1

灰色陰影為五桿鏈ABCDEA輸入與輸出的關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間，代表了五桿鏈中兩輸入關(guān)節(jié)的可行域，黑色曲線表示二桿組BCD處于拉伸共線的奇異構(gòu)型，藍(lán)色環(huán)狀曲線表示二桿組BCD處于重疊共線的奇異構(gòu)型。斜率為-1的直線為齒輪鏈的特征曲線，代表了齒輪鏈中輸入輸出關(guān)節(jié)的可行域。

齒輪鏈的特征曲線被五桿機(jī)構(gòu)的關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間分為若干段，只有公共的部分才是機(jī)構(gòu)的有效分支，位于關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間外部的部分輸入輸出曲線表示由五桿鏈阻礙了齒輪鏈的可動(dòng)性。

將機(jī)構(gòu)尺寸代入式（15）、式（16）可得到分支點(diǎn)：a（-148°，148°）、b（-32°，32°）、c（32°，-32°）、d（148°，-148°）。由圖6可知，（148～180）°與（-180～-148）°是一個(gè)連續(xù)的分支，因此，輸入關(guān)節(jié)θ2的運(yùn)動(dòng)范圍為（-32～32）°、（148～212）°。

分支點(diǎn)處于五桿鏈邊界曲線上，一個(gè)輸入值只能對(duì)應(yīng)一個(gè)θ3值，機(jī)構(gòu)只存在一種構(gòu)型，處于陰影內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)，一個(gè)輸入對(duì)應(yīng)著兩個(gè)θ3值，由式（10）、式（11）來(lái)區(qū)分，分別對(duì)應(yīng)機(jī)構(gòu)的兩個(gè)子分支。

由于存在分支點(diǎn)，則機(jī)構(gòu)的分支不具有完全旋轉(zhuǎn)性。

4 齒輪鏈與完全旋轉(zhuǎn)性研究

4.1 完全旋轉(zhuǎn)性的約束條件

在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)、綜合以及并聯(lián)機(jī)器人應(yīng)用中，必須保證機(jī)構(gòu)在各精確點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性和平滑性，才能有效避免機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)和綜合中運(yùn)動(dòng)缺陷問(wèn)題［7］。

由第2章可知，齒輪鏈的傳動(dòng)比及初相角會(huì)影響分支點(diǎn)的存在，分支點(diǎn)的存在會(huì)影響分支的完全旋轉(zhuǎn)性，而機(jī)構(gòu)的分支是否具有完全旋轉(zhuǎn)性決定了機(jī)構(gòu)是否存在運(yùn)動(dòng)缺陷。

要使齒輪五桿機(jī)構(gòu)描繪出完整封閉的連桿曲線，機(jī)構(gòu)必須連續(xù)平穩(wěn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，即齒輪五桿機(jī)構(gòu)的分支要具有完全旋轉(zhuǎn)性，需滿足：

（2）齒輪鏈與五桿鏈邊界曲線沒(méi)有交點(diǎn)：

（3）齒輪鏈所在直線完全在五桿鏈關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間內(nèi)。

在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)及軌跡綜合過(guò)程中，將Δ1≥0、Δ2<0及Δ3<0作為約束條件，可避免分支點(diǎn)的存在，避免運(yùn)動(dòng)缺陷。

4.2 分支的糾正

不具有完全旋轉(zhuǎn)性的分支是含有運(yùn)動(dòng)缺陷的，會(huì)阻礙機(jī)構(gòu)的連續(xù)運(yùn)動(dòng)，因此，應(yīng)當(dāng)糾正分支，避免運(yùn)動(dòng)缺陷。

齒輪五桿機(jī)構(gòu)是組合機(jī)構(gòu)，當(dāng)五桿機(jī)構(gòu)參數(shù)確定時(shí)，Δ1是可以確定的，其奇異曲線及關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間也是確定的，因此，可通過(guò)改變齒輪鏈的傳動(dòng)比及初相角來(lái)糾正分支。

由前文可知，Δ2與Δ3是與五桿機(jī)構(gòu)的尺寸、傳動(dòng)比及初相角相關(guān)的方程，當(dāng)五桿機(jī)構(gòu)尺寸一定時(shí)，滿足齒輪鏈輸入輸出曲線與五桿機(jī)構(gòu)奇異曲線不相交的傳動(dòng)比和初相角有很多組解。

分支要具有完全旋轉(zhuǎn)性，齒輪鏈所在特征曲線必須完全在五桿鏈的關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間內(nèi)，因此關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間的形狀決定了齒輪鏈的傳動(dòng)比的取值范圍，而傳動(dòng)比的取值決定了初相角的范圍。

因此，五桿機(jī)構(gòu)的尺寸確定了關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間，根據(jù)五桿機(jī)構(gòu)的關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間的形狀選擇適當(dāng)?shù)膫鲃?dòng)比，求解4A2C2<0 和Δ3=即可得到初相角的取值范圍。取區(qū)間內(nèi)的初相角與傳動(dòng)比組成的特征曲線，與關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間沒(méi)有交點(diǎn)，且完全在關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間內(nèi)，滿足完全旋轉(zhuǎn)性的要求。

4.3 實(shí)例2

五桿機(jī)構(gòu)尺寸為a1=3，a2=9，a3=4，a4=6，a5=9。

將尺寸代入Δ1，得到五桿機(jī)構(gòu)的關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間。關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間為斜率為1的條形區(qū)域，要使齒輪五桿機(jī)構(gòu)的分支具有完全旋轉(zhuǎn)性，可以取傳動(dòng)比為1，將傳動(dòng)比及五桿機(jī)構(gòu)尺寸代入Δ2<0和Δ3<0 中，可得到初相角的取值范圍為（-6°，6°），（33°，45°），（-45°，-33°），如圖7所示。也就是說(shuō)，當(dāng)傳動(dòng)比為1時(shí)，初相角在取值范圍內(nèi)，齒輪五桿機(jī)構(gòu)的分支是具有完全旋轉(zhuǎn)性的。由圖7可知，六條紅色直線分別是初相角取區(qū)間邊界值時(shí)的輸入輸出曲線，分別與五桿鏈的奇異曲線存在一個(gè)交點(diǎn)，機(jī)構(gòu)存在一個(gè)分支點(diǎn)。當(dāng)初相角取區(qū)間內(nèi)的值時(shí)，齒輪鏈所在直線就完全在五桿機(jī)構(gòu)的關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間內(nèi)，機(jī)構(gòu)的分支為齒輪鏈所在直線，沒(méi)有分支點(diǎn)，具有完全旋轉(zhuǎn)性。

圖7 例2的分支圖Fig.7 Branch Diagram of Example 2

5 結(jié)論

（1）利用Matlab/fsolve函數(shù)，結(jié)合實(shí)例，分析了傳動(dòng)比及初相角對(duì)齒輪五桿機(jī)構(gòu)軌跡曲線的影響，結(jié)果表明，齒輪五桿機(jī)構(gòu)軌跡曲線的變化具有周期性，變化周期與傳動(dòng)比和初相角有關(guān)。（2）對(duì)五桿鏈和齒輪鏈建立了數(shù)學(xué)模型，結(jié)合實(shí)例，利用判別法分析了齒輪五桿機(jī)構(gòu)分支點(diǎn)、分支、子分支及完全旋轉(zhuǎn)性識(shí)別過(guò)程。（3）分析了齒輪鏈的兩個(gè)參數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)完全旋轉(zhuǎn)性的影響，傳動(dòng)比及初相角的取值會(huì)影響分支點(diǎn)的存在，分支點(diǎn)會(huì)影響機(jī)構(gòu)分支的完全旋轉(zhuǎn)性，導(dǎo)致機(jī)構(gòu)存在運(yùn)動(dòng)缺陷。提出了在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)及軌跡綜合過(guò)程中，將無(wú)分支點(diǎn)作為約束條件，來(lái)避免運(yùn)動(dòng)缺陷的理論方法。（4）針對(duì)不具有完全旋轉(zhuǎn)性的齒輪五桿機(jī)構(gòu)，提出了通過(guò)改變傳動(dòng)比及初相角來(lái)糾正分支的方法，來(lái)避免運(yùn)動(dòng)缺陷的理論方法，并通過(guò)實(shí)例進(jìn)行了驗(yàn)證。（5）齒輪鏈中傳動(dòng)比及初相角對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的影響，為齒輪五桿機(jī)構(gòu)的軌跡優(yōu)化綜合提供了重要的理論依據(jù)。