胡 銳，杜 懌

(江蘇大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

0 引 言

轉(zhuǎn)子永磁型(Rotor Permanent Magnet motor, RPM)電機(jī)因其功率密度高、運(yùn)行效率高、結(jié)構(gòu)簡單等特點(diǎn)被應(yīng)用于各行各業(yè)。按空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)波形，可將RPM電機(jī)分為具有正弦波空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的永磁同步(Permanent Magnet Synchronous, PMS)電機(jī)和具有梯形波空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的無刷直流(Blushless DC, BLDC)電機(jī)兩大類。為實(shí)現(xiàn)平滑的轉(zhuǎn)矩輸出，上述兩種永磁電機(jī)通常分別采用正弦電流和梯形波電流驅(qū)動(dòng)。然而，受空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)波形畸變的影響，電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩仍然存在脈動(dòng)，從而引起振動(dòng)、噪音等問題。雖然可以基于諧波注入法[1]等驅(qū)動(dòng)控制策略，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)的有效抑制，但無疑會(huì)增加驅(qū)動(dòng)控制難度和成本。因此，對(duì)電機(jī)空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)波形進(jìn)行優(yōu)化，使其具有理想正弦波形或理想方波，是有效降低脈動(dòng)，提高轉(zhuǎn)矩輸出性能最有效手段之一。

相比PMS電機(jī)，BLDC電機(jī)具有功率密度大、控制簡單和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)成本低等優(yōu)勢(shì)，因此在家用電器、工業(yè)生產(chǎn)等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。然而，現(xiàn)有文獻(xiàn)大多圍繞如何提高PMS電機(jī)空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的正弦度展開。例如采用分?jǐn)?shù)槽短距繞組[2]、斜極斜槽設(shè)計(jì)[3]等，但該類方案將不可避免地引起轉(zhuǎn)矩和功率密度的下降。永磁電機(jī)基于永磁體產(chǎn)生勵(lì)磁磁場，而電樞繞組則通過匝鏈變化的永磁磁場產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，因此，通過對(duì)磁極的優(yōu)化設(shè)計(jì)獲取所需的氣隙磁密，可以有效改善PMS電機(jī)空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)波形。例如通過Halbach永磁陣列的合理設(shè)計(jì)，可以獲取接近正弦的氣隙磁密，并基于其特有的單側(cè)磁場增強(qiáng)特點(diǎn)有效提升電機(jī)的轉(zhuǎn)矩輸出能力[4]，但Halbach永磁陣列的設(shè)計(jì)與制造成本相對(duì)較高。

采用合理設(shè)計(jì)永磁體極弧系數(shù)、倒角或偏心等方式[5-6]，直接改變永磁體形狀同樣可以改變氣隙磁密波形，但大多文獻(xiàn)均采用試湊或逐步掃描等方法，缺乏理論依據(jù)。根據(jù)等效磁路法，文獻(xiàn)[7]提出永磁體形狀函數(shù)的概念，即將永磁體徑向厚度設(shè)計(jì)為正弦形狀，并通過注入3對(duì)極、5對(duì)極等不同奇數(shù)對(duì)極分量的方法，以獲取具有與永磁體徑向厚度類似的氣隙永磁磁密分布，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)一臺(tái)PMS電機(jī)空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)波形的優(yōu)化，為永磁體形狀設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[8]考慮了極間漏磁、曲率和齒槽效應(yīng)對(duì)氣隙磁密的影響，進(jìn)一步對(duì)永磁體形狀函數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化[9]。事實(shí)上，PMS電機(jī)理想空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為正弦波，即僅含有一種成分，但BLDC電機(jī)的梯形波空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)則可以理解為由無數(shù)多種諧波組合而成，因此，相比而言，獲取理想梯形波空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)需考慮的因素更多，難度更大。

2017年，東南大學(xué)程明教授提出氣隙磁場統(tǒng)一調(diào)制理論，將電機(jī)抽象為初始磁動(dòng)勢(shì)源、調(diào)制器和濾波器三要素的級(jí)聯(lián)，此時(shí)空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可以認(rèn)為是有效氣隙諧波磁場與繞組有效耦合的產(chǎn)物，將其與永磁體、定子齒等尺寸參數(shù)解耦，從而為從氣隙磁場入手改善電機(jī)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)波形系數(shù)提供了理論依據(jù)。本文根據(jù)氣隙磁場調(diào)制統(tǒng)一原理，從初始磁動(dòng)勢(shì)源入手，通過對(duì)BLDC電機(jī)永磁體徑向厚度的設(shè)計(jì)，優(yōu)化該類電機(jī)的勵(lì)磁磁場氣隙磁密波形，從而獲取理想的空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)波形，最終實(shí)現(xiàn)永磁體利用率的增加和轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)的降低。

以三相24槽4極表貼式BLDC電機(jī)為例，本文首先對(duì)電機(jī)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)矩形成機(jī)理進(jìn)行介紹；其次，根據(jù)等效磁路法，推導(dǎo)了勵(lì)磁磁場氣隙磁密及空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與永磁體形狀函數(shù)之間的解析關(guān)系；最后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)梯形波空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)逆向得出理想的氣隙磁密，對(duì)永磁體徑向厚度進(jìn)行優(yōu)化。結(jié)果表明，優(yōu)化后的永磁體結(jié)構(gòu)使該電機(jī)空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)波形更接近理想梯形波、電機(jī)轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)大幅降低、永磁體利用率升高，從而驗(yàn)證了理論分析和計(jì)算結(jié)果的合理性。

1 電機(jī)結(jié)構(gòu)

常見的三相BLDC電機(jī)極槽配比有6-4極、9-10極、12-4極、24槽4極、36-6極和48-8極等。定子槽數(shù)較少時(shí)，具有加工簡單、槽滿率高等優(yōu)勢(shì)，但通常空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)波形不夠理想；而定子槽數(shù)較多時(shí)，由于引入了豐富的氣隙磁密諧波，一定程度上有利于梯形空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的形成，但卻往往存在加工難度增加、槽滿率降低等問題。本文以現(xiàn)有的三相24槽4極表貼式BLDC電機(jī)為例進(jìn)行討論。如圖 1所示，電機(jī)包括定子和轉(zhuǎn)子兩部分，轉(zhuǎn)子上表貼4塊永磁體，相鄰永磁體充磁方向相反，為盡可能提高電機(jī)轉(zhuǎn)矩密度，采用單層整距繞組形式。

圖1 24槽4極表貼式單層整距BLDC電機(jī)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

2 BLDC電機(jī)運(yùn)行原理及氣隙磁密分析

忽略齒槽轉(zhuǎn)矩，由電機(jī)學(xué)基本原理，當(dāng)通入120°導(dǎo)通的三相對(duì)稱理想矩形波電流時(shí)，三相24槽4極表貼式BLDC電機(jī)的轉(zhuǎn)矩可計(jì)算為

(1)

式中,E和I分別為各相空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和電流幅值，ωr為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速。當(dāng)空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為120°三相對(duì)稱梯形波時(shí)，轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)為0。永磁電機(jī)的各相空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可表示為

(2)

式中，Ep和ψPMp為各繞組的空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和永磁磁鏈，下標(biāo)p為U、V和W三相，t為時(shí)間。通過對(duì)勵(lì)磁磁場氣隙磁密的積分可計(jì)算出每個(gè)線圈匝鏈的永磁磁鏈，并由此可得各相的永磁磁鏈[10]。

(3)

式中,ψPMp和ψPMpm分別為各相永磁磁鏈和各個(gè)線圈的永磁磁鏈，Bnmax和θn(t)分別為第n對(duì)極磁密諧波的幅值和相位，rsi和la分別為電機(jī)定子內(nèi)徑和軸長，θm1和θm2為某線圈兩線圈邊的機(jī)械角度，θ為氣隙位置，Ncoilm為各線圈匝數(shù)，m為線圈個(gè)數(shù)，本文中m=4。

由磁場調(diào)制原理可得由永磁體或電樞繞組產(chǎn)生的氣隙磁通密度為

(4)

式中，F(xiàn)ag(θ,t)為永磁體或電樞繞組產(chǎn)生的氣隙磁動(dòng)勢(shì)，Λ(θ)為包括定子齒槽效應(yīng)在內(nèi)的氣隙磁導(dǎo)，pr為永磁體極對(duì)數(shù)，Nst為定子齒數(shù)，Λ0、Λk、Fagj分別為傅里葉系數(shù)，j為正奇數(shù)，k為正整數(shù)。

圖2 永磁磁密諧波和電樞磁密諧波對(duì)比

圖2為24槽4極BLDC電機(jī)氣隙磁密頻譜分析，主要包含2對(duì)極、6對(duì)極、10對(duì)極、14對(duì)極等主要極對(duì)數(shù)諧波。可見，受永磁磁動(dòng)勢(shì)本身及定子齒槽對(duì)永磁磁場的調(diào)制作用，BLDC電機(jī)內(nèi)氣隙磁密十分復(fù)雜。

忽略齒槽效應(yīng)和高次諧波的影響，永磁磁場氣隙磁密Bg(θ)可表示為

(5)

或進(jìn)一步表示為

(6)

式中，Bgncos(nθ)為n對(duì)極氣隙磁密，系數(shù)kn為Bgn與Bg2的比值。

然而，由式(4)不難發(fā)現(xiàn)，不同的j和k取值有可能獲得相同極對(duì)數(shù)的磁密諧波，但這些具有相同極對(duì)數(shù)的諧波的旋轉(zhuǎn)速度卻可能并不相同，進(jìn)而有利于理想梯形波空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的形成。因此，在通過永磁體形狀優(yōu)化空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)波形時(shí)，需考慮氣隙磁場調(diào)制導(dǎo)致的具有相同極對(duì)數(shù)不同旋轉(zhuǎn)速度諧波的影響。忽略高次諧波，且當(dāng)僅考慮氣隙磁導(dǎo)的直流分量和一次分量時(shí)，n對(duì)極的諧波可分解為三個(gè)分量，即：

Bn(θ,t)=Bn0cos(nθ-nωrt)+
Bn1cos[(Nst-n1)θ+n1ωrt]+
Bn2cos[(n2-Nst)θ-n2ωrt]

(7)

其中，Bn0cos(nθ-nωrt)為n對(duì)極初始磁動(dòng)勢(shì)被磁導(dǎo)直流分量調(diào)制后產(chǎn)生的磁密，調(diào)制后極對(duì)數(shù)仍為n，Bn1cos[(Nst-n1)θ+n1ωrt]和Bn2cos[(n2-Nst)θ-n2ωrt]分別為n1對(duì)極磁動(dòng)勢(shì)和n2對(duì)極磁動(dòng)勢(shì)被磁導(dǎo)一次分量調(diào)制后產(chǎn)生的磁密，調(diào)制后極對(duì)數(shù)也為n。

由氣隙磁場調(diào)制理論可知，影響氣隙磁密分布的主要因素為“三要素”中的調(diào)制器和初始磁動(dòng)勢(shì)，因此，本文針對(duì)永磁體進(jìn)行優(yōu)化進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)永磁磁場的優(yōu)化。

另一方面，由電機(jī)學(xué)原理可知，受定子齒槽影響，永磁電機(jī)氣隙磁動(dòng)勢(shì)Fs可計(jì)算為

(8)

式中，Bg為忽略定子齒槽時(shí)氣隙磁密，Rg、Rg′和RPM分別為電機(jī)氣隙磁阻、計(jì)及定子齒槽效應(yīng)后的氣隙磁阻和永磁體磁阻[11]。

忽略定子齒槽效應(yīng)時(shí)，24槽4極BLDC電機(jī)氣隙磁密頻譜如圖所示，各次磁密可表示為

Bgn(θ)=Bgncos(nθ)

(9)

其中，Bgncos(nθ)為忽略定子齒槽時(shí)n對(duì)極氣隙磁密，其諧波頻譜如圖3所示。

圖3 忽略定子齒槽效應(yīng)時(shí)的氣隙磁密諧波

由式(7)～式(9)，可得：

(10)

式(10)反應(yīng)了有槽電機(jī)中n對(duì)極氣隙磁密的三個(gè)分量幅值與相應(yīng)無槽電機(jī)n、n1和n2對(duì)極氣隙磁密之間的比例關(guān)系。由有上述分析可知，比例系數(shù)RΛ0和RΛ1/2僅與電機(jī)定子齒槽結(jié)構(gòu)尺寸相關(guān)，換言之，當(dāng)電機(jī)的定子尺寸固定不變時(shí)，上述比例系數(shù)也固定不變，并可基于有限元仿真結(jié)果通過待定系數(shù)法求得，進(jìn)而可以由無槽電機(jī)氣隙磁密求得相應(yīng)有槽電機(jī)的氣隙磁密。而針對(duì)無槽電機(jī)永磁體形狀的優(yōu)化獲取理想空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)則可通過簡單的等效磁路法進(jìn)行[7-9]。

3 永磁體形狀的優(yōu)化

鑒于電機(jī)氣隙磁密和空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，本節(jié)基于可形成梯形波空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的理想氣隙磁密對(duì)電機(jī)永磁體形狀進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)化流程如圖4所示。并對(duì)其做如下解釋：

(1)優(yōu)化過程中以理想梯形波為優(yōu)化目標(biāo)，因此，首先將歸一化的理想梯形波傅里葉分解，得到Ep各次諧波的幅值和相位。

(2)將式(7)和式(10)代入式(2)和式(3)，列出以無槽電機(jī)各次氣隙磁密為變量的有槽電機(jī)的空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)各諧波的計(jì)算式。

(3)將步驟1和步驟2中得到的空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)按次連列，求得能夠形成歸一化理想空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)所需的忽略齒槽效應(yīng)時(shí)電機(jī)氣隙磁密表達(dá)式，并將其歸一化，得到式(6)中各項(xiàng)系數(shù)。

(4)為盡量減小永磁體削極導(dǎo)致的電機(jī)功率密度的下降，優(yōu)化過程中永磁體最厚處的厚度保持不變。因此可以認(rèn)為優(yōu)化前后氣隙磁密基波分量的幅值保持不變。此時(shí)，可以將步驟3得到的各次磁密幅值與原始電機(jī)氣隙磁密基波分量幅值|Bg2|相乘，得到各次諧波磁密的優(yōu)化目標(biāo)。

(5)采用增量削極方法設(shè)計(jì)永磁體徑向厚度。具體方法如下：

忽略永磁體極間漏磁、定子齒槽效應(yīng)和曲率對(duì)氣隙磁密的影響，當(dāng)永磁體徑向厚度一致時(shí)，氣隙磁密為矩形波，矩形波幅值可表示為

(11)

式中，Br為永磁體剩磁，l為氣隙與永磁體徑向厚度之和。

當(dāng)永磁體徑向厚度中注入諧波，即永磁體徑向厚度不一致時(shí)，n對(duì)極氣隙磁密的變化與注入的永磁體徑向厚度諧波hn(θ)之間的關(guān)系可表示為

(12)

其中，ΔBgn(θ)為注入的n對(duì)極永磁體導(dǎo)致的n對(duì)極磁密，因此可求得永磁體削極過程中n對(duì)極形狀需要改變的厚度。

此時(shí)的永磁磁場氣隙磁密可表示為

Bg(θ)=Bgn0(θ)+ΔBg(θ)

(13)

此時(shí)永磁體形狀函數(shù)為

(14)

式中，h0為優(yōu)化前永磁體徑向厚度，hn為需要改變的各次諧波形狀厚度。

(6)對(duì)比優(yōu)化前后電機(jī)的電磁性能，如設(shè)計(jì)結(jié)果符合要求，則優(yōu)化過程結(jié)束；如仍不滿足，則增加步驟3中分析的諧波次數(shù)以增加分析精度，改善效果。

圖4 BLDC電機(jī)永磁體形狀優(yōu)化流程

按照以上優(yōu)化方法，對(duì)一臺(tái)24槽4極BLDC電機(jī)永磁體形狀進(jìn)行優(yōu)化，電機(jī)的原始參數(shù)如表1所示。

表1 原始結(jié)構(gòu)24槽4極電機(jī)關(guān)鍵參數(shù)

本文取前26對(duì)極氣隙磁密進(jìn)行削極優(yōu)化，根據(jù)本文提出的優(yōu)化方法，可以得到氣隙磁密幅值目標(biāo)參數(shù)和相應(yīng)的形狀函數(shù)系數(shù)如表2所示。

表2 氣隙磁密幅值目標(biāo)參數(shù)和相應(yīng)的形狀函數(shù)系數(shù)

本文基于式(12)、式(13)和式(14)對(duì)永磁體進(jìn)行削極，優(yōu)化后永磁體形狀如圖5所示。

圖5 優(yōu)化后的永磁體結(jié)構(gòu)

優(yōu)化后的未計(jì)及齒槽效應(yīng)的主導(dǎo)次數(shù)初始?xì)庀洞琶転?/p>

Bg(θ)=Bg2cos(2θ)+Bg6cos(6θ)+

Bg10cos(10θ)+Bg14cos(14θ)+

Bg18cos(18θ)+Gg22cos(22θ)+

Bg26cos(26θ)=-0.754cos(2θ)+

0.218cos(6θ)-0.061cos(10θ)+

0.111cos(14θ)-0.034cos(18θ)+

0.003cos(22θ)-0.017cos(26θ)

(15)

4 性能分析與比較

為驗(yàn)證上述理論分析和優(yōu)化方法的有效性，本文基于有限元軟件構(gòu)建了24槽4極BLDC電機(jī)模型，并對(duì)其相關(guān)電磁性能進(jìn)行求解和分析。

圖6為氣隙磁密計(jì)算值與仿真值波形，可見，兩者十分相似，驗(yàn)證了磁密計(jì)算方法的正確性。

圖6 優(yōu)化前電機(jī)初始時(shí)刻磁密波形仿真值與計(jì)算值

圖7和圖8為優(yōu)化前后氣隙永磁磁密波形與空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的有限元仿真結(jié)果。采用諧波削極方式優(yōu)化后的電機(jī)空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)平頂部分波動(dòng)約減小了53.3%，由此可見，優(yōu)化后的氣隙永磁磁密是形成理想梯形波空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的有利因素。

圖7 優(yōu)化前后初始時(shí)刻氣隙永磁磁密仿真值

圖8 優(yōu)化前后空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)仿真波形

圖9～圖11展示了優(yōu)前化后電機(jī)轉(zhuǎn)矩變化情況。

圖9 優(yōu)化前后的轉(zhuǎn)矩

圖10 優(yōu)化前后單位體積永磁體產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩

圖11 優(yōu)化前后電機(jī)定位力矩

與初始結(jié)構(gòu)的電機(jī)相比，滿載情況時(shí)，優(yōu)化后電機(jī)的轉(zhuǎn)矩平均值約為21.27 Nm，相比優(yōu)化前提升約0.61%；由于永磁體削極優(yōu)化方式減小了永磁體用量，因此，優(yōu)化后電機(jī)的單位體積永磁體產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩平均值約提升了1.78%。優(yōu)化后電機(jī)的空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)更接近于理想梯形波，當(dāng)采用理想梯形波電流驅(qū)動(dòng)時(shí)，電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩將更為平滑，由圖可得，優(yōu)化后電機(jī)的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)約為7.6%，相比優(yōu)化前減小了54.9%，其中定位力矩波動(dòng)約減小了58.8%。

5 結(jié) 論

本文研究了極槽配比為24槽4極、初始功率等級(jí)為2.66kW的整數(shù)槽永磁無刷直流電機(jī)。本文基于表貼環(huán)形永磁體的初始24槽4極電機(jī)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，分析了影響電機(jī)氣隙磁密、空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)波形系數(shù)的因素，從氣隙磁密角度解釋了電機(jī)空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)波形的成因，通過采用對(duì)永磁體進(jìn)行削極優(yōu)化的方式改善了電機(jī)空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)波形、減小了電機(jī)永磁轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)?；谟邢拊抡鎸?duì)電機(jī)的氣隙磁密、磁場分布、空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)、轉(zhuǎn)矩等進(jìn)行了分析和計(jì)算。仿真結(jié)果驗(yàn)證了理論分析和所提方案的合理性。