江蘇宿遷市宿豫區(qū)張家港實(shí)驗(yàn)小學(xué)（223800）凌朝陽(yáng)

課程標(biāo)準(zhǔn)中提到，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)基本任務(wù)，教師應(yīng)有意識(shí)、有計(jì)劃、有目的地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力?！半u兔同籠”的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)“雞兔同籠”趣題，了解有關(guān)的數(shù)學(xué)史，能用列表法、畫(huà)圖法、假設(shè)法解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖分析、列表舉例、假設(shè)計(jì)算等方法理解數(shù)量關(guān)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的便捷性，體驗(yàn)解題方法的多樣性，提高學(xué)生的解題能力。那么，如何才能有效促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，使學(xué)生變得能思考、愛(ài)思考、會(huì)思考？

一、學(xué)情與教材分析

四年級(jí)學(xué)生已經(jīng)初步積累了運(yùn)用猜測(cè)、枚舉、畫(huà)圖等方法解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)習(xí)過(guò)程中能夠表達(dá)自己的想法，因此教學(xué)中教師可以放手讓學(xué)生自主探究、合作交流，使學(xué)生有機(jī)會(huì)獲得直接經(jīng)驗(yàn)。

“雞兔同籠”問(wèn)題原屬于六年級(jí)的內(nèi)容，現(xiàn)編入四年級(jí)教材，一方面是想讓學(xué)生通過(guò)生動(dòng)有趣的古代數(shù)學(xué)問(wèn)題感受我國(guó)的數(shù)學(xué)文化，另一方面是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)用猜測(cè)、列表、畫(huà)圖、假設(shè)等方法解決問(wèn)題的策略，培養(yǎng)學(xué)生的有序思考及邏輯推理能力。

對(duì)四年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，理解和掌握假設(shè)法還有些困難，因此教師在教學(xué)時(shí)要通過(guò)數(shù)形結(jié)合使學(xué)生理解假設(shè)法?！半u兔同籠”問(wèn)題的作用在于體現(xiàn)解題的策略和思想方法，教師在教學(xué)中要注意滲透化繁為簡(jiǎn)、有序思考、數(shù)形結(jié)合、假設(shè)思想、模型思想等數(shù)學(xué)思想方法。

二、以“雞兔同籠”教學(xué)為例，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

“雞兔同籠”問(wèn)題在以前是課外典型題，如今編入教材中，對(duì)學(xué)生，尤其是基礎(chǔ)不好的學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的難度。因此，筆者認(rèn)為應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷從多個(gè)角度思考、運(yùn)用多種方法解題的過(guò)程，使學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)不斷調(diào)整解題策略，探討出不同的解法，找到合理的解題策略，并在合作學(xué)習(xí)的過(guò)程中積累解題經(jīng)驗(yàn)，掌握解題方法，然后靈活運(yùn)用該方法解決生活中類(lèi)似“雞兔同籠”的問(wèn)題。

由于學(xué)生很難理解用假設(shè)法解題，因此筆者用畫(huà)圖法來(lái)幫助學(xué)生理解，先畫(huà)8個(gè)圓圈代表8只雞，每只雞畫(huà)2只腳，這樣就有16只腳，缺了10只腳，再給其中幾只雞每只添上2只腳，它們就變成了兔子，然后求出兔子的數(shù)量。這樣就把抽象的知識(shí)直觀化了，學(xué)生也很快理解了用假設(shè)法解題。具體策略如下。

1.創(chuàng)設(shè)情境，調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性

師：同學(xué)們，我國(guó)是一個(gè)歷史悠久的國(guó)家，有許多著名的數(shù)學(xué)家，他們帶給我們?cè)S多寶貴的數(shù)學(xué)財(cái)富，同時(shí)也給我們留下了許多有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，你們想看看是什么樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？

生（齊）：想。

師：那就讓我們一起坐上時(shí)光機(jī)，穿越到1500年前的數(shù)學(xué)課堂，翻開(kāi)數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》，里面記載著這樣一個(gè)問(wèn)題。

（教師用多媒體模擬穿越情境，出示《孫子算經(jīng)》，并作翻頁(yè)狀，呈現(xiàn)題目：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？）

師：誰(shuí)能用自己的話翻譯這個(gè)問(wèn)題？

生1：籠子里有雞和兔，從上面數(shù)，有35個(gè)頭，從下面數(shù)，有94只腳，問(wèn)雞和兔各有幾只？

師：這就是著名的數(shù)學(xué)趣題——“雞兔同籠”問(wèn)題。

【反思】

“雞兔同籠”問(wèn)題是一道有趣、益智、富有挑戰(zhàn)性的歷史名題，對(duì)于初次接觸這類(lèi)題的四年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，有一定的難度，如果引入不當(dāng)，就容易使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，從而失去思考的動(dòng)力。因此，筆者通過(guò)創(chuàng)設(shè)穿越情境，把學(xué)生帶回古代的數(shù)學(xué)課堂中，用生動(dòng)有趣的方式呈現(xiàn)《孫子算經(jīng)》中記載的“雞兔同籠”問(wèn)題，讓學(xué)生產(chǎn)生代入感，激起學(xué)生的興趣?？梢?jiàn)，在課堂教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)生動(dòng)有趣的問(wèn)題情境是激發(fā)學(xué)生積極思考的重要途徑。

2.大膽猜測(cè)，激發(fā)學(xué)生思維的主動(dòng)性

師：你知道雞和兔各有幾只嗎？我們來(lái)猜一猜吧！

生1：有10只雞、6只兔。

（由于數(shù)據(jù)太大，且該生沒(méi)有抓住“共35個(gè)頭”這一要點(diǎn)，便胡亂猜了一組數(shù)據(jù)）

生2：錯(cuò)了、錯(cuò)了。

師：你怎么知道他說(shuō)的是錯(cuò)的？

生2：因?yàn)殡u和兔一共有35只，他的答案中雞和兔一共才16只，肯定不對(duì)。

師：題中哪一信息反映了雞和兔一共有35只？

生2：上有三十五頭。

師：誰(shuí)再來(lái)猜一猜？

生3：有15只雞、20只兔。

師：他猜得對(duì)不對(duì)呢？

生4：算一算總腳數(shù)是不是94只。雞有2只腳，兔有4只腳，15×2+20×4=110（只）腳。還是沒(méi)猜對(duì)。

【反思】

猜測(cè)是一個(gè)人思考的開(kāi)始，也是發(fā)明創(chuàng)造的開(kāi)始。學(xué)生應(yīng)敢于猜測(cè)、勤于猜測(cè)、善于猜測(cè)，并在“猜測(cè)→驗(yàn)證→再猜測(cè)→再驗(yàn)證”的過(guò)程中靈活思考。以上教學(xué)環(huán)節(jié)，在“隨意亂猜→抓住要點(diǎn)猜→根據(jù)結(jié)果猜”的過(guò)程中，學(xué)生的思維實(shí)現(xiàn)了從無(wú)序到有序、從片面到完善的變化。因此，在課堂教學(xué)中，猜測(cè)、驗(yàn)證是學(xué)生主動(dòng)探求知識(shí)、激發(fā)思維主動(dòng)性的重要方式。

3.化繁為簡(jiǎn)，提高學(xué)生思維的靈活性

師：看來(lái)不好猜呀！那我們把數(shù)據(jù)改小一點(diǎn)，好嗎？把35個(gè)頭改為8個(gè)頭，把94只腳改為26只腳，如何？

生1：這樣就好猜多了。

師（出示表1）：現(xiàn)在大家不用猜了，可以直接用列表法找出正確的答案。

表1 雞、兔及其腳的數(shù)量

生2：我先從1只雞、7只兔算起，發(fā)現(xiàn)總腳數(shù)多了，就依次增加1只雞，減少1只兔，第三次就得出3只雞和5只兔的總腳數(shù)一共是26只（如表2）。

表2 雞、兔及其腳的數(shù)量

生3：我先從7只雞、1只兔算起，發(fā)現(xiàn)總腳數(shù)少了，就依次減少1只雞，增加1只兔，最后得出3只雞和5只兔的總腳數(shù)一共是26只（如表3）。

表3 雞、兔及其腳的數(shù)量

生4：我先對(duì)半算，4只雞和4只兔一共有24只腳，比26只腳少了2只腳，就減少1只雞，增加1只兔，這樣總腳數(shù)就剛好是26只了，所以籠子里有3只雞、5只兔（如表4）。

表4 雞、兔及其腳的數(shù)量

師：剛才同學(xué)們?cè)谔畋頃r(shí)，都是邊填邊調(diào)整的。誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)你是怎樣調(diào)整的？

生5：總腳數(shù)少了，說(shuō)明兔少了，應(yīng)該增加兔的數(shù)量，減少雞的數(shù)量；總腳數(shù)多了，說(shuō)明兔多了，應(yīng)該減少兔的數(shù)量，增加雞的數(shù)量。

師：在調(diào)整的過(guò)程中，你們還發(fā)現(xiàn)了什么？

生6：我發(fā)現(xiàn)把1只雞換成1只兔，總腳數(shù)就會(huì)增加2；相反，把1只兔換成1只雞，總腳數(shù)就會(huì)減少2。

師：那如果想增加4只腳，該怎么辦？

生7：增加2只兔，減少2只雞，也就是把2只雞換成2只兔。

師：如果要減少10只腳呢？

生8：把5只兔換成5只雞。

師：看來(lái)同學(xué)們不但通過(guò)列表法找出了答案，還弄清了雞和兔的腳數(shù)中隱藏的秘密。

【反思】

當(dāng)學(xué)生躍躍欲試時(shí)，教師引導(dǎo)他們用列表法尋求正確的答案。學(xué)生有了先前猜測(cè)的經(jīng)驗(yàn)，列表時(shí)就能做到有序填數(shù)、不斷調(diào)整，部分學(xué)生還想到了取中間數(shù)以更快尋得答案。學(xué)生在列表、試數(shù)和不斷調(diào)整的過(guò)程中，逐步發(fā)現(xiàn)雞和兔的只數(shù)變化會(huì)引起總腳數(shù)變化，為下面學(xué)習(xí)假設(shè)法做好思維鋪墊。因此，在課堂教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生的思維受到?jīng)_擊或出現(xiàn)混亂時(shí)，教師適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生化繁為簡(jiǎn)、化難為易，降低思考難度，是提高學(xué)生思維靈活性的重要手段。

4.數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生思維的抽象性

師：除了列表法，還有沒(méi)有別的方法可以解這道題呢？

生1：還可以用畫(huà)圖法。

師：畫(huà)圖法既形象又直觀，是個(gè)不錯(cuò)的方法。

生2：可以用○表示頭，|表示腳。

師：那就請(qǐng)同學(xué)們嘗試用畫(huà)圖法解決這道題。

生3：我先把26只腳全部畫(huà)好，再用頭去配，配2只腳的就是雞，配4只腳的就是兔，也能得到籠子里有3只雞、5只兔。

生4：我先全部畫(huà)成雞，這樣一共有2×8=16（只）腳，還差10只腳，再逐一給原本的雞添上2只腳，一共給5只雞添上了腳，變成了5只兔，所以有3只雞、5只兔。

生5：我的畫(huà)法與生4的相反，我是先全部畫(huà)成兔，這樣一共有4×8=32（只）腳，多出了6只腳，再逐一給原本的兔擦去2只腳，得出有3只雞、5只兔。

師：為什么你們都是2只腳2只腳地添上或擦去呢？為什么不添1只腳或擦1只腳呢？

生6：因?yàn)橐恢煌帽纫恢浑u多2只腳。

【反思】

畫(huà)示意圖可以幫助學(xué)生理解所學(xué)內(nèi)容。畫(huà)圖的過(guò)程實(shí)際上就是用假設(shè)法的過(guò)程。可見(jiàn)，在課堂教學(xué)中，教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生使用畫(huà)圖法，讓形象的圖形與抽象的數(shù)字有效結(jié)合，是培養(yǎng)學(xué)生思維抽象性的重要方法。

5.極端假設(shè)，增強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性

師：你能用算式把畫(huà)圖過(guò)程表示出來(lái)嗎？

[學(xué)生邊回答，教師邊板書(shū)。假設(shè)全是雞：8×2=16（只），26-16=10（只），4-2=2（只），兔有10÷2=5（只），雞有8-5=3（只）］

師：你們看懂了嗎？有沒(méi)有問(wèn)題想問(wèn)？

生1：“4-2”是什么意思？為什么是“10÷2”？

生2：因?yàn)橥糜?只腳，雞有2只腳，“4-2”表示兔比雞多2只腳。

生3：這里假設(shè)全是雞，一共才有16只腳，比題目中的26只腳少了10只，要把10只腳2只2只地添上，可以添給5只雞，所以這5只雞就變成了兔。

師：誰(shuí)能再把整個(gè)算式的意義說(shuō)一說(shuō)？（學(xué)生回答，教師用多媒體演示畫(huà)圖過(guò)程）

師：聯(lián)系剛才畫(huà)圖的過(guò)程，這算式就容易理解多了。我們還可以假設(shè)8只全是兔，你會(huì)解嗎？

（學(xué)生列式解題）

師：這三種方法其實(shí)都是先假設(shè)，再根據(jù)腳的只數(shù)進(jìn)行調(diào)整。你會(huì)選哪種方法來(lái)解這道題呢？為什么？

生4：用列表法和畫(huà)圖法來(lái)解這道題太麻煩了，用假設(shè)法比較方便。

師：現(xiàn)在請(qǐng)你們用假設(shè)法去解決與它相似的題目吧！

【反思】

假設(shè)法對(duì)學(xué)生，尤其是基礎(chǔ)不好的學(xué)生來(lái)說(shuō)理解起來(lái)很難。筆者先引出列表法，為后面教學(xué)假設(shè)法做好鋪墊。另外，筆者引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)列表法的理解，利用假設(shè)法來(lái)解決問(wèn)題。由此可見(jiàn)，在課堂教學(xué)中，合理運(yùn)用假設(shè)法可以使難以解決的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。學(xué)生經(jīng)歷了假設(shè)的過(guò)程，有利于掌握解題技能，增強(qiáng)數(shù)學(xué)思維的邏輯性與嚴(yán)密性。筆者認(rèn)為，本課的不足之處在于教學(xué)內(nèi)容的取舍方面?？紤]到四年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知水平，“雞兔同籠”問(wèn)題具有一定的挑戰(zhàn)性，要使每位學(xué)生充分經(jīng)歷探究的過(guò)程，教學(xué)時(shí)還需要給學(xué)生留出更加充足的時(shí)間。因此，在改進(jìn)本課教學(xué)時(shí)，教學(xué)內(nèi)容需調(diào)整，可以將兩道練習(xí)留到練習(xí)課來(lái)講，這樣學(xué)生就有更充足的時(shí)間進(jìn)行自主探究、合作交流。

在“雞兔同籠”教學(xué)中，師生共同探討了三種不同的解法：列表法、畫(huà)圖法和假設(shè)法。讓學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解、運(yùn)用假設(shè)法是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。為此，教師引導(dǎo)學(xué)生以表格中數(shù)據(jù)的變化規(guī)律為探究基礎(chǔ)，以小組合作、師生互動(dòng)為探究方式，以課件動(dòng)態(tài)演示為輔助手段，巧妙地將認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和思維過(guò)程轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)算式，從而形成了一般解題策略，發(fā)展了學(xué)生的思維水平和推理能力。

在交流的過(guò)程中，學(xué)生感受到數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用與解決實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系，受到多種數(shù)學(xué)思想方法的熏陶，提高了解題能力和信心，進(jìn)而體會(huì)到數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值。在課堂教學(xué)中，教師要善于捕捉教學(xué)資源，靈活改進(jìn)教學(xué)方式，運(yùn)用多樣的教學(xué)手段給學(xué)生提供思考的平臺(tái)，從而有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的全面發(fā)展。