馬永浩，張 爽，何修宇，劉志杰

1) 北京科技大學(xué)人工智能研究院，北京 100083 2) 北京科技大學(xué)自動化學(xué)院，北京 100083 3) 北京科技大學(xué)順德研究生院，佛山 528399

時滯系統(tǒng)，通常稱之為具有后效應(yīng)或停滯時間的系統(tǒng)[1]. 相別于一般系統(tǒng)，時滯系統(tǒng)的一個本質(zhì)特征是它的未來發(fā)展取決于系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)和過去狀態(tài). 時滯特性不可避免地存在于許多實(shí)際工程中[2]，例如：電力系統(tǒng)[3]、網(wǎng)絡(luò)傳輸系統(tǒng)[4]、航天飛行器[5]、化學(xué)反應(yīng)過程[6-7]. 時滯特性產(chǎn)生的主要原因是在系統(tǒng)信息獲取、傳輸以及控制決策、執(zhí)行等過程所需耗費(fèi)必要的時間. 以常見的反饋控制系統(tǒng)為例，部件的物理結(jié)構(gòu)限制或采集信號和控制信號的長距離傳輸?shù)纫蛩貢?dǎo)致傳感器到控制終端和控制終端到執(zhí)行器等通道上存在時滯現(xiàn)象. 而在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中，在系統(tǒng)輸出、控制輸入等信息在系統(tǒng)組件(傳感器節(jié)點(diǎn)，控制器節(jié)點(diǎn)，執(zhí)行器節(jié)點(diǎn)等)間的交換過程中，通信網(wǎng)絡(luò)媒介的引入會不可避免地產(chǎn)生滯后現(xiàn)象，導(dǎo)致系統(tǒng)具有時滯特性. 時滯現(xiàn)象的存在通常會影響系統(tǒng)的動態(tài)性能，如系統(tǒng)的響應(yīng)時間和操作精度，甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定. Datko等指出任意小的時滯都能導(dǎo)致一維雙曲型偏微分方程(Partial differential equations, PDEs)不穩(wěn)定[8-9]. 因此，時滯系統(tǒng)的研究具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價值，是數(shù)學(xué)、控制等領(lǐng)域的熱點(diǎn)研究問題之一. 針對時滯系統(tǒng)的研究由來已久，并取得了豐碩的研究成果[10-14]，其中，在無窮維系統(tǒng)中也具有廣泛且深入的研究，如波方程[15]和薛定諤方程[16].

目前，常見的時滯補(bǔ)償控制方法主要有：Smith預(yù)估控制[17-18]和有限譜配置法(Finite spectrum assignment, FSA)[19-21]等. Smith預(yù)估控制通過引入Smith預(yù)估器，將時滯部分有效地轉(zhuǎn)移到了閉環(huán)控制之外，即消除了閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征方程中存在的時滯特性，處理后的系統(tǒng)可按常規(guī)的控制器設(shè)計方法來設(shè)計，該方法的優(yōu)點(diǎn)在于將含有時滯特性的設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為不含時滯特性的設(shè)計問題，使問題得到簡化. 然而，該種方法嚴(yán)重依賴準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，一旦模型和對象不匹配，Smith 預(yù)估器就無法得到理想的性能，甚至可能導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定. 另外，Smith 預(yù)估器對時滯參數(shù)非常敏感. 那么，Smith預(yù)估器只適用于非滯后部分穩(wěn)定的輸入時滯系統(tǒng)，對非滯后部分不穩(wěn)定的情形卻無能為力. 有限頻譜配置法首先預(yù)估出一個超前的狀態(tài)（超前量恰好等于輸入滯后的時長），然后將得到的超前狀態(tài)用于反饋，以便補(bǔ)償輸入滯后的影響，從而保證閉環(huán)系統(tǒng)是有限維的，這個維數(shù)恰好就是原系統(tǒng)的維數(shù)，并在此前提下實(shí)現(xiàn)全部特征值的任意配置. 該方法存在一個顯著的不足：在閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中，合適的Lyapunov-Krasovskii函數(shù)的選取存在很大的難度，因?yàn)檎麄€閉環(huán)系統(tǒng)包括有限維的系統(tǒng)狀態(tài)和無限維的執(zhí)行器狀態(tài). 為了克服這一不足，Krstic和Smyshlyaev研究了具有單輸入時滯特性的有限維系統(tǒng)，創(chuàng)新性地引入分布式狀態(tài)向量來描述執(zhí)行器的狀態(tài)，采用一階雙曲型PDEs表示系統(tǒng)中的時滯特性，將具有時滯特性的原系統(tǒng)映射為不具輸入時滯特性的ODE-PDE級聯(lián)系統(tǒng)，并引進(jìn)連續(xù)反演算法降低Lyapunov-Krasovskii函數(shù)構(gòu)造的難度[22].

本文嘗試對基于連續(xù)反演算法的時滯補(bǔ)償控制思路進(jìn)行簡潔的闡述，并針對其近年來的研究成果展開詳細(xì)的介紹及分析，探討時滯補(bǔ)償控制的未來發(fā)展方向.

1 時滯系統(tǒng)分類

目前，根據(jù)時滯特性在系統(tǒng)中出現(xiàn)的不同位置，時滯系統(tǒng)主要可分為輸入時滯系統(tǒng)、輸出時滯系統(tǒng)、狀態(tài)時滯系統(tǒng)等. 下面將簡要介紹這三類時滯系統(tǒng).

通常情況下，狀態(tài)時滯系統(tǒng)僅部分狀態(tài)量存在時滯現(xiàn)象. 特別地，針對具有部分狀態(tài)時滯特性的系統(tǒng)，可直接在原系統(tǒng)上應(yīng)用連續(xù)反演算法，而不需要采用雙曲型PDE描述系統(tǒng)中的狀態(tài)時滯特性.

2 基于連續(xù)反演算法的時滯補(bǔ)償控制方法概述

在文獻(xiàn)[28]中，Smyshlyaev和Krstic提出了面向PDEs的反演法. 該方法是針對PDE系統(tǒng)構(gòu)造邊界控制器和觀測器的特定工具[29-31]，在處理ODE系統(tǒng)和PDE系統(tǒng)的時滯補(bǔ)償特性時都具有它的獨(dú)特優(yōu)勢. 以有限維系統(tǒng)為例，基于連續(xù)反演算法的時滯補(bǔ)償控制方法的主要步驟如下：

步驟一

引入分布式狀態(tài)向量描述時滯特性可獲得ODE-PDE級聯(lián)系統(tǒng)，如系統(tǒng)(5)和(8). 針對ODEPDE級聯(lián)系統(tǒng)，通過增加或移除特定的附加項(xiàng)后得到期望的穩(wěn)定目標(biāo)系統(tǒng). 具有輸入時滯或輸出時滯特性的目標(biāo)系統(tǒng)表達(dá)式如式(11)所示：變換，得到相對應(yīng)的時滯補(bǔ)償控制律.

3 面向輸入時滯的基于反演法的時滯補(bǔ)償控制

由于系統(tǒng)控制決策的創(chuàng)建和執(zhí)行通常需要一定的處理時間和響應(yīng)時間，時滯特性在實(shí)際系統(tǒng)的輸入部分非常常見. 近年來，基于連續(xù)反演算法的時滯補(bǔ)償控制方法在處理時滯系統(tǒng)的已知和未知輸入時滯特性過程中，取得了良好的時滯補(bǔ)償效果和控制效果[32-34].

3.1 面向時滯大小已知的時滯補(bǔ)償控制

針對輸入時滯已知的情況，Krstic與Smyshlyaev首次將連續(xù)反演算法應(yīng)用于具有單輸入時滯特性的ODE系統(tǒng). 文中結(jié)合李雅普諾夫直接法提出了具有指數(shù)穩(wěn)定性的目標(biāo)系統(tǒng)，通過構(gòu)造合適的反演變換函數(shù)和逆變換函數(shù)證明原閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性[22]. 基于上文的研究，Krstic進(jìn)一步分析了系統(tǒng)初始值對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響[35]，并提出了具有逆最優(yōu)特性的預(yù)測反饋控制律[36]. 不同于已有研究結(jié)果[23]，上文在控制設(shè)計中構(gòu)造了一個低通濾波器，該控制律能夠保證小時滯非匹配(Delay mismatch)情況下系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性，提升了系統(tǒng)的魯棒性. 特別地，針對具有時變輸入時滯特性的ODE系統(tǒng)，即 φ =d(t)，所引入的一階雙曲型PDE方程也具有時變特性，其對應(yīng)反演變換函數(shù)的核函數(shù)也是時變的. 因此，證明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性時也需要構(gòu)造時變的李雅普諾夫函數(shù)[37].

Tsubakino等面向具有多輸入時滯特性的ODE系統(tǒng)，針對每個輸入具有不同時滯大小，需對應(yīng)引入具有不同空間域的描述時滯特性的一階雙曲型PDE方程. 進(jìn)一步，文中針對獲得的ODE-PDE級聯(lián)系統(tǒng)構(gòu)造了面向PDEs的類反演變換函數(shù)(Backstepping-like transformation)，并分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性[38]. Bekiaris-Liberis和Krstic針對具有多輸入分布式時滯的ODE系統(tǒng)，引入了面向PDEs的前饋-反演變換(Forwarding-backstepping transformation)，將原系統(tǒng)變換為期望的穩(wěn)定目標(biāo)系統(tǒng)，并結(jié)合二次型李雅普諾夫泛函證明了目標(biāo)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性；通過求解變換過程中變換函數(shù)和逆變換函數(shù)證明原系統(tǒng)的穩(wěn)定性[39]. 在文獻(xiàn) [40-42]中, 作者進(jìn)一步針對具有時變單輸入時滯線性系統(tǒng)、定常多輸入時滯線性系統(tǒng)和定常單輸入時滯非線性系統(tǒng)研究了系統(tǒng)的逆最優(yōu)特性.

Krstic針對具有輸入時滯特性的反應(yīng)-擴(kuò)散PDEs系統(tǒng)，利用變量代換將具有時滯特性的原PDEs 系統(tǒng)映射為不具有時滯特性的PDE-PDE級聯(lián)系統(tǒng). 文中結(jié)合反演法設(shè)計了時滯補(bǔ)償反饋控制，并給出了閉環(huán)系統(tǒng)精確的解析解[43]. Gu和Wang在文獻(xiàn)[43] 的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮了輸出跟蹤問題，利用連續(xù)反演算法，可以將PDE-PDE 級聯(lián)系統(tǒng)映射為目標(biāo)誤差系統(tǒng)，該目標(biāo)系統(tǒng)是以規(guī)定的速率指數(shù)收斂，在映射過程中可以得到對應(yīng)的狀態(tài)反饋控制器[44]. Qi等將時滯補(bǔ)償控制方法進(jìn)一步拓展到具有輸入時滯特性域內(nèi)分布式控制器的反應(yīng)-擴(kuò)散PDE系統(tǒng)[45]. Liu等指出，文獻(xiàn)[22]所提出的時滯補(bǔ)償控制不適用于無窮維系統(tǒng)，因?yàn)楫?dāng)系統(tǒng)為無窮維時，算子為無界算子[46]. 即使控制輸入屬于控制空間，經(jīng)過算子的作用，也可能不在狀態(tài)空間里. 針對該問題，Liu等提出了一種新的可逆反演變換，利用伴隨理論得到所對應(yīng)的時滯補(bǔ)償控制律，使得具有輸入時滯的無限維系統(tǒng)穩(wěn)定. 此外，作者將歷史函數(shù)向量的 約束條件從文獻(xiàn)[43]中的 h ∈H1(-D,0;Hu)擴(kuò)展到 h ∈L2(-D,0;Hu). Krstic研究了具有輸入時滯特性和抗阻尼效應(yīng)弦系統(tǒng)的時滯補(bǔ)償控制[47]. 不同于反應(yīng)-擴(kuò)散PDE 方程，弦系統(tǒng)的最高階導(dǎo)數(shù)為2階，描述系統(tǒng)時滯特性的分布式狀態(tài)量屬于空間. 針對弦PDE系統(tǒng)的時滯補(bǔ)償控制設(shè)計則具有很大的挑戰(zhàn)性.

上述文章中提出的控制策略都是邊界控制，與分布式控制比較具有一定的優(yōu)勢，如工程上較易實(shí)現(xiàn). 然而，針對時滯分布參數(shù)系統(tǒng)，由于邊界控制器的設(shè)計需要系統(tǒng)過去時刻的狀態(tài)量，屬于無窮維控制器，在實(shí)際系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)具有一定的難度.

3.2 面向時滯大小未知的時滯補(bǔ)償控制

上述文獻(xiàn)中針對系統(tǒng)中時滯失配的問題，提出了具有逆最優(yōu)特性的時滯補(bǔ)償控制方法，然而僅考慮了系統(tǒng)中小時滯失配的情況. 在很多實(shí)際系統(tǒng)中時滯特性的精確值是難以獲得的，針對未知時滯大小系統(tǒng)的時滯補(bǔ)償控制是亟需解決的問題. 近年來，將連續(xù)反演法與自適應(yīng)相結(jié)合，在不確定時滯系統(tǒng)的未知時滯補(bǔ)償控制方面取得了較為豐碩的研究成果[48-51].

Krstic和Bresch-Pietri針對具有未知輸入時滯的不穩(wěn)定ODE系統(tǒng)，首次提出了基于全狀態(tài)反饋的自適應(yīng)時滯補(bǔ)償控制方法[52]. 不同于處理時滯大小已知的情況，該論文結(jié)合轉(zhuǎn)換函數(shù)w(x,t)=U(t+D(x-1))將原系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為ODE-PDE級聯(lián)系統(tǒng). 該轉(zhuǎn)變函數(shù)有利于獲得與定常時滯大小相關(guān)的線性PDE方程，具體的表達(dá)形式如式(14)所示：

不同于處理離散輸入時滯特性，處理分布式輸入時滯特性的難點(diǎn)在于：分布式控制矩陣可能包含未知函數(shù)或未知參數(shù). 為解決輸入時滯特性和分布式控制矩陣的不確定性，文獻(xiàn)[56]結(jié)合基于參數(shù)減少的參數(shù)變換(Reduction-based change of variable)和前饋反演變換方法求得對應(yīng)的目標(biāo)系統(tǒng)，控制率和更新率，以及針對該系統(tǒng)提出相應(yīng)的自適應(yīng)控制.

4 面向輸出時滯的基于反演法的時滯補(bǔ)償控制

輸出時滯是輸入、輸出、狀態(tài)三類時滯特性中較為容易處理的一種時滯特性. 處理該時滯的總體思路是通過構(gòu)造合適的觀測器獲得當(dāng)前時刻系統(tǒng)狀態(tài)的近似值，以證明誤差系統(tǒng)是收斂的.Krstic和Smyshlyaev面向具有定常輸出時滯特性的ODE系統(tǒng)，通過參數(shù)變換求得ODE-PDE 級聯(lián)系統(tǒng)，并提出了一種新型觀測器來估計原系統(tǒng)的未知狀態(tài)量[22]，如式(16)所示：

結(jié)合實(shí)際系統(tǒng)和觀測器所得的誤差系統(tǒng)，進(jìn)一步利用反演變換方法將誤差系統(tǒng)映射為預(yù)設(shè)的穩(wěn)定目標(biāo)系統(tǒng)，從而分析構(gòu)造觀測器對實(shí)際系統(tǒng)的精確跟蹤性能. 與傳統(tǒng)的僅估計系統(tǒng)狀態(tài)的輸出時滯補(bǔ)償觀測器[57-58]相比，該文所設(shè)計的觀測器是一個全狀態(tài)觀測器，不僅估計系統(tǒng)狀態(tài)，還估計傳感器狀態(tài). Sanz等將該觀測器的設(shè)計思路拓展到具有輸出時變時滯特性的線性時變系統(tǒng)的時滯補(bǔ)償控制研究中[59]. Wang等面向具有時變輸出時滯特性的礦用電纜升降機(jī)系統(tǒng)，設(shè)計了一個全狀態(tài)觀測器，并結(jié)合連續(xù)反演算法獲取了PDE-ODE-PDE級聯(lián)系統(tǒng)[60]. 特別地，該論文采用兩次反演變換所得到的描述目標(biāo)系統(tǒng)特性的PDEs均為一階雙曲型類型，并保證了時滯狀態(tài)PDEs和ODE之間的相互耦合關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)榧壜?lián)關(guān)系. 文獻(xiàn)[61]研究了具有定常輸出時滯ODE-PDE-ODE雙曲型系統(tǒng)，利用末端ODE系統(tǒng)具有時滯的輸出狀態(tài)構(gòu)造一個全狀態(tài)觀測器，進(jìn)一步利用頻域分析法和連續(xù)反演算法設(shè)計基于觀測器的輸出反饋控制策略.在該控制策略下，系統(tǒng)指數(shù)收斂. Pinto等結(jié)合連續(xù)反演算法與滑模控制，解決了具有時變輸出時滯特性和未知外界擾動的線性時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題[62].

然而，文獻(xiàn)[22]和[59]所設(shè)計的觀測器存在一個明顯的缺點(diǎn)：無法處理充分大的輸出時滯特性. 為了有效解決輸出時滯系統(tǒng)中的大時滯問題，文獻(xiàn)[63-64]提出了一種新的觀測器，即鏈?zhǔn)接^測器. 鏈?zhǔn)接^測器的總體思路為：設(shè)定大輸出延時為D秒，則鏈?zhǔn)接^測器構(gòu)造了m個子觀測器，其中，每個子觀測器包含一個預(yù)測器來預(yù)測總大輸出延時中D/m秒內(nèi)系統(tǒng)的狀態(tài)量. Ahmed-Ali等結(jié)合鏈?zhǔn)接^測器與類反演變換方法提出了基于PDEs的新型觀測器，有效解決了具有任意大輸出時滯非線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題和穩(wěn)定性問題[65].

5 面向狀態(tài)時滯系統(tǒng)的基于反演法的時滯補(bǔ)償控制

Hashimoto等首次將連續(xù)反演算法應(yīng)用于具有部分狀態(tài)時滯特性的反應(yīng)-擴(kuò)散方程中[28]. 不同于處理輸入、輸出時滯特性，處理部分狀態(tài)時滯特性，不需要采用一階雙曲型PDE方程來描述狀態(tài)時滯特性，而是直接采用Volterra 映射將原系統(tǒng)變換為期望的目標(biāo)系統(tǒng). 進(jìn)一步地，該論文采用了半群理論和Lyapunov-Razumikhin來分析目標(biāo)系統(tǒng)的穩(wěn)定性. Kang和Fridman采用連續(xù)反演算法來處理具有部分狀態(tài)時滯特性的帶Neumann-Dirichlet邊界條件的反應(yīng)-擴(kuò)散方程[66]. 該論文還同時考慮了輸入飽和特性，并利用Halanay不等式和Lyapunov直接法來證明了閉環(huán)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性，給出了原系統(tǒng)吸引域的精確界值，進(jìn)一步給出了保證目標(biāo)系統(tǒng)穩(wěn)定的LMI（Linear matrix inequality, 線性矩陣不等式）條件，該條件是與時滯大小相關(guān)的. Kang和Fridman面向具有狀態(tài)時滯特性的線性[67]和非線性[68]薛定諤方程，采用連續(xù)反演算法提出了相應(yīng)的邊界約束時滯補(bǔ)償控制律.

6 未來發(fā)展趨勢

總體而言，基于連續(xù)反演算法的時滯補(bǔ)償控制方法證明簡單，易于獲得閉環(huán)系統(tǒng)精確解等. 然而，相關(guān)的研究主要集中在ODE系統(tǒng)，PDE系統(tǒng)的相關(guān)研究還是很少，特別是時滯大小未知的研究，如表1所示. 連續(xù)反演算法的時滯補(bǔ)償控制方法仍然存有很多問題有待進(jìn)一步的研究：

表1 目前PDE時滯補(bǔ)償控制研究內(nèi)容Table1 Current research content of PDE time-delay compensation control

(1) 目前，針對時滯特性的研究主要集中于解決某種單一的輸入時滯、輸出時滯以及狀態(tài)時滯特性. 然而針對兩種或三種時滯耦合的研究很少.因此，針對多種時滯特性同時存在的時滯補(bǔ)償控制設(shè)計也有待進(jìn)一步研究. 多種非線性特性同時存在的相關(guān)研究[69]能夠給該方面的研究提供一點(diǎn)啟示.

(2) 基于反演法的自適應(yīng)時滯補(bǔ)償控制研究主要集中在ODE系統(tǒng)，然而針對PDE 系統(tǒng)的自適應(yīng)時滯補(bǔ)償控制仍處于空白階段. 基于連續(xù)反演法針對時滯大小未知的PDE時滯系統(tǒng)的自適應(yīng)時滯補(bǔ)償控制研究是未來發(fā)展的重要方向之一. ODE系統(tǒng)自適應(yīng)時滯補(bǔ)償控制[52]和傳統(tǒng)的PDE系統(tǒng)的自適應(yīng)控制[70]均可為PDE時滯系統(tǒng)的自適應(yīng)時滯補(bǔ)償控制研究提供策略借鑒.

(3) 基于反演法的時滯補(bǔ)償控制的研究對象局限于拋物線型的反應(yīng)-擴(kuò)散方程，然而針對其他類型分布參數(shù)系統(tǒng)的相關(guān)研究幾乎沒有. 主要是因?yàn)?，以拋物線型的反應(yīng)-擴(kuò)散方程為代表的拋物線型方程的時間偏導(dǎo)數(shù)為一階，該類型方程的大部分特征根都位于實(shí)軸，而波方程等雙曲線型方程的時間偏導(dǎo)數(shù)則是二階，它們的大部分特征根都位于虛軸，導(dǎo)致可逆變換的設(shè)計難度增加. 將基于反演法的時滯補(bǔ)償控制拓展于雙曲線型分布參數(shù)系統(tǒng)的時滯補(bǔ)償控制研究也是未來發(fā)展的重要方向之一. 通過變量代換，可以將二階的方程變換為兩個級聯(lián)的一階方程[71]，這為雙曲線型方程的研究提供了一個思路.

7 結(jié)束語

本文基于連續(xù)反演算法的時滯補(bǔ)償控制方法的基本原理進(jìn)行概述，并從輸入、輸出和狀態(tài)三類時滯特性的時滯補(bǔ)償控制的最新進(jìn)展進(jìn)行了簡單的闡述和評價. 雖然基于連續(xù)反演算法的時滯補(bǔ)償控制研究取得了一系列豐碩的成果，但是存在時滯類型單一，研究對象局限于基本的數(shù)學(xué)方程等問題，缺乏對仿生撲翼飛行器[72-74]、多旋翼機(jī)[75]和加油機(jī)軟管[76]等實(shí)際系統(tǒng)的時滯補(bǔ)償控制研究，如何設(shè)計有效的基于連續(xù)反演算法的時滯補(bǔ)償控制方法，降低實(shí)際分布參數(shù)系統(tǒng)的時滯特性的影響是未來的研究方向.