王晨皓 陳艷峰

摘 要：以BOOST峰值電流型PFC變換器為研究對象，采用數(shù)值仿真法和解析建模法對其進(jìn)行建模及穩(wěn)定性分析。首先通過MATLAB/Simulink應(yīng)用軟件建立BOOST峰值電流型PFC變換器的電路模型，通過仿真研究其分岔現(xiàn)象，然后建立離散映射方程，并由雅可比矩陣法來分析分岔現(xiàn)象，從而得出各參數(shù)的穩(wěn)定邊界。其結(jié)果可為BOOST峰值電流型PFC變換器的設(shè)計、運行提供依據(jù)。

關(guān)鍵詞：功率因數(shù)校正;穩(wěn)定性分析;分岔現(xiàn)象;頻閃映射;雅可比矩陣

中圖分類號：TM46? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? 文章編號：1671-0797（2022）10-0008-04

DOI：10.19514/j.cnki.cn32-1628/tm.2022.10.003

0? ? 引言

BOOST峰值電流型PFC變換器是一種有源功率因數(shù)校正技術(shù)，能提高開關(guān)電源功率因數(shù)，節(jié)省能源，提高電能質(zhì)量。該變換器由電感、電容、開關(guān)管等元件組成，是時變非線性系統(tǒng)，具有很強的非線性，存在分岔現(xiàn)象[1]，當(dāng)電路參數(shù)變動經(jīng)過分岔點時，系統(tǒng)的定性性態(tài)（如平衡狀態(tài)或周期運動的穩(wěn)定性等）會發(fā)生突然變化，引發(fā)不穩(wěn)定現(xiàn)象。在設(shè)計開發(fā)此變換器時，為了抑制分岔現(xiàn)象，保證電路能在開關(guān)頻率下穩(wěn)定運行，有必要開展對此類電路的分岔研究，了解電路各參數(shù)的穩(wěn)定邊界及不穩(wěn)定現(xiàn)象，為設(shè)計開發(fā)提供理論依據(jù)。BOOST峰值電流型PFC變換器存在慢時標(biāo)分岔及快時標(biāo)分岔兩種分岔現(xiàn)象，本文僅研究其快時標(biāo)分岔。

本文以BOOST峰值電流型PFC變換器為研究對象，采用數(shù)值仿真法和解析建模法對其進(jìn)行建模及穩(wěn)定性分析。首先通過MATLAB/Simulink應(yīng)用軟件建立電路模型，通過仿真研究分岔現(xiàn)象，然后建立離散映射方程，并由雅可比矩陣法來分析分岔現(xiàn)象，從而得出各參數(shù)的穩(wěn)定邊界。

1? ? 采用數(shù)值仿真法分析BOOST峰值電流型PFC變換器的分岔現(xiàn)象

1.1? ? BOOST峰值電流型PFC變換器建模

BOOST峰值電流型PFC變換器是一個時變網(wǎng)絡(luò)，閉環(huán)工作時是時變非線性的。采用MATLAB軟件的Simulink和SimPowerSystems工具箱進(jìn)行數(shù)值仿真建模，搭建出了對應(yīng)的Simulink仿真模型[2]。如圖1所示，參數(shù)選取如下：在主電路中，輸入電壓頻率f=50 Hz，電感L=2 mH，電容C=470 μF;在控制電路中，開關(guān)周期Ts=

20 μs，k1=0.08，k2=1/60，TF=4 ms，Tc=1/70 s。

1.2? ? 分岔現(xiàn)象仿真及分析

為詳細(xì)研究上述模型分岔現(xiàn)象，選擇電阻、固定輸入電壓、參考電壓其中之一作為唯一變量，研究其對應(yīng)的分岔現(xiàn)象，即假定三個物理量電阻R、輸入電壓ui、參考電壓Vref中的兩個量不變，只有另一個發(fā)生變化時出現(xiàn)分岔現(xiàn)象。

1.2.1? ? 電阻值變化時的分岔現(xiàn)象

固定ui=110 V，Vref=180 V，改變負(fù)載電阻進(jìn)行仿真。當(dāng)R=85 Ω時，出現(xiàn)分岔現(xiàn)象，iL的波形如圖2所示。負(fù)載電阻值越大，分岔越嚴(yán)重，由周期1狀態(tài)變?yōu)橹芷?狀態(tài)（倍周期分岔現(xiàn)象），而且隨著分岔的加劇，分岔點由兩端向中間靠近，分岔的范圍擴大。

1.2.2? ? 參考電壓Vref變化時的分岔現(xiàn)象

固定ui=130 V，R=95 Ω，改變參考電壓進(jìn)行仿真。當(dāng)Vref=260 V時，出現(xiàn)倍周期分岔現(xiàn)象，電路工作在周期2狀態(tài)。iL的波形如圖3所示，減小Vref，發(fā)現(xiàn)分岔更加嚴(yán)重。

1.2.3? ? 輸入電壓ui變化時的分岔現(xiàn)象

固定Vref=380 V，R=100 Ω，改變輸入電壓ui，對電路模型進(jìn)行仿真。當(dāng)ui=180 V時，存在倍周期分岔現(xiàn)象，電路工作在周期2狀態(tài)。

iL的波形如圖4所示，可見，在t=0.592 s之前和t=0.599 s之后，電感電流存在明顯的倍周期分岔現(xiàn)象。進(jìn)一步增加ui，發(fā)現(xiàn)分岔更加嚴(yán)重，電感電流存在明顯的倍周期分岔現(xiàn)象。

1.2.4? ? 小結(jié)

仿真發(fā)現(xiàn)，BOOST峰值電流型PFC變換器存在快時標(biāo)分岔現(xiàn)象，且分岔現(xiàn)象與電路的參數(shù)有關(guān)。減小負(fù)載電阻、降低輸入電壓或提高電壓參考基準(zhǔn)值，將有利于電路趨于穩(wěn)定。

2? ? 采用解析建模法分析BOOST峰值電流型PFC變換器的分岔現(xiàn)象

目前的研究主要采用離散迭代非線性映射、分段光滑狀態(tài)方程法、平均分段光滑狀態(tài)方程法3種建模方法建立非線性動力學(xué)模型來分析分岔現(xiàn)象[3]。為進(jìn)一步分析論證BOOST峰值電流型PFC變換器快時標(biāo)下的分岔現(xiàn)象，對變換電路進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，求出其頻閃映射，再通過雅可比矩陣來分析快時標(biāo)下的分岔現(xiàn)象。

2.1? ? BOOST峰值電流型PFC變換器的頻閃映射

以電路的開關(guān)頻率為采樣頻率，在每個開關(guān)周期的起點對變換器狀態(tài)變量進(jìn)行采樣，建立其頻閃映射數(shù)學(xué)模型[4-5]。令初始時刻為nTs，此時電感電流iL為iL（n），電容電壓uc為uc（n），輸入電壓ui為ui（n）。當(dāng)開關(guān)頻率fs足夠高時，則可以認(rèn)為在每個開關(guān)周期Ts內(nèi)的輸入電壓ui為定值v。ui（n）=v（n）。

當(dāng)ton>Ts時，在整個開關(guān)周期功率開關(guān)管都導(dǎo)通。

iL（n+1）=iL（n）+■·v（n）·Ts? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

uc（n+1）=uc（n）·e■? ? ?（2）

當(dāng)tonTs時，在nTs—nTs+ton，功率開關(guān)管導(dǎo)通。

iL（nTs+ton）=iref =iL（n）+■·v（n）·ton? ? ? ? ? ?（3）

uc（nTs+ton）=uc（n）·e■? ? ? ? ? （4）

在nTs+ton—（n+1）Ts，功率開關(guān)管截止。

iL（n+1）=e■·[（p1q1+p2q2）·cos γ·tb+

（p1q2-p2q1）·sin γ·tb]+■? ? ? （5）

uc（n+1）=e■·（q1·cos γ·tb+q2·sin γ·tb）+v（n）? （6）

式中：α=-■;γ=■;p1=■;p2=■;

q1=uc（n）·e■-v（n）;q2=■。

當(dāng)ton

e■·[（p1q1+p2q2）·cos γ·tf+

（p1q2-p2q1）·sin γ·tf]+■=0? ? ? ? ? ? ?（7）

由此可求出tf。

在nTs+ton+tf—（n+1）Ts：

iL（n+1）=0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （8）

uc（n+1）=uc（n）·e■? ? ? ? ? ? ? ?（9）

通過定出狀態(tài)變量的初始值，可求出下一周期的解，如此不斷反復(fù)，最終得到所需精度的頻閃映射的采樣點的解。

2.2? ? 離散映射的雅可比矩陣

雅可比矩陣是研究變換器非線性動力系統(tǒng)中局部分岔問題的一種解析法[4-5]。對于離散映射Xn+1=f（Xn，μ），在不動點xe處的雅可比矩陣定義為JF=■■。通過推算，BOOST峰值電流型PFC變換器的頻閃映射雅可比矩陣為：

JF=■? ■ ■? ■■? ? ? ? ? ? ?（10）

通過雅可比矩陣特征值軌跡可以較精確地計算出倍周期分岔點位置，根據(jù)映射的不動點方程穩(wěn)定性定理，不動點的穩(wěn)定性由其雅可比矩陣的特征值λ決定，當(dāng)特征值λ=-1時，參數(shù)對應(yīng)的值即變換器由周期1到周期2的分岔點，從而得出快時標(biāo)下不穩(wěn)定區(qū)域邊界。因此，通過這種方法定位變換器的分岔點，就能得到電路可采用的參數(shù)范圍，確保變換器穩(wěn)定地工作在周期1區(qū)域。

2.3? ? 分岔現(xiàn)象仿真及分析

2.3.1? ? BOOST峰值電流型PFC變換器的分岔現(xiàn)象

根據(jù)上述變換器的頻閃映射，開展對快時標(biāo)下的分岔仿真。當(dāng)ui=220 V，R=200 Ω，Vref=380 V時，電感電流與輸出電壓的相圖如圖5所示，電感電流的采樣值如圖6所示。出現(xiàn)倍周期分岔現(xiàn)象，電路工作在周期2狀態(tài)，可明顯看出存在快時標(biāo)下的分岔現(xiàn)象，且由于系統(tǒng)拓?fù)涞淖兓?，電路在模態(tài)1、2和模態(tài)3之間頻繁切換，致使非線性現(xiàn)象變得更為復(fù)雜。電路存在倍周期分岔及其他分岔現(xiàn)象，甚至發(fā)生混沌現(xiàn)象。

2.3.2? ? BOOST峰值電流型PFC變換器的穩(wěn)定邊界

設(shè)定輸入電壓頻率f=50 Hz，儲能電感L=2 mH，電容C=470 μF，開關(guān)周期Ts=20 μs。通過上述頻閃映射的雅可比矩陣表達(dá)式進(jìn)行計算，得到特征值，從而得到系統(tǒng)的分岔點，最后形成不同電路參數(shù)下的穩(wěn)定性邊界。當(dāng)ui=110 V時，Vref和R各分岔點形成的穩(wěn)定性邊界如圖7所示;當(dāng)R=80 Ω時，Vref和ui各分岔點形成的穩(wěn)定性邊界如圖8所示。計算結(jié)果形成準(zhǔn)確的穩(wěn)定邊界，這樣可確保設(shè)計BOOST峰值電流型PFC變換器時，準(zhǔn)確選擇電路參數(shù)，避免變換器發(fā)生分岔，進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)域。3? ? 結(jié)語

本文采用MATLAB對變換器進(jìn)行建模及仿真，分析快時標(biāo)下的分岔現(xiàn)象。接著采用頻閃映射法和雅可比矩陣法對電路進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，并在仿真中進(jìn)一步分析論證分岔現(xiàn)象，同時得到不同電路參數(shù)下的穩(wěn)定性邊界，為BOOST峰值電流型功率因數(shù)校正電路的設(shè)計、運行提供了依據(jù)。

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收稿日期：2022-02-28

作者簡介：王晨皓（1971—），女，河北澧縣人，碩士，講師，從事電力系統(tǒng)控制及通信電源等的教學(xué)和研究工作。

陳艷峰（1970—），女，湖南永興人，博士，教授，從事非線性電路系統(tǒng)理論與功率電子學(xué)的研究工作。