□ 何葉飄 黃鼎滴

整理與復(fù)習(xí)課主要有兩個(gè)目標(biāo)，即知識(shí)整理和鞏固提升。在整理與復(fù)習(xí)課上，要通過(guò)對(duì)知識(shí)間關(guān)系的梳理，點(diǎn)串成線，線連成面，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化。以往教師在進(jìn)行“因數(shù)與倍數(shù)”單元的整理與復(fù)習(xí)時(shí)，通常先引導(dǎo)學(xué)生梳理歸納知識(shí)點(diǎn)，形成結(jié)構(gòu)，然后以不同類型、不同層次的練習(xí)為載體，通過(guò)訓(xùn)練、講評(píng)來(lái)檢測(cè)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況。但這一單元教學(xué)內(nèi)容中，涉及的概念數(shù)量多，概念比較抽象，概念間的關(guān)系復(fù)雜，導(dǎo)致學(xué)生整理時(shí)容易出現(xiàn)混亂現(xiàn)象。針對(duì)這種現(xiàn)狀，筆者嘗試以“概念構(gòu)圖”為教學(xué)途徑，引導(dǎo)學(xué)生在合作構(gòu)圖中不斷修正、完善概念理解，進(jìn)一步明晰概念之間的內(nèi)在關(guān)系，提高理解水平和應(yīng)用能力，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

一、初構(gòu)概念圖，呈現(xiàn)已有經(jīng)驗(yàn)

為更好地了解學(xué)生對(duì)于因數(shù)、倍數(shù)知識(shí)掌握的情況，教師請(qǐng)學(xué)生回憶“關(guān)于因數(shù)和倍數(shù)，你能想起哪些知識(shí)點(diǎn)”，思考“這些知識(shí)點(diǎn)之間有什么聯(lián)系”，并在導(dǎo)學(xué)單上繪制概念圖。學(xué)生在這一過(guò)程中，會(huì)充分暴露已有的認(rèn)知狀態(tài)。教師通過(guò)整理學(xué)生的作品（如圖1~圖4）發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的理解水平存在很大的差異。

圖1 作品1

圖2 作品2

圖3 作品3

圖4 作品4

從以上作品中可以看出學(xué)生的三個(gè)理解水平層次。

理解水平1：作品1 和作品2 都是從“數(shù)”這個(gè)主干生長(zhǎng)出“奇數(shù)、偶數(shù)”“質(zhì)數(shù)、合數(shù)”“公因數(shù)”“公倍數(shù)”和“互質(zhì)數(shù)”等分支。這部分學(xué)生只是對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了簡(jiǎn)單的羅列，層級(jí)關(guān)系不清晰，知識(shí)結(jié)構(gòu)較低。因此我們把它們定位為理解水平1。處于這一水平層次的學(xué)生占全班總?cè)藬?shù)的22.2%。

理解水平2：從作品3 可以清晰地看出“因數(shù)、倍數(shù)”是一級(jí)概念，“奇數(shù)、偶數(shù)”“質(zhì)數(shù)、合數(shù)”是從屬于“因數(shù)、倍數(shù)”的二級(jí)概念，有一定的層級(jí)關(guān)系。雖然有些層級(jí)關(guān)系表達(dá)得還不夠清晰，但對(duì)比作品1和作品2，已經(jīng)高了一個(gè)水平，我們把它定位為理解水平2。處于這一水平層次的學(xué)生占全班總?cè)藬?shù)的71.1%。

理解水平3：作品4 不僅能清晰地表達(dá)不同維度的知識(shí)，而且有序地建構(gòu)了各個(gè)概念之間的層級(jí)關(guān)系，并能準(zhǔn)確地表達(dá)“因數(shù)和倍數(shù)”是相互依存的關(guān)系。處于這一水平層次的學(xué)生較少，只占全班總?cè)藬?shù)的6%。

由此可以看出，學(xué)生對(duì)“因數(shù)與倍數(shù)”單元中涉及的知識(shí)點(diǎn)都能一一羅列，但缺乏概念間的內(nèi)在關(guān)系的梳理，只有小部分學(xué)生能厘清概念間的層級(jí)關(guān)系。因此在教學(xué)中教師要對(duì)學(xué)生已有認(rèn)知進(jìn)行深度剖析，強(qiáng)化對(duì)零碎概念的整理與關(guān)聯(lián)。

二、評(píng)論概念圖，經(jīng)歷深度辨析

教師選擇作品3作為主要討論對(duì)象，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行論圖辨析。

1.教師出示問(wèn)題一：你能看明白作品3嗎？你看明白了什么？請(qǐng)學(xué)生討論。

生：我能清晰地看到因數(shù)和倍數(shù)的特征，最大的因數(shù)是其本身，最小的倍數(shù)也是其本身。

生：我發(fā)現(xiàn)在“因數(shù)與倍數(shù)”的相關(guān)知識(shí)中有很多概念，這些概念存在著一定的聯(lián)系。

2.教師出示問(wèn)題二：這些概念之間的層級(jí)關(guān)系是否合適？如果不合適，你會(huì)怎么調(diào)整？請(qǐng)學(xué)生討論。

生：我覺得質(zhì)數(shù)和合數(shù)應(yīng)該放在因數(shù)的層級(jí)之下，因?yàn)楦鶕?jù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，可以把非零自然數(shù)分成質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1，作品3的作者把1漏了。

生：我還有補(bǔ)充，質(zhì)數(shù)和互質(zhì)數(shù)是不一樣的，質(zhì)數(shù)是根據(jù)因數(shù)的個(gè)數(shù)來(lái)判定的，它是一個(gè)數(shù)?；ベ|(zhì)數(shù)是根據(jù)公因數(shù)的個(gè)數(shù)來(lái)判定的，它是兩個(gè)數(shù)之間的一種關(guān)系。所以，互質(zhì)數(shù)應(yīng)該在公因數(shù)的層級(jí)之下。

生：我還有點(diǎn)想法，我覺得奇數(shù)和偶數(shù)應(yīng)該放在倍數(shù)的層級(jí)之下，因?yàn)槠鏀?shù)和偶數(shù)是根據(jù)“2 的倍數(shù)特征”來(lái)判定的。

生：我有不同意見，奇數(shù)和偶數(shù)也可以放在因數(shù)的層級(jí)之下，因?yàn)榭梢愿鶕?jù)有沒有因數(shù)2來(lái)判定奇數(shù)和偶數(shù)。

……

之所以選擇作品3展開討論，首先是因?yàn)樗碇蟛糠謱W(xué)生的理解水平。用它來(lái)引導(dǎo)學(xué)生展開討論和思辨，具有一定的普適性，容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性。其次是因?yàn)樽髌? 里有比較適合激發(fā)學(xué)生思辨的切入點(diǎn)，學(xué)生思維生長(zhǎng)的空間比較大。比如“奇數(shù)、偶數(shù)”這兩個(gè)概念，學(xué)生把它們放在“因數(shù)與倍數(shù)”總概念之下，連接詞是“其他”，就說(shuō)明他對(duì)“奇數(shù)、偶數(shù)”應(yīng)該放在哪個(gè)層級(jí)之下并不清楚。因此在課堂中，應(yīng)緊扣學(xué)生的認(rèn)知困惑點(diǎn)，讓學(xué)生在交流、辨析、調(diào)整的過(guò)程中，不斷理解“奇數(shù)、偶數(shù)”與“因數(shù)、倍數(shù)”概念之間的關(guān)系。厘清了這些概念之間的層級(jí)，也就厘清了各個(gè)概念之間的區(qū)別與聯(lián)系。另外，我們也從作品3中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)“質(zhì)數(shù)”和“互質(zhì)數(shù)”這兩個(gè)概念的理解比較模糊。“質(zhì)數(shù)”與“互質(zhì)數(shù)”之間的辨析，需要透過(guò)表象看本質(zhì)，因此可以通過(guò)質(zhì)疑與釋疑來(lái)促進(jìn)學(xué)生深入理解它們的意義。

在交流過(guò)程中，學(xué)生以圖為介，邊觀察邊思辨，在思維碰撞中形成深度的理解。學(xué)生有的從概念定義的角度對(duì)“質(zhì)數(shù)”和“互質(zhì)數(shù)”進(jìn)行了辨析；有的拓寬了對(duì)“奇數(shù)、偶數(shù)”由來(lái)的再認(rèn)知，啟發(fā)其他同學(xué)感悟“如何從不同視角把握知識(shí)間的關(guān)系”。通過(guò)這樣的過(guò)程，學(xué)生不再簡(jiǎn)單地從字面上理解數(shù)學(xué)概念，而學(xué)會(huì)進(jìn)一步溝通概念之間的聯(lián)系，以此來(lái)深入理解概念的意義。

三、重構(gòu)概念圖，完善認(rèn)知建構(gòu)

學(xué)生掌握了“因數(shù)與倍數(shù)”的相關(guān)知識(shí)及內(nèi)在關(guān)系后，還需要在理解的基礎(chǔ)上通過(guò)反思進(jìn)行重構(gòu)，以達(dá)到內(nèi)化提升的目的。因此在這個(gè)環(huán)節(jié)安排了兩個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)：（1）在小組內(nèi)交流各自的收獲和思考。（2）以小組為單位重構(gòu)“概念圖”。

在小組合作中，學(xué)生可以從構(gòu)圖的形式和理解的內(nèi)容兩個(gè)維度出發(fā)，通過(guò)比較、思辨、修正、完善等數(shù)學(xué)活動(dòng)，達(dá)成共識(shí)，形成層級(jí)關(guān)聯(lián)清晰的知識(shí)結(jié)構(gòu)。這是數(shù)學(xué)內(nèi)化的最好表現(xiàn)，也是學(xué)生學(xué)會(huì)表達(dá)、強(qiáng)化理解的有效途徑。

通過(guò)這樣一個(gè)重構(gòu)的過(guò)程，學(xué)生對(duì)奇數(shù)與偶數(shù)的處理進(jìn)入“柳暗花明又一村”的境界。有些學(xué)生把質(zhì)數(shù)和合數(shù)放在了因數(shù)個(gè)數(shù)有限的特征之下，可見他們對(duì)質(zhì)數(shù)和合數(shù)已經(jīng)有了正確的個(gè)性化理解。這個(gè)過(guò)程讓學(xué)生不再把這些概念理解成“數(shù)”，而是明白了它們的本質(zhì)意義，并建立了符合自己認(rèn)知特點(diǎn)的層級(jí)關(guān)系。學(xué)生的理解從“散亂”走向了“結(jié)構(gòu)”，從“表層”走向了“深刻”。

實(shí)踐證明，學(xué)生經(jīng)歷了“初構(gòu)概念圖—評(píng)論概念圖—重構(gòu)概念圖”的過(guò)程，就會(huì)自主產(chǎn)生很多新的感悟，形成一些更深刻的數(shù)學(xué)理解?？梢姡拍顦?gòu)圖在整理與復(fù)習(xí)課中的運(yùn)用是有效的，值得應(yīng)用推廣。但需要強(qiáng)調(diào)的是，教師在組織教學(xué)時(shí)至少要做到以下三點(diǎn)：一是遵循學(xué)生“從發(fā)散思維到結(jié)構(gòu)思維”的學(xué)習(xí)導(dǎo)向來(lái)進(jìn)行教學(xué)；二是加強(qiáng)“思維可視”為“理解進(jìn)階”服務(wù)的意識(shí)；三是把握“求同存異”與“深層關(guān)聯(lián)”的教學(xué)價(jià)值。相信唯有如此，概念構(gòu)圖在整理與復(fù)習(xí)課中的運(yùn)用才會(huì)喚醒學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活力，有效提升他們的數(shù)學(xué)理解水平，為實(shí)現(xiàn)“輕負(fù)高質(zhì)”提供可行路徑。