□ 徐夢瑤 郭俏婷

在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，“周長”和“面積”是與平面圖形有關(guān)的兩個(gè)概念。這兩個(gè)概念分別安排在人教版教材三年級(jí)上、下兩冊中。上冊教材在呈現(xiàn)“周長”概念后，安排了矩形（長方形、正方形）周長計(jì)算的相關(guān)內(nèi)容。下冊教材在呈現(xiàn)“面積”概念后，安排了矩形面積計(jì)算的相關(guān)內(nèi)容。圖形的周長和面積是兩種不同的度量問題，周長是關(guān)于圖形邊長的度量（矩形中，是邊長之和），面積是關(guān)于圖形大小的度量。這兩種度量的計(jì)算都關(guān)系到圖形的邊（矩形中的邊長），學(xué)生若不能深刻理解這兩個(gè)概念的內(nèi)涵，就非常容易將它們混淆。

為解決概念混淆的問題，我們借助概念構(gòu)圖設(shè)計(jì)了一節(jié)探究拓展課，通過三次構(gòu)圖促使學(xué)生對周長與面積進(jìn)行有效區(qū)分，即初學(xué)構(gòu)圖，探究周長與面積的關(guān)系；二次構(gòu)圖，梳理周長與面積的關(guān)系；修正構(gòu)圖，完善周長與面積的關(guān)系。在這個(gè)過程中，學(xué)生將知識(shí)點(diǎn)串成線，連成網(wǎng)，進(jìn)一步提高了抽象水平，實(shí)現(xiàn)從“點(diǎn)狀”到“網(wǎng)狀”的結(jié)構(gòu)化建構(gòu)。

一、初學(xué)構(gòu)圖，探究周長與面積的關(guān)系

我們知道，理解是建立在學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的，教師只有充分把握學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，才能精準(zhǔn)、有效地開展課堂教學(xué)。于是，我們讓學(xué)生在學(xué)習(xí)周長與面積的基礎(chǔ)上，進(jìn)行自主構(gòu)圖。從學(xué)生的課前構(gòu)圖（如圖1）中可以看出，學(xué)生的理解表現(xiàn)出這樣兩個(gè)特點(diǎn)：（1）頭腦中有很多知識(shí)點(diǎn)（如周長與面積的概念、單位、相關(guān)的計(jì)算公式等），但這些知識(shí)點(diǎn)是分散零碎的。（2）“周長”與“面積”是兩個(gè)獨(dú)立的教學(xué)內(nèi)容，它們的學(xué)習(xí)有半年的間隔時(shí)間，因此有的學(xué)生在“關(guān)系”這里打了問號(hào)，提出“周長與面積之間是否存在一定的關(guān)系”“當(dāng)周長一定或面積一定時(shí)，周長與面積存在怎樣的關(guān)系”等問題。

圖1

由于尋找“周長”與“面積”間的關(guān)系需要用到較多的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生在關(guān)系理解中往往會(huì)表現(xiàn)出混亂、模糊的狀態(tài)。讓學(xué)生課前把自己的認(rèn)識(shí)用概念構(gòu)圖呈現(xiàn)出來，不僅有利于喚醒學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，而且能暴露學(xué)生存在的疑惑和學(xué)習(xí)需求，為深入學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

二、二次構(gòu)圖，梳理周長與面積的關(guān)系

從學(xué)生的課前構(gòu)圖可知，學(xué)生對“周長”與“面積”這兩個(gè)獨(dú)立概念已經(jīng)有深刻的認(rèn)識(shí)。因此教師可以從問題引入，激發(fā)學(xué)生思考。教師鼓勵(lì)學(xué)生先利用表格和圖式深入分析、探尋本質(zhì)屬性，再利用變式拓展，讓學(xué)生在變與不變中體會(huì)兩者的關(guān)聯(lián)，最后利用概念構(gòu)圖把自己的發(fā)現(xiàn)串聯(lián)成線，初步歸納周長與面積的關(guān)系，生發(fā)新的理解。

【核心活動(dòng)一】

師：從大家的課前構(gòu)圖中看出，同學(xué)們對“周長與面積有什么關(guān)系”非常感興趣，接下來我們一起來研究。先思考這樣一個(gè)問題：用16 厘米長的鐵絲圍長方形，長方形的面積情況是怎樣的？

（學(xué)生獨(dú)立思考后，教師呈現(xiàn)學(xué)生不同的作品，如圖2）

圖2

師：觀察思考這三個(gè)作品，你贊同誰的？說說你的理由。

生：作品①肯定是錯(cuò)的。題目的意思是周長是16厘米，他理解成了面積是16平方厘米。

生：作品②也錯(cuò)了。因?yàn)殚L方形的周長=（長+寬）×2，所以長+寬=16÷2=8（厘米），而這里長加寬的和變成了16厘米，所以肯定錯(cuò)了。

生：我認(rèn)為作品③是對的。我還發(fā)現(xiàn)這些長方形的周長都是16厘米，長和寬的長度越接近，面積就越大，圍成正方形時(shí)面積最大。

師：為什么當(dāng)周長一定時(shí)，長和寬越接近，面積就越大？誰有辦法說清楚嗎？

生：我用的是數(shù)格子的方法。我發(fā)現(xiàn)當(dāng)邊長是4格長的時(shí)候，面積的格子數(shù)是最多的（如圖3）。

圖3

生：長方形的長少了1 格，寬多了1 格，周長不變。格子數(shù)從1行變成2行，數(shù)量變多了（如圖4）。

圖4

生：長方形的寬多了1 格，就增加了1 行；長少了1 格，就減少了1 列，格子總數(shù)就是加6 減1。周長沒有變，面積增加5格。（學(xué)生手指圖4進(jìn)行講解）

通過錯(cuò)例分析，尋找理解上的“模糊點(diǎn)”，是推動(dòng)學(xué)生深化理解的有效途徑。教師以“數(shù)形結(jié)合”為理解手段，借助格子圖上的演示和比較，幫助學(xué)生明晰規(guī)律及其背后的原理。在這樣的過程中，學(xué)生自然而然地感悟到兩個(gè)概念的本質(zhì)區(qū)別，同時(shí)建立起“長方形的周長相等時(shí)，長度和寬度越接近，面積越大”的規(guī)律。

【核心活動(dòng)二】

師：如果用12 厘米長的鐵絲一面靠墻圍長方形，怎么圍面積最大？

生：當(dāng)邊長是4 厘米時(shí)正方形面積最大，最大面積是16平方厘米。

生：當(dāng)長是6 厘米、寬是3 厘米的時(shí)候，面積有18平方厘米，更大。

師：不是說當(dāng)周長一定時(shí)，正方形的面積最大嗎？這里為什么不對了？

生：這里是靠墻圍長方形，12厘米是鐵絲的長度，不是周長。

師：那是不是我們前面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律不對呢？為什么面積為18平方厘米一定是最大值？誰有辦法說清楚？

生：如果我們在墻的另一邊也畫一個(gè)同樣的長方形，就變成了正方形。這個(gè)時(shí)候周長是24厘米，邊長是6 厘米。這時(shí)靠墻圍成的長方形的長是寬的2倍，這時(shí)的面積最大。（學(xué)生手指圖5進(jìn)行講解）

圖5

師：通過剛才的活動(dòng)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：一面靠墻圍長方形，當(dāng)長是寬的2倍時(shí)，面積最大。

生：解決一邊靠墻圍長方形問題的辦法是將周長×2，也就是使長方形的2 倍成為正方形的時(shí)候，面積最大。

生：周長相等，面積不一定相等，圍成正方形時(shí)面積最大。

學(xué)生習(xí)慣用遷移的方法把對一個(gè)問題的理解轉(zhuǎn)化到另一個(gè)問題的解決上，這樣的思考有時(shí)有助于學(xué)生理解，有時(shí)也會(huì)導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤認(rèn)知。教學(xué)中，教師要有效利用學(xué)生的主張進(jìn)行思辨、探究，以推動(dòng)學(xué)生形成更高級(jí)的認(rèn)知。由此可見，受“核心活動(dòng)一”的遷移，學(xué)生很容易認(rèn)為當(dāng)圍成正方形時(shí)面積最大。而事實(shí)并不是這樣，學(xué)生發(fā)生了認(rèn)知沖突，很自然地會(huì)去追尋原因，從不同的角度進(jìn)行延伸性思考。根據(jù)周長的本質(zhì)意義，并借助圖式進(jìn)行理解，同樣能運(yùn)用之前發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來解釋“一面靠墻圍長方形，當(dāng)長是寬的2倍時(shí)，面積最大”。學(xué)生在主動(dòng)思考與交流的過程中會(huì)加深理解，提升數(shù)學(xué)思維能力。

【核心活動(dòng)三】

師：有同學(xué)在課前構(gòu)圖中提出“當(dāng)周長一定或面積一定時(shí)，周長與面積存在怎樣的關(guān)系”，現(xiàn)在你能將概念構(gòu)圖補(bǔ)充得更完整嗎？

（學(xué)生獨(dú)立思考后呈現(xiàn)各自的想法）

師（出示圖6~圖8）：這是幾位同學(xué)的概念圖，你看懂了嗎？

生：我看懂了圖6。周長一定時(shí)，長與寬越接近面積越大，正方形的面積最大；當(dāng)一面靠墻時(shí)，可以把墻看成對稱軸，變成正方形，當(dāng)圖形的長是寬的2倍時(shí)，面積最大。

生：圖7 指出了周長是邊線長度的總和，面積是邊線圍成區(qū)域的大小。它們的關(guān)系和圖6 表示的是一樣的。

圖6

生：圖8 比圖7 更完善，它指出了“正方形的面積最大”是屬于“長與寬越接近，面積越大”的一種特殊情況。

圖7

圖8

學(xué)生的深度理解需要思維的積極參與，讓思維可見對于促進(jìn)學(xué)生深度理解有著重要的作用。教師利用直觀的概念圖，把不可見的思維過程和結(jié)構(gòu)直觀地呈現(xiàn)出來，能讓學(xué)生精準(zhǔn)地把握重點(diǎn)，理解知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)。

三、修正構(gòu)圖，完善周長與面積的關(guān)系

通過以上構(gòu)圖過程，學(xué)生可以在一個(gè)輕松自由的對話環(huán)境中相互補(bǔ)充、完善理解。這個(gè)過程能夠促使學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)思辨，在與同伴的對話中不斷地修正、拓展和超越原始理解。

師：根據(jù)剛才幾位同學(xué)表示出的周長與面積的關(guān)系，你們有新的想法或補(bǔ)充嗎？可以四人小組相互討論完成。

（小組討論重新構(gòu)圖，如圖9、圖10）

圖9

圖10

師：誰能來介紹一下你們組的想法？

生：圖9是我們組修正后的概念圖。它表示的規(guī)律和圖8 是一樣的，我們還表示出了“一面靠墻時(shí)把墻看成對稱軸變成軸對稱圖形”這一規(guī)律。

生：圖10 是我們組修正后的概念圖。我們認(rèn)為要厘清周長與面積的關(guān)系，首先要明確這兩個(gè)概念的本質(zhì)區(qū)別。因此我們把兩者的意義放在前面，由此形成了一定的關(guān)系。

師（小結(jié)）：現(xiàn)在你對周長與面積的關(guān)系有了什么新的理解？請修正你的構(gòu)圖。

（學(xué)生修正構(gòu)圖，完成后在教室里展出）

學(xué)生通過不斷補(bǔ)充、修正概念圖來建立知識(shí)間的關(guān)聯(lián)。隨著構(gòu)圖、展圖、論圖、正圖活動(dòng)的層層推進(jìn)，學(xué)生對周長與面積的關(guān)系有了結(jié)構(gòu)化、整體性的認(rèn)知，學(xué)生的理解得到了深化，思維能力得到了發(fā)展。

總之，利用概念構(gòu)圖可以幫助學(xué)生厘清概念之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)橫向關(guān)聯(lián)和縱向融通。在這個(gè)過程中，學(xué)生會(huì)自主思考、相互傾聽、充分討論、積極反思，并形成關(guān)系結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)理解進(jìn)階和知識(shí)遷移。