葉 杰

（西北大學(xué) 科學(xué)史高等研究院，陜西 西安 710127）

中國(guó)古代對(duì)五星視運(yùn)動(dòng)規(guī)律的觀測(cè)和記錄很早，早在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，天文學(xué)家甘德和石申就對(duì)五星運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了認(rèn)真的觀測(cè)和研究，在提出會(huì)合周期和恒星周期的概念同時(shí)，還發(fā)現(xiàn)了五星逆行現(xiàn)象[1]。從西漢《太初歷》始，每部歷法中都會(huì)專列一章討論行星運(yùn)動(dòng)理論[2]。

在北齊張子信發(fā)現(xiàn)行星公轉(zhuǎn)與太陽(yáng)視運(yùn)動(dòng)的不均勻性之前（565年前后），歷法家只能推算行星的地心平黃經(jīng)。隋唐歷法家在張子信天文大發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上，考慮行星中心差和太陽(yáng)中心差的修正，隋代《皇極歷》（600）在行星理論中設(shè)計(jì)了“五星入氣加減差”算法，用于修正行星中心差。一行在《大衍歷》（727）中將文字描述的“五星入氣加減差”改造為表格形式的“五星爻象歷”，《大衍歷》步五星術(shù)奠定了中國(guó)古代行星理論的基本框架。經(jīng)過宋初三歷的探索，至宋代《崇天歷》（1024）時(shí)，行星理論基本趨向成熟[3]，此后的歷法基本沒有太多實(shí)質(zhì)性的改進(jìn)。

中國(guó)古代行星理論一直受到科學(xué)史家的高度關(guān)注。曲安京[4-5]研究了行星理論的目的、整體框架以及行星盈縮差算法的數(shù)學(xué)模型。劉金沂[6]利用現(xiàn)代天文學(xué)方法分析討論了《麟德歷》的行星運(yùn)動(dòng)理論。陳美東[7]研究了五星的盈縮歷表的構(gòu)造、精度及其數(shù)值?？薄Ｌ迫猍8]研究了唐宋時(shí)期五星盈縮差算法的演變軌跡。李東生[9]研究了五星會(huì)合周期和恒星周期。鈕衛(wèi)星[10]研究了行星運(yùn)動(dòng)數(shù)值的來源。張培瑜、薄樹人[11]、張健[12-13]、李勇[14]、唐泉[15-20]等人研究《授時(shí)歷》《大統(tǒng)歷》《紀(jì)元?dú)v》《皇極歷》五星視位置的計(jì)算精度，并在計(jì)算精度的基礎(chǔ)上分析了影響行星計(jì)算精度的因素。以上學(xué)者的工作，對(duì)我們?nèi)胬斫庵袊?guó)古代行星理論具有非常重要的參考價(jià)值。

《崇天歷》步五星術(shù)是中國(guó)傳統(tǒng)行星理論走向成熟的重要標(biāo)志，然而關(guān)于《崇天歷》行星算法及精度分析的討論，目前的研究還比較少見。行星理論的主要目的是計(jì)算五星任意時(shí)刻的赤道宿度或黃道宿度。北宋天文學(xué)家周琮提出了當(dāng)時(shí)歷法家對(duì)行星計(jì)算精度的期望：“其較星度，以差天二度以下為親，三度以下為近，四度以上為遠(yuǎn)”。[21]那么《崇天歷》行星計(jì)算精度能否達(dá)到以上標(biāo)準(zhǔn)呢？本文將在全面解讀《崇天歷》行星算法的基礎(chǔ)上，利用python 語(yǔ)言模擬《崇天歷》行星算法，并討論《崇天歷》頒行初期30年行星的計(jì)算精度，同時(shí)對(duì)誤差產(chǎn)生的原因進(jìn)行分析。

1 《崇天歷》步五星術(shù)中的天文常數(shù)與表格

1.1 《崇天歷》步五星術(shù)中的天文常數(shù)

《崇天歷》步五星術(shù)中用到的天文常數(shù)大多在步五星章[21]直接給出，以木星為例五星常數(shù)見表1，部分常數(shù)在步氣朔章、步日躔章給出。

表1 《崇天歷》步五星常數(shù)（以木星為例）

“五星會(huì)策”表示行星近點(diǎn)周期的二十四分之一?！澳拘侵苈省北硎灸拘菚?huì)合周期的日分?！爸苋铡北硎灸拘且匀諡閱挝坏臅?huì)合周期，周率除以樞法即得周日?！皻q差”表示行星近日點(diǎn)每年相對(duì)于冬至點(diǎn)進(jìn)動(dòng)的數(shù)值，單位為度分。

行星視位置的計(jì)算除步五星章所列常數(shù)外，步氣朔、步日躔也有涉及。在步氣朔章給的天文常數(shù)有：“樞法”表示一日的日分?jǐn)?shù)，“歲周”表示一個(gè)回歸年的日分?jǐn)?shù)，“紀(jì)法”是天干地支的組合數(shù)。步日躔章給的天文常數(shù)有：“周天分”，《崇天歷》將整個(gè)圓周分為3 868 065.02分，此處的周天指的是天球上的赤道或黃道。

1.2 《崇天歷》中的五星動(dòng)態(tài)表

“五星動(dòng)態(tài)表”是以五星平運(yùn)動(dòng)為模型建立的天文表格，主要用于計(jì)算五星的平位置。由于行星在一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)的視運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)出順、逆、伏、留多種狀態(tài)，很難用統(tǒng)一的方法進(jìn)行分析，因此歷法家通常是采用分段處理的方法，來描述行星在一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。以木星動(dòng)態(tài)表（表2）為例解釋。

表2 木星動(dòng)態(tài)表

“變目”是歷法家根據(jù)行星視運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，將行星在一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)的平運(yùn)動(dòng)分劃為若干段目，單位為日，不同的行星就有不同的段目數(shù)和段目名，例如在《崇天歷》中金星段目最多，分成了20段，水星最少，只有10段。

“變?nèi)铡敝傅氖切行窃诓煌文績(jī)?nèi)運(yùn)行的時(shí)間，單位為日。日下分為百進(jìn)制，即一日為100分。如木星“前伏”段變?nèi)諡椤笆瞻耸?，亦?6.86 日，變?nèi)罩偷扔谖逍菚?huì)合周期。

“變度”是五星在每個(gè)段目?jī)?nèi)平均運(yùn)行的度距，單位為度，“退行”段即逆行，其度距在實(shí)際計(jì)算時(shí)應(yīng)取為負(fù)值，木星各段目變度之和為34.73 度，其意為木星在一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)運(yùn)行的度距。

“限度”是計(jì)算行星各段目初始時(shí)刻盈縮差的自變量時(shí)需要用到的一個(gè)參數(shù)，單位為度。木星各段目限度之和為33.64度，約等于變度之和。

“初行率”是行星在各段目初始時(shí)刻行星視運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，不等于“初日行分”，只有在“求五星諸變初日晨前夜半定星”算法時(shí)才用到，單位為分/日。如木星“前伏”段初行率為“二十二”，意為22 分/日，或0.22度/日。

1.3 《崇天歷》中的五星盈縮歷

“五星盈縮歷”是計(jì)算五星盈縮差時(shí)需用到的天文表。唐代《大衍歷》首先將前歷用文字描述的“五星入氣加減差”算法改造為表格形式的“五星爻象歷”，用于修正五星平運(yùn)動(dòng)與真運(yùn)動(dòng)的差值。《大衍歷》后的歷法都會(huì)在步五星章中設(shè)計(jì)類似“五星爻象歷”的表格，發(fā)展到《崇天歷》時(shí)，該類表格統(tǒng)一稱為“五星盈縮歷”。盈縮差與行星中心差有關(guān)，但不等于行星中心差，關(guān)于五星盈縮差的天文涵義，已有學(xué)者進(jìn)行過詳細(xì)討論[22]。《崇天歷》中的五星盈縮歷包括6 欄內(nèi)容，這6 欄可以分為兩個(gè)部分，即盈歷和縮歷，盈歷的內(nèi)容包括：會(huì)數(shù)、損益率、盈積度，縮歷的內(nèi)容包括：會(huì)數(shù)、損益率、縮積度。以“木星”盈縮歷（表3）為例描述。

表3 木星盈縮歷

《崇天歷》盈縮歷表是將五星在一個(gè)近點(diǎn)周期內(nèi)運(yùn)行的度數(shù)分成24段，段數(shù)稱為“會(huì)數(shù)”。從盈縮歷起點(diǎn)開始，五星的實(shí)行度總在其平行度之前，故稱為盈歷（前12段），后12段的五星實(shí)行度總落后于其平行度，故稱為縮歷。[4]

“損益率”單位為分，是五星實(shí)行度與平行度的差值。損益率是長(zhǎng)期觀測(cè)所得[7，23]，歷法家以近日點(diǎn)為起點(diǎn)，分別測(cè)得五星各會(huì)的實(shí)行度，減去相應(yīng)的平行度，便得到了損益率。從表中數(shù)據(jù)可知，損益率在數(shù)值上等于相鄰二會(huì)盈縮積度之差。

“盈、縮積度”單位為度，表示各會(huì)起點(diǎn)處五星的盈縮差，其值等于損益率的代數(shù)和。

2 《崇天歷》步五星術(shù)的基本思路

計(jì)算《崇天歷》五星任意時(shí)刻視位置的基本思路是：先算出五星運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)位置和起點(diǎn)時(shí)刻后，再根據(jù)行星動(dòng)態(tài)表中行星在一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)各段運(yùn)行的時(shí)間和度距求出各段對(duì)應(yīng)的平時(shí)間和平位置（可以轉(zhuǎn)化為平黃經(jīng)），然后借助五星盈縮歷表中給出的平黃經(jīng)和真黃經(jīng)的差（即“損益率”“盈縮積”），結(jié)合“五星諸變盈縮定差”算法求出“盈縮定差”，最終求出行星運(yùn)動(dòng)到各段首時(shí)對(duì)應(yīng)的真黃經(jīng)和真時(shí)間。

在已知各段的真黃經(jīng)和真時(shí)間后，利用線性插值法得出五星各段的“初日行分”（初日速度）、“末日行分”（末日速度）、“日差”（加速度），最終得到“每日行分”（行星每一天所運(yùn)動(dòng)的真距離），累加行星起點(diǎn)的真位置便可得“每日晨前夜半行星宿次”。

本文僅給出歷法中與五星視位置計(jì)算相關(guān)子算法的名稱、意義和算法思路[19]?！冻缣鞖v》步五星算法共有18段術(shù)文，與行星視位置運(yùn)動(dòng)計(jì)算相關(guān)的有11段，這11段術(shù)文大致可以分為以下3部分內(nèi)容。

2.1 求五星各段中積中星

術(shù)文7-1①術(shù)文標(biāo)號(hào)為“7-X”，“7”為《崇天歷》第七章，“X”為與五星視位置計(jì)算相關(guān)的算法。推五星天正冬至后諸變中積中星。[21]2621

即推算五星所求年前一年冬至后各段段首的“中積”和“中星”?！捌胶现蟹e”，指在平合時(shí)刻五星到所求年冬至?xí)r刻的平時(shí)間，單位為日。“平合中星”，指在平合時(shí)刻五星到所求年冬至點(diǎn)的平度距，單位為度。因?yàn)槠胶蠒r(shí)刻太陽(yáng)與行星的平黃經(jīng)重合，太陽(yáng)平運(yùn)動(dòng)速度為日行一度，所以平合中星的數(shù)值等于平合中積，故天正冬至后平合中積中星計(jì)算公式如下：

其中N為正整數(shù)?！捌胶现蟹e”累加動(dòng)態(tài)表中各自對(duì)應(yīng)的變?nèi)占吹谩爸T變中積”，“平合中星”累加動(dòng)態(tài)表中各自對(duì)應(yīng)的變度即得“諸變中星”。

2.2 求五星各段盈縮定差

術(shù)文7-2 求五星諸變?nèi)霘v。[21]2621

即求五星各段段首與近日點(diǎn)的度距，單位為度。首先要求出“平合入歷”，即平合時(shí)刻五星與近日點(diǎn)的度距，計(jì)算公式如下：

以“平合入歷”為起點(diǎn)，累加動(dòng)態(tài)表中各段對(duì)應(yīng)的限度即得“諸變?nèi)霘v”。

術(shù)文7-3 求五星諸變盈縮定差。[21]2622

即求五星各段的平行星和真行星的時(shí)間、位置修正項(xiàng)，《崇天歷》求盈縮定差的算法是比例算法，單位為度。通過術(shù)文7-2，可知五星各段段首與近日點(diǎn)的度距，該“度距”會(huì)有與其相對(duì)應(yīng)的修正項(xiàng)（即盈、縮積度），由此可求出五星各段的盈縮定差。盈縮定差計(jì)算公式如下：

盈縮定差=盈縮程度+損益分。

2.3 求五星各段定積定星與每日夜半行星位置

術(shù)文7-4 求五星諸變定積。[21]2622

即求五星各段段首到所求年冬至?xí)r刻的真時(shí)間，五星各段的平合中積加上各段對(duì)應(yīng)的盈縮定差便得五星各段的定積，單位為日。由前段術(shù)文推五星天正冬至后諸變中積可以得到平合時(shí)刻五星到所求年冬至?xí)r刻的平時(shí)間，再盈加縮減各段對(duì)應(yīng)的修正項(xiàng)即盈縮定差，最終求得五星各段的真時(shí)間。定積計(jì)算公式如下：

諸段定積=諸段中積+諸段對(duì)應(yīng)的盈縮定差。

術(shù)文7-5 求五星諸變定星。[21]2623

即求五星各段段首與所求年冬至點(diǎn)的真度距，五星各段的平合中星加上各段對(duì)應(yīng)的盈縮定差就是五星各段的定星，單位為日。由前段術(shù)文推五星天正冬至后諸變中星可以得到平合時(shí)刻五星度距所求年冬至點(diǎn)的平度距，再加減各段對(duì)應(yīng)的修正項(xiàng)即盈縮定差，最終求得五星各段的真度距。定星計(jì)算公式如下：

諸段定星=諸段中星+諸段對(duì)應(yīng)的盈縮定差。

術(shù)文7-6 五星諸變初日晨前夜半定星。[21]2623

即求五行星在各段初日的晨前夜半時(shí)的位置與所求年天正冬至點(diǎn)的度距，此處是一個(gè)精細(xì)算法，單位為度，損益分，意為某一個(gè)段目節(jié)點(diǎn)所入會(huì)度相鄰整度數(shù)盈縮積度之差[21]。

術(shù)文7-7 求諸變?nèi)斩嚷?。[21]2623

即求五星各段的日率和度率?！叭章省奔聪噜弮啥纬跞粘壳耙拱胂嗑嗟恼諗?shù)?！岸嚷省奔聪噜弮啥纬跞粘壳耙拱攵ㄐ窍嗑嗟亩染?。

術(shù)文7-8 求諸變平行分。[21]2623

即求五星各段的平均速度，單位為度/日。“平行分”指的是所求段目行星視運(yùn)動(dòng)的平均速度，度率與日率的比值就是平行分。

術(shù)文7-9 求諸變總差。[21]2624

《崇天歷》假定行星在每個(gè)段目上每天的視運(yùn)動(dòng)速度呈等差數(shù)列變化，總差即為諸段初日速度與末日速度的落差。

術(shù)文7-10 求諸變初末日行分。[21]2624

即求五星各段初日速度和末日速度。五星各段的平行分分別加減該段總差的一半，便可得該段的初、末日行分。

如果后段行分大，則減之為初，加之為末；若后段行分小，則加之為初，減之為末；如果前后段平行分都比本段多，或者都比本段少，又或者本段總差小于0.01度，這三種情況都平注之（即取平均速度）；退行段，各以半總差，前段減之為初，加之為末。后段加之為初，減之為末。

術(shù)文7-11 求每日晨前夜半星行宿次。[21]2624

即求五星每日晨前夜半的黃道宿度或赤道宿度，由總差和日率可求出日差，日差即加速度，由初日行分累加日差，可以求出各日平行度分，由行星各段段首晨前夜半時(shí)的位置累加各日行度即得五星每日晨前夜半的真位置。

2.4 算例

中國(guó)古代歷法中的行星真位置均由宿度表示，不便于與現(xiàn)代天文學(xué)的黃經(jīng)、黃緯進(jìn)行比較，因此我們將宿度轉(zhuǎn)換為了黃經(jīng)值。雖然中國(guó)古代歷法一致是極黃經(jīng)坐標(biāo)，但其值與黃經(jīng)相差很小，故將極黃經(jīng)視為黃經(jīng)。具體計(jì)算過程為：

（1）《崇天歷》“推天正冬至”算法可以求出“天正冬至日辰及余”，“日辰”即日名，“余”即不足一日的小數(shù)，我們稱“天正冬至日辰及余”為歷取冬至?xí)r刻。

（2）通過《三千五百年歷日天象》[24]可以得到冬至點(diǎn)實(shí)際日名是幾日幾時(shí)幾分，我們稱該值為“理論冬至?xí)r刻”。用歷取冬至?xí)r刻減理論冬至?xí)r刻便可以得到冬至點(diǎn)的誤差，已知理論冬至點(diǎn)的黃經(jīng)為270°，在理論冬至點(diǎn)加上歷取冬至點(diǎn)與理論冬至點(diǎn)的差便可求出冬至點(diǎn)的真黃經(jīng)。

（3）若所求年會(huì)合周期的末日與下一個(gè)周期的首日相重，則以下一個(gè)周期的首日為新的起點(diǎn)。由術(shù)文7-11得到的“每日行度及分”，需將古度轉(zhuǎn)換為現(xiàn)代度。

為了更好地理解術(shù)文，本文以火星為例，對(duì)照2.1 至2.3 節(jié)行星視位置算法的解讀，計(jì)算自公元1024 年冬至夜半起算，首合日后第一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)與行星位置算法相關(guān)的術(shù)文結(jié)果。

術(shù)文7-1 推五星天正冬至后諸變中積中星。

已知上元積年為97 556 340 年，火星歲周為3 867 940，火星周率為8 259 366.59 分，天正冬至后平合中積、中星的計(jì)算過程如下：

氣積分=歲周×歲積=377342069739600分，

不盡=氣積分-N×周率=5944 836.4268分，

平合中星=平合中積=218.5581度。

術(shù)文7-2 求五星諸變?nèi)霘v。

已知火星歲差（星差）為103.53 分，周天分為3 868 065.02分，由平合入歷計(jì)算公式得

術(shù)文7-3 求五星諸變盈縮定差。

平合入歷度為172.277 4度，在半周天度以下，入陽(yáng)歷11會(huì)，該會(huì)對(duì)于的損益率為損396分，盈積度為盈3.96 度。又知五星會(huì)策為15.219，則“余數(shù)”為0.319 9，則在172.277 4度處的盈縮定差為

術(shù)文7-4 求五星諸變定積。

平合中積即為前伏段中積，又知該段節(jié)點(diǎn)的盈縮定差，故

前伏段定積=前伏段中積+盈縮定差=221.2513日。

術(shù)文7-5 求五星諸變定星。

前伏段定星=前伏段中星+盈縮定差=221.2513度。

術(shù)文7-6 求五星諸變初日晨前夜半定星。

由步氣朔章可求出天正冬至大小余為28.158 6日，前伏段定日為該段定積與冬至大小余之和，算得前伏段定日大小余為249.41日。查火星動(dòng)態(tài)表可知其前伏段初行率為0.71 度/日，定日小余為0.41 日，故前伏段初日晨前夜半定星為

夜半定星=定星-初行率×定日小余=220.9602度。

術(shù)文7-7 求諸變?nèi)斩嚷省?/p>

火星前伏段的后段為前疾初段，根據(jù)上述計(jì)算公式可求出該段定日為305.571 2 日，晨前夜半定星為257.007度，故

前伏段日率=前疾初段定日-前伏段定日=56日，

前伏段度率=前疾初段夜半定星-前伏段夜半定日=36.0468度。

術(shù)文7-8 求諸變平行分。

術(shù)文7-9 求諸變總差。

因前伏段屬于“無前段平行分”的特殊情況，該段半總差等于后段初日行分減該段平行分，算得總差數(shù)值為0.010 6。

術(shù)文7-10 求諸變初末日行分。

由上述計(jì)算公式可得前疾初段平行分為0.638 4度/日，則前伏段平行分大余其后段平行分，故

術(shù)文7-11 求每日晨前夜半星行宿次。

每日行度及分=初日行分+日差=0.64919度/日。

3 《崇天歷》步五星術(shù)精度分析

本文主要目的是分析《崇天歷》五星視位置的計(jì)算精度，對(duì)其精度的全面分析，有助于我們客觀評(píng)價(jià)《崇天歷》行星理論的水平。中國(guó)古代行星算法具有很強(qiáng)的程序化和算法化特征，很容易在理解術(shù)文的基礎(chǔ)上借助計(jì)算機(jī)去實(shí)現(xiàn)步五星算法，本文用python 語(yǔ)言將步五星算法進(jìn)行編程，最后將得到五星歷取黃經(jīng)與理論黃經(jīng)（提取自Skymap 天文軟件）進(jìn)行比較。因Skymap 只提供赤經(jīng)、赤緯，需將其轉(zhuǎn)換為黃經(jīng)、黃緯，此處的黃赤交角值取23.9°[25]。

為全面考察《崇天歷》計(jì)算精度，我們按照《崇天歷》步五星算法計(jì)算了五星自北宋天圣二年（1024）起大概30年內(nèi)的整周期每一日夜半的黃經(jīng)，并和其理論位置進(jìn)行比較。根據(jù)《崇天歷》步五星算法可知，天圣二年（1024）冬至后木星和太陽(yáng)第一次合發(fā)生在1023年12月18日，火星和太陽(yáng)的第一次合發(fā)生在1024年7 月24日，土星和太陽(yáng)的第一次合發(fā)生在1024 年2 月29 日，金星和太陽(yáng)的第一次合發(fā)生在1025 年3 月15 日，水星和太陽(yáng)的第一次合發(fā)生在1024年2月8日。

為了更加直觀具象地展示《崇天歷》行星的計(jì)算精度，本文給出行星的黃經(jīng)絕對(duì)值誤差曲線圖，即圖1 到圖5。圖中橫坐標(biāo)表示五星自北宋天圣二年（1024）第一次合后的日數(shù)，單位為“日”，縱坐標(biāo)表示歷取黃經(jīng)與理論黃經(jīng)的差，單位為“°”。

通過圖1可知，木星黃經(jīng)誤差基本在3°以內(nèi)，任何一個(gè)整周期內(nèi)的誤差曲線趨勢(shì)基本相同。

圖1 《崇天歷》木星黃經(jīng)誤差散點(diǎn)圖

圖2 中，誤差超出5°的部分共有5 處，造成該誤差的主要原因有：（1）行星運(yùn)動(dòng)在歷法中是“留”或“退行”，但其理論狀態(tài)卻是“順行”，因此造成了巨大誤差；（2）在計(jì)算火星時(shí)，因1029年末日與1031年初日、1043 年末日與1045 年初日，他們的黃經(jīng)差變化幅度都很大，導(dǎo)致相鄰周期的誤差曲線未能銜接上，最終造成后面周期的誤差更大。

圖2 《崇天歷》火星黃經(jīng)誤差散點(diǎn)圖

圖3中土星各周期的誤差變化規(guī)律很強(qiáng)，且理論黃經(jīng)與歷取黃經(jīng)的最大誤差都在2.5°之內(nèi)變化，土星歷取黃經(jīng)精度總體而言較好。

圖3 《崇天歷》土星黃經(jīng)誤差散點(diǎn)圖

通過圖4、圖5可知：在五星運(yùn)動(dòng)中，水星的黃經(jīng)誤差最大的。主要是因?yàn)樗沁\(yùn)動(dòng)速度快，古代觀測(cè)水平有限，水星位置最難測(cè)算，導(dǎo)致其誤差較大。

圖4 《崇天歷》金星黃經(jīng)誤差散點(diǎn)圖

通過圖1至圖5可知：五星的波動(dòng)周期與其繞日公轉(zhuǎn)周期較吻合，五星各周期的起始位置的誤差基本都在2°以內(nèi)。

圖5 《崇天歷》水星黃經(jīng)誤差散點(diǎn)圖

為了便于后面分析數(shù)據(jù)，現(xiàn)將《崇天歷》五星黃經(jīng)誤差整理成表4。

表4 五星精度分析表

4 《崇天歷》定合日期、動(dòng)態(tài)表與盈縮歷表誤差分析

《崇天歷》行星計(jì)算精度受多種因素影響盈縮歷表的數(shù)據(jù)將直接影響行星中心差修正項(xiàng)，而行星中心差修正項(xiàng)又對(duì)五星運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)（定合）造成影響。此外根據(jù)行星動(dòng)態(tài)表而建立起來的分段插值法能夠從數(shù)學(xué)上確保行星平時(shí)刻、平位置的精度。[4]因此，本章節(jié)將對(duì)《崇天歷》五星的定合日期、五星動(dòng)態(tài)表及五星盈縮歷表誤差進(jìn)行研究，通過計(jì)算分析討論以上因素對(duì)行星計(jì)算精度的具體影響。

4.1 《崇天歷》五星運(yùn)動(dòng)定合日期誤差分析

因五星運(yùn)動(dòng)的時(shí)間起點(diǎn)是“合”，所以對(duì)于“歷取定合日”的誤差分析便顯得格外重要。表5給出了五星1023年—1052年歷取定合日及理論定合日，限于篇幅，水星只給出所求年第一次合的日期。對(duì)比分析表5 中的歷取定合日和理論定合日[26]可知：

表5 木星、火星、土星、金星、水星1023年-1052年歷取定合日與理論定合日

（1）對(duì)于地外行星，木星運(yùn)行28 個(gè)完整周期，歷取定合日與理論定合日最大相差為3天，平均相差為0.857 1 天，其中有9 個(gè)周期的歷取定合日與理論定合日是同一天；火星運(yùn)行15個(gè)完整周期，歷取定合日與理論定合日最大相差為7 天，平均相差近2 天，其中有3個(gè)周期的歷取定合日與理論定合日是同一天；土星運(yùn)行29個(gè)完整周期，歷取定合日與理論定合日最大相差為3天，平均相差為0.551 7天，其中有7個(gè)周期的歷取定合日與理論定合日是同一天。

（2）對(duì)于地內(nèi)行星，金星運(yùn)行19 個(gè)完整周期，歷取定合日與理論定合日最大相差為3天，平均相差為1.052 6天，其中有11個(gè)周期的歷取定合日與理論定合日是同一天；水星運(yùn)行93個(gè)完整周期，歷取定合日與理論定合日最大相差為13 天，平均相差為1.833天，其中有10個(gè)周期的歷取定合日與理論定合日是同一天。

由此可知，在地外行星里，火星歷取定合日期與理論日期相差最大，土星最優(yōu)，木星歷取定合日推算準(zhǔn)確率最高。對(duì)于地內(nèi)行星，水星歷取定合日期與理論日期相差最大，在所求年第一次合的時(shí)候就可以相差10 日以上，但水星推算同一年的第三次歷取定合日的準(zhǔn)確率很高，與理論定合日重合的歷取定合日多都是出現(xiàn)在第三次定時(shí)刻。

4.2 《崇天歷》五星動(dòng)態(tài)表誤差分析

本文在分析五星動(dòng)態(tài)表精度時(shí)，引用了唐泉構(gòu)建的行星視運(yùn)動(dòng)的理論模型[20，27]，在其模型的基礎(chǔ)上求得五星動(dòng)態(tài)表各段目的理論“入平合度”，再與歷法值做差，得出五星各段目變度誤差（歷法變度-理論變度）及各段目節(jié)點(diǎn)誤差。限于篇幅，本文僅以火星（表6）為例分析：《崇天歷》火星動(dòng)態(tài)表歷法變度與理論變度最大誤差的絕對(duì)值是“后遲初段”，達(dá)1.754 6°，各段目節(jié)點(diǎn)最大誤差的絕對(duì)值1.581 9°也是“后遲初段”。造成該結(jié)果的原因可能是該段位于“留”段之后，留的視運(yùn)動(dòng)速度非常小，不利于觀測(cè)分析，最終導(dǎo)致后段的“后遲初段”誤差達(dá)最大。除火星外，《崇天歷》金星動(dòng)態(tài)表歷法變度與理論變度的最大誤差的絕對(duì)值也是出現(xiàn)在“留”段之后的“晨遲初”段，達(dá)2.316 1°，造成該現(xiàn)象的原因可能與火星類似。木星、土星、水星行星動(dòng)態(tài)表各段目理論計(jì)算值與歷法值所給變度的最大誤差的絕對(duì)值依次為：0.975 6°、0.428 9°、1.459 0°，各段目節(jié)點(diǎn)最大誤差的絕對(duì)值依次為0.969 5°、0.426 7°、2.496 4°。由此可知，木、土、水三星最大誤差都發(fā)生于不易觀察的留段或退行段。總體而言，《崇天歷》五星動(dòng)態(tài)表的誤差都比較準(zhǔn)確。

表6 《崇天歷》火星動(dòng)態(tài)表精度計(jì)算

4.3 《崇天歷》五星盈縮歷表誤差分析

根據(jù)唐泉推導(dǎo)的中國(guó)古代歷法行星盈縮差數(shù)學(xué)模型[22]，本文可以計(jì)算出《崇天歷》火星盈縮歷表的理論盈縮積度見表7，《崇天歷》火星盈縮歷表歷法盈縮積度與理論盈縮積度最大誤差為0.905 4°。通過計(jì)算可得：木星、土星、金星、水星盈縮歷表中盈縮積度與理論盈縮積度的最大誤差依次為0.389 6°、0.787 6°、1.751 6°、1.495 0°。總體而言，地內(nèi)行星的精度明顯不如地外行星，地外行星的誤差相對(duì)較小，都可以保持在1°以內(nèi)。

表7 《崇天歷》火星盈縮積度比較

5 結(jié)語(yǔ)

通過以上研究討論，我們可以得到如下結(jié)論：

（1）通過表4可知，對(duì)于《崇天歷》地外行星，土星的最大絕對(duì)誤差最小，為2.364°；木星次之，為4.572°；火星最差，為7.465°。雖然三星都沒有達(dá)到北宋歷法家“差天二度”的期望，但他們的誤差曲線所呈現(xiàn)的規(guī)律大體和同時(shí)期的《紀(jì)元?dú)v》類似，且火星最大誤差與西方16 世紀(jì)的火星誤差精度[27]相比僅相差2 度。對(duì)于《崇天歷》地內(nèi)行星，金星的黃經(jīng)最大絕對(duì)誤差為7.866°，水星最大絕對(duì)誤差為15.877°，金、水二星雖沒有達(dá)到當(dāng)時(shí)歷法家的期望，但《崇天歷》水星計(jì)算精度是優(yōu)于其同時(shí)期的《紀(jì)元?dú)v》?！冻缣鞖v》金星計(jì)算精度也是優(yōu)于其后期的《大統(tǒng)歷》，換言之，《崇天歷》金星、水星計(jì)算精度仍在可接受范圍之內(nèi)。

（2）五星盈縮歷表是影響行星計(jì)算精度的主要因素。在《崇天歷》中，木、火、土、金、水五星歷取盈縮積度與理論盈縮積度的最大誤差依次為0.389 6°、0.905 4°、0.787 6°、1.751 6°、1.495 0°，在地外行星中，火星的盈縮積度誤差最大，故而導(dǎo)致其精度也是最低。因?yàn)橛s積度將直接影響盈縮差的精度，而盈縮積度都是歷法家觀測(cè)所得，限于當(dāng)時(shí)的科技水平，其觀測(cè)器材與理論算法也會(huì)造成一定誤差。

（3）五星動(dòng)態(tài)表對(duì)行星計(jì)算精度影響很大。由表6可知，因?yàn)榛鹦沁\(yùn)動(dòng)速度較快，火星初行率是木、土二星的2 倍甚至3 倍，不容易觀測(cè)計(jì)算，因此導(dǎo)致火星的誤差精度為三星中最低，為1.754 6°。

（4）五星定合日的精確度也是行星精度誤差產(chǎn)生的重要原因。結(jié)合表5可知，火星歷取定合日推算結(jié)果在地外行星中最差，歷取定合日與理論定合日誤差最大可達(dá)7日，所以火星計(jì)算精度誤差是三星中最大的。而土星歷取定合日與理論定合日平均相差0.551 7 日，所以其最大絕對(duì)誤差為三星中最小。同理，對(duì)于地內(nèi)行星，金星歷取定合日與理論定合日最大相差3 日，平均相差為1.052 6 日，1023 年至1052年間19個(gè)完整周期中，有11個(gè)周期的歷取定合日與理論定合日是同一天，定合日精度明顯優(yōu)于水星，所以金星最大絕對(duì)誤差、平均誤差都要小于水星。

（5）五星天文常數(shù)準(zhǔn)確度也會(huì)影響行星計(jì)算精度，《崇天歷》中的“歲差”常數(shù)也是影響行星計(jì)算精度的原因。《崇天歷》歲差的天文意義可理解為現(xiàn)代天文學(xué)的的行星近日點(diǎn)相對(duì)于冬至點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)，但術(shù)文中的歲差是以回歸年為一個(gè)完整運(yùn)動(dòng)周期，而不是以五星近點(diǎn)周期為運(yùn)動(dòng)周期，因此也會(huì)造成誤差。

（6）行星軌道偏心率也對(duì)行星精度有影響。火星偏心率為0.093、木星0.048、土星0.055，火星的軌道偏心率較大，周期也長(zhǎng)，所以推算火星的視位置要比木、土二星困難，最終導(dǎo)致火星誤差最大。對(duì)于地內(nèi)行星，金星、水星的軌道偏心率分別為0.007、0.206，所以金星的計(jì)算精度高于水星。