[摘? 要] “數(shù)學(xué)手賬”能有效地激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，催生學(xué)生的數(shù)學(xué)想象，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力?！皵?shù)學(xué)手賬”可以分為“學(xué)前手賬”“學(xué)中手賬”和“學(xué)后手賬”。“學(xué)前手賬”能記錄學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的問(wèn)題，“學(xué)中手賬”能記錄學(xué)習(xí)的過(guò)程，“學(xué)后手賬”能記錄學(xué)習(xí)的感悟。作為教師，要根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的特質(zhì)以及學(xué)生的具體學(xué)情，合理設(shè)計(jì)、研發(fā)“數(shù)學(xué)手賬”。借助“數(shù)學(xué)手賬”，讓學(xué)生成為愿學(xué)者、慧學(xué)者、善學(xué)者、智學(xué)者。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)手賬;實(shí)踐;智慧表達(dá)

所謂“數(shù)學(xué)手賬”，通俗地說(shuō)就是學(xué)生記錄自己的問(wèn)題、想法，反思自己的學(xué)習(xí)過(guò)程、結(jié)果的一種個(gè)性化的學(xué)習(xí)載體。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師借助“數(shù)學(xué)手賬”，能有效地激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，催生學(xué)生的數(shù)學(xué)想象，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。從某種意義上說(shuō)，學(xué)生的“數(shù)學(xué)手賬”是學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)踐的智慧表達(dá)，凝結(jié)著學(xué)生的數(shù)學(xué)生命實(shí)踐智慧。“數(shù)學(xué)手賬”能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有方向、有活力、有趣味。

一、學(xué)前手賬：記錄學(xué)習(xí)的問(wèn)題

“數(shù)學(xué)手賬”從時(shí)間上可以分為“學(xué)前手賬”“學(xué)中手賬”和“學(xué)后手賬”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生備學(xué)、預(yù)習(xí)，而“學(xué)前手賬”，則是記錄學(xué)生預(yù)習(xí)、備學(xué)中的感受、體驗(yàn)、認(rèn)識(shí)、認(rèn)知的媒介，也是記錄預(yù)學(xué)、備學(xué)中所遭遇的問(wèn)題、困惑、障礙、迷思的載體?？梢赃@樣說(shuō)，“學(xué)前手賬”是學(xué)生備學(xué)、先學(xué)、預(yù)學(xué)情況最為真實(shí)的表達(dá)，可以讓學(xué)生成為一個(gè)自主性學(xué)習(xí)者。

比如教學(xué)“比的認(rèn)識(shí)”（蘇教版六年級(jí)上冊(cè)）這部分內(nèi)容前，筆者讓學(xué)生先行預(yù)習(xí)。在預(yù)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生認(rèn)識(shí)到“比”與“分?jǐn)?shù)”和“除法”的關(guān)聯(lián)，認(rèn)識(shí)到三者的相似性。同時(shí)，有學(xué)生在“學(xué)前手賬”上記錄下在預(yù)習(xí)中獲得的知識(shí)以及產(chǎn)生的問(wèn)題，也有學(xué)生在“學(xué)前手賬”上寫下問(wèn)題，諸如“比與除法、分?jǐn)?shù)有什么聯(lián)系和區(qū)別？”“教材中的兩個(gè)例題的比有什么區(qū)別（同類量的比和不同類量的比）？”“數(shù)學(xué)中的比與生活中、比賽中的比是否相同？”“比的前項(xiàng)、后項(xiàng)是否可以為0？”在文字記錄之外，還有學(xué)生在“學(xué)前手賬”上繪制表格，將整個(gè)表格分為“比”“除法”“分?jǐn)?shù)”三行，并分別從“意義”“聯(lián)系”“區(qū)別”“性質(zhì)”等方面進(jìn)行建構(gòu);也有學(xué)生在“學(xué)前手賬”上畫出了思維導(dǎo)圖，將比與分?jǐn)?shù)、除法進(jìn)行類比，進(jìn)而從“商不變的規(guī)律”“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”類推出“比的基本性質(zhì)”等。從實(shí)際情況來(lái)看，學(xué)生的“學(xué)前手賬”內(nèi)容全面、主題突出，有效地展示了在預(yù)習(xí)中所獲得的知識(shí)、所經(jīng)歷的思維歷程、所產(chǎn)生的探究困惑。這樣的“學(xué)前手賬”，讓學(xué)生的先學(xué)、預(yù)學(xué)、備學(xué)“痕跡化”，也讓學(xué)生內(nèi)在的數(shù)學(xué)思維、思考“可視化”。

數(shù)學(xué)“學(xué)前手賬”能不斷提升學(xué)生的觀察力、思維力、探究力和創(chuàng)造力。教師應(yīng)改變傳統(tǒng)的師本教學(xué)方式，轉(zhuǎn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主性學(xué)習(xí)。在這個(gè)過(guò)程中，教師要適度介入，對(duì)學(xué)生的備學(xué)過(guò)程進(jìn)行引領(lǐng)。數(shù)學(xué)“學(xué)前手賬”讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從經(jīng)歷走向經(jīng)驗(yàn)，從認(rèn)知走向感受和體驗(yàn)。

二、學(xué)中手賬：記錄學(xué)習(xí)的過(guò)程

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要致力于讓學(xué)生獲得新知識(shí)，更要讓學(xué)生獲得新的思維方式、探究路徑、解題策略等。對(duì)于關(guān)鍵性的數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)誕生過(guò)程中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，整體的知識(shí)結(jié)構(gòu)以及在數(shù)學(xué)思考、探究中的真實(shí)過(guò)程，學(xué)生也有必要將之記錄在“數(shù)學(xué)手賬”中?！皩W(xué)中手賬”能有效地記錄學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程?？傮w而言，“學(xué)中手賬”不僅能體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深度，而且能體現(xiàn)學(xué)生參與的廣度以及學(xué)生數(shù)學(xué)思考、探究的效度等。

“學(xué)中手賬”能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維可視化，也能讓學(xué)生探究的過(guò)程痕跡化，還能讓學(xué)生問(wèn)題解決的策略多樣化。教師的指導(dǎo)不應(yīng)局限于數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，還應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法等。比如在“圓的面積”（蘇教版五年級(jí)下冊(cè)）一課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，有學(xué)生在“學(xué)中手賬”中記錄下了“圓轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的過(guò)程”，并通過(guò)箭頭圖，將圓和長(zhǎng)方形進(jìn)行比較，從而演示了圓的面積公式的推導(dǎo)過(guò)程;有學(xué)生在“學(xué)中手賬”中將長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓形的面積集結(jié)在一起，形成了一個(gè)平面圖形面積公式的知識(shí)網(wǎng)，將平面圖形面積公式的學(xué)習(xí)流程、脈絡(luò)、邏輯關(guān)系等清晰地展示出來(lái);有學(xué)生在“學(xué)中手賬”中，嘗試將圓轉(zhuǎn)化成三角形、梯形等平面圖形，從而找到了其他獨(dú)特的圓的面積推導(dǎo)過(guò)程，等等。從實(shí)際效果來(lái)看，“學(xué)中手賬”讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有滋有味，它不僅拓寬了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的廣度，而且拓展了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深度。對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，“學(xué)中手賬”能發(fā)揮強(qiáng)本固基、拓展思維的作用。通過(guò)“學(xué)中手賬”，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能舉一反三、觸類旁通，進(jìn)而能有效地遷移數(shù)學(xué)知識(shí)，感悟數(shù)學(xué)思想方法，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)。

“學(xué)中手賬”讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向深入。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)“學(xué)中手賬”進(jìn)行深度加工，進(jìn)而讓“學(xué)中手賬”真正成為數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)表達(dá)的良好載體。

三、學(xué)后手賬：記錄學(xué)習(xí)的感悟

很多學(xué)生，之所以學(xué)不好數(shù)學(xué)，究其根本是因?yàn)椴簧朴诜此?。而“學(xué)后手賬”則主要用于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之后記錄自己的所思所得、所悟所感，反思數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程——對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、得失進(jìn)行總結(jié)。通過(guò)“學(xué)后手賬”，教師能更有效地培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)的眼光”和“數(shù)學(xué)的大腦”。

“學(xué)后手賬”中的反思不僅包括事實(shí)性的反思，而且包括價(jià)值性的反思。事實(shí)性的反思是對(duì)自我學(xué)習(xí)路徑、方法等的反思，比如“我做得對(duì)嗎”“我問(wèn)得對(duì)嗎”“我想得對(duì)嗎”“我學(xué)到了什么”等;價(jià)值性反思是對(duì)自我學(xué)習(xí)的意義、價(jià)值等的反思，比如“我的方法是最優(yōu)化的方法嗎”“我的探究路徑是最佳的嗎”等。比如教學(xué)“化簡(jiǎn)比”（蘇教版六年級(jí)上冊(cè)）這部分內(nèi)容，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中都運(yùn)用了新知——“比的基本性質(zhì)”。有部分學(xué)生在“學(xué)后手賬”中記錄了自己的反思，如一位學(xué)生這樣寫道，“我覺(jué)得用求比值的方法化簡(jiǎn)比更加簡(jiǎn)單，也不容易出錯(cuò)”;另一位學(xué)生寫道，“我覺(jué)得可以將整數(shù)比寫成分?jǐn)?shù)形式，這樣化簡(jiǎn)比就相當(dāng)于約分”;還有學(xué)生這樣寫道，“化簡(jiǎn)比的方法應(yīng)該是多樣的，既可以運(yùn)用比的基本性質(zhì)化簡(jiǎn)比，也可以運(yùn)用求比值的方法化簡(jiǎn)比。在化簡(jiǎn)比的過(guò)程中，應(yīng)根據(jù)比的特點(diǎn)來(lái)運(yùn)用各種方法”，等等。顯然，學(xué)生將方法、經(jīng)驗(yàn)等記錄在“學(xué)后手賬”中的這些行為，既是對(duì)自身學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的提煉、總結(jié)，也是教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效數(shù)學(xué)交流的體現(xiàn)。

“數(shù)學(xué)手賬”有呈現(xiàn)方式圖文并茂、主題類型豐富多元等特點(diǎn)，既能反映學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困惑，又能體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式和學(xué)習(xí)經(jīng)歷。就筆者看來(lái)，“數(shù)學(xué)手賬”不僅僅是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具，其本身就是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成?！皵?shù)學(xué)手賬”能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，催生學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新性活動(dòng)。

“數(shù)學(xué)手賬”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新形式。作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)當(dāng)多嘗試、多思考、多探究，充實(shí)學(xué)生“數(shù)學(xué)手賬”的內(nèi)容，豐富學(xué)生“數(shù)學(xué)手賬”的形式。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，在自己設(shè)計(jì)、研發(fā)之外，教師也要根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的特點(diǎn)以及學(xué)生的具體學(xué)情，讓學(xué)生合理設(shè)計(jì)、研發(fā)“數(shù)學(xué)手賬”，并借助“數(shù)學(xué)手賬”，使其成為愿學(xué)者、慧學(xué)者、善學(xué)者、智學(xué)者。

作者簡(jiǎn)介：施永輝（1977—），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級(jí)教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作。