廣東省佛山市羅定邦中學(xué) 龍 宇 528300

在近幾年的高考題、模擬題中，阿波羅尼斯圓（以下簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓）越來(lái)越受到出題老師的青睞.筆者在梳理相關(guān)材料時(shí)，總結(jié)了該圓的幾種考察方式，現(xiàn)整理成文，以饗讀者.

1 阿氏圓的定義[1]

在平面上一點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比滿(mǎn)足=λ（λ＞0 且λ≠1），則點(diǎn)P的軌跡是圓，這個(gè)圓便是經(jīng)典的阿波羅尼斯圓.該圓的最直接考察則是利用定義求解，此類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)在于給出確定的兩個(gè)定點(diǎn)及相關(guān)比例.此類(lèi)問(wèn)題的最經(jīng)典形式便是2008年江蘇卷第13題，具體題目如下：

例1 滿(mǎn)足條件AB=2 ，AC=的△ABC的面積的最大值是_____.

解析：如圖1，以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)進(jìn)行建系，則點(diǎn)A,B的坐標(biāo)為(-1,0)，(1,0)，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y)代入條件AC= 2BC，化簡(jiǎn)可得點(diǎn)C的軌跡方程為：(x-3)2+y2=8,即圓心為E(3,0)，r=2 2 的圓.

圖1

△ABC的面積的最大值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)C到x軸距離的最大值問(wèn)題.根據(jù)平面幾何的相關(guān)知識(shí)可知，點(diǎn)C到x軸距離≤CE=2 2 .對(duì)應(yīng)的△ABC的面積的最大值為2 2 .

2 阿氏圓與其他圓錐曲線(xiàn)的結(jié)合

在阿氏圓的定義中，涉及到兩個(gè)定點(diǎn)與定比例.在常見(jiàn)的圓錐曲線(xiàn)中，也涉及到較多的定點(diǎn)與定值，這就為兩者的結(jié)合提供了理論基礎(chǔ).

例2 （2019 年佛山二模第15 題）已知拋物線(xiàn)x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，點(diǎn)P(4,y0)在拋物線(xiàn)上，K為l與y軸的交點(diǎn)，且|PK|=|PF|，求y0的值.

分析：本題的關(guān)鍵在于|PK|=|PF|，而拋物線(xiàn)的意義則是提供兩個(gè)定點(diǎn)K，F(xiàn).結(jié)合阿氏圓的定義即可求解.解析：由題意可得K(0,-)，F(xiàn)(0,)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y).由題意可得點(diǎn)P的軌跡為x2+(y-p)2=2p2.且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，且點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，聯(lián)立方程即可得p=4，則有y0==2.

3 阿氏圓的逆向考察

在阿氏圓的定義中，涉及到兩個(gè)定點(diǎn)、定值以及最終的軌跡圓.能否根據(jù)圓以及定值來(lái)考察兩個(gè)定點(diǎn)之間的關(guān)系呢？或者考察定值的范圍問(wèn)題呢？

例3 （2021 年佛山高二期末試題第16題改編）如圖2，已知點(diǎn)A(4 7,0) ，B(0,3) ，圓O:x2+y2=4，設(shè)點(diǎn)P為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，求3PA+2PB的最小值.分析：所求式為：3PA+2PB=3(PA+PB).若其中PB可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到另一定點(diǎn)的距離，則可將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和的最小值問(wèn)題.本題是阿氏圓的逆向應(yīng)用題，即通過(guò)點(diǎn)B及圓O求出另一個(gè)定點(diǎn).

在上述解答過(guò)程中出現(xiàn)了三個(gè)方程，而僅有兩個(gè)未知數(shù)，說(shuō)明該題的構(gòu)造過(guò)程有一定的確定性.比如將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為3PA+2PB=2(PA+PB) ，能否找到一點(diǎn)D使得PD=PA，且保證點(diǎn)P的軌跡為圓O呢？通過(guò)計(jì)算可知這樣的點(diǎn)D并不存在.

例4 （自編）已知點(diǎn)A(1,0)，B(2,0)以及圓O:x2+y2=1，設(shè)點(diǎn)P為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，若|PB|=λ|PA|，求λ的取值范圍.

4 阿氏圓在立體圖形中的應(yīng)用

例5 如圖3，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=BC=2 ，BB1= 2 π ，∠ABC=90°，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在三棱柱內(nèi)部或表面運(yùn)動(dòng)，且|PA|=|PM|，動(dòng)點(diǎn)P形成的曲面將三棱柱分成兩個(gè)部分，體積分別為V1,V2（V1＜V2），求的值.

圖3

分析：本題的關(guān)鍵條件是|PA|=|PM|，結(jié)合類(lèi)比平面中阿氏圓的定義，猜想動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)球.本題可通過(guò)軌跡的思想來(lái)研究形成兩部分幾何體.

解析：為了便于研究點(diǎn)的軌跡，結(jié)合圖形特點(diǎn)，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，BB1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.即可得點(diǎn)A，M的坐標(biāo)分別為(2,0,0)，(1,0,0)，設(shè)點(diǎn)P的 坐 標(biāo) 為 (x,y,z). 代 入 條 件|PA|=|PM|可得點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2+z2=2 ，即以點(diǎn)B為球心，r=的球,本文稱(chēng)其為阿波羅尼斯球.且平面ACC1A1與該球相離，故可知?jiǎng)狱c(diǎn)P 形成的曲面將三棱柱分出一部分體積為以B 為球心以ffffc3為半徑的球的ffffc2 ，對(duì)應(yīng)的體積V1=ffffc1V球B=ffffc0π.整 個(gè) 三 棱 柱 的 體 積V=2 2 π ，則有V2=V-V1=ffffbfπ ，即可得