黑龍江省雞西市第一中學(xué)數(shù)學(xué)教研室 王榮峰 158100

所謂題目的“結(jié)構(gòu)特征”是指那些能夠揭示題目的條件和結(jié)論間內(nèi)在聯(lián)系的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過對(duì)這些結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析、加工和轉(zhuǎn)化往往可以探究到問題解決的突破口，本文僅就捕捉到結(jié)構(gòu)特征后常見的解題路徑加以盤點(diǎn)，以期能對(duì)大家有所啟發(fā).

1 類比公式

例1 已知f(x)，g(x)均是定義在R 上的函數(shù)，且滿足f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y)，若f(-2)=f(1)≠0，則g( )1 +g(-1)的值為（）.

A.1 B.-1 C.2 D.-2

分析: 公式f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y)在結(jié)構(gòu)上與兩角差的正弦公式十分相似,因此我們猜測(cè)函數(shù)f(x)可能也為奇函數(shù).

解: 事實(shí)上f(y-x)=f(y)g(x)-g(y)f(x)=-f(x-y) ，從而可知f(x) 必為奇函數(shù)，故f(1 ) =f(-2)=f(-1-1)=f(-1)g(1)-g( -1)f(1 )=-f(1 )[g(1)+g(-1)] ,∴g(1)+g(-1)=-1.選B.

點(diǎn)評(píng):破解該題的關(guān)鍵是通過類比猜測(cè)到f(x)可能為奇函數(shù)，類比屬于合情推理，是重要的解題思想和方法，它能為我們提供解題的思路和方向.

2 倒序相加

A.2019 B.2020 C.2021 D.2022

分析: 由M式的結(jié)構(gòu)可挖掘到f(x)+f(1-x)可能為定值，這一隱含條件是采用倒序相加法妙解該題的前提.

點(diǎn)評(píng):倒敘相加法源自教材中等差數(shù)列的求和，通過倒敘相加可以避開對(duì)M式中項(xiàng)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)的討論，進(jìn)而優(yōu)化解題過程.

3 分離常數(shù)

4 乘對(duì)偶式

分析:通過乘對(duì)偶式可達(dá)到分子有理化的目的，分子有理化后再去判斷函數(shù)的單調(diào)性是最常見的思維路徑.

5 構(gòu)造向量

例5 已知數(shù)列{an} 是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a+a≤0，則S4的最大值為（ ）.

分析: 能將S4用a1,a7來表示是實(shí)現(xiàn)構(gòu)造向量破解該題的關(guān)鍵，當(dāng)然該題也可借助數(shù)形結(jié)合等其它方法來求解.

6 建坐標(biāo)系

分析: 向量具有幾何與代數(shù)雙重性質(zhì)，而坐標(biāo)法是解決向量題最有效的策略，由條件⊥自然聯(lián)想到可建立坐標(biāo)系來破解該題.

圖1

點(diǎn)評(píng):該題屬于難題，但通過合理建立直角坐標(biāo)系，再借助解析幾何和不等式的知識(shí)找到了問題解決的突破口，實(shí)現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化.

7 特值分析

例7 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c（a,b,c∈R,a≠0）滿 足2a+3b+6c=0,則f(x)在區(qū)間上（）.

A.一定沒有零點(diǎn) B.必有唯一的零點(diǎn)

C.必有兩個(gè)零點(diǎn) D.可能有兩個(gè)零點(diǎn)

分析: 在等式2a+3b+6c=0 中，字母a和b的系數(shù)比是2:3 ，而在解析式f(x)=ax2+bx+c中字母a和b的系數(shù)之比是x，借助這一信息可想到代入特值x=切入.

點(diǎn)評(píng): 能由2a+3b+6c=0 中字母a和b的系數(shù)比是2:3 ，進(jìn)而聯(lián)想到代入特值x=進(jìn)行分析，再借助根的分布原理來判斷，需要具備較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

8 構(gòu)造函數(shù)

例8 設(shè)a=2 ln 1.01,b=ln 1.02,c=-1，則( ).

A.a＜b＜cB.b＜c＜a

C.b＜a＜cD.c＜a＜b

分析：觀察b=ln(1 +0.02 ),c=-1會(huì)聯(lián)想到構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(1+x)-+1，再由a=2ln(1+0.01)，c=-1可聯(lián)想到構(gòu)造函數(shù)g(x)=2ln(1+x)-+1，于是便可找到問題解決的切入點(diǎn).解: 首先構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(1+x)-+1，則b-c=f(0.02)，易求得

點(diǎn)評(píng): 該題為2021 高考全國(guó)理科乙卷選擇題的壓軸題，有著很好的區(qū)分度.通過觀察a,b,c的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)而能想到構(gòu)造函數(shù)f(x)和g(x)需要一定的解題積累和良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

通過挖掘題目的結(jié)構(gòu)特征還可以探究出很多解題路徑，限于篇幅，這里不再一一列舉.只有平時(shí)勤于積累，善于總結(jié)，養(yǎng)成解題后反思的好習(xí)慣,才能在遇到具體問題時(shí)，快速、準(zhǔn)確地捕捉到題目的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而尋找到有效的解題路徑.