潘琪

［摘? 要］ “一元二次方程”作為初中代數(shù)部分的重要知識(shí)內(nèi)容，教學(xué)中需要教師深入分析，探索課堂整體構(gòu)建，基于教學(xué)規(guī)劃精設(shè)教學(xué)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生完成模型構(gòu)建、概念生成、知識(shí)總結(jié)的過程. 教學(xué)中教師要以新知傳授、能力提升為教學(xué)目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 一元二次方程；模型；概念；一般式；核心素養(yǎng)

“一元二次方程”是蘇科版九年級(jí)上冊的重要內(nèi)容，是一元一次方程的深入推廣，有助于學(xué)生解決實(shí)際問題，同時(shí)能為學(xué)生勾股定理、相似等知識(shí)的學(xué)習(xí)提供運(yùn)算工具. 對于一元二次方程的教學(xué)，教師需要把握知識(shí)的內(nèi)在邏輯及聯(lián)系，需要對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整編重組，需要合理設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生探究與思考，從而達(dá)到最好的教學(xué)效果，下面展開教學(xué)探討.

教學(xué)分析，課堂整體構(gòu)建

“一元二次方程”的章節(jié)內(nèi)容安排在九年級(jí)上冊，此時(shí)學(xué)生已經(jīng)掌握了一元一次方程、二元一次方程組等知識(shí)，感受到了方程作為刻畫現(xiàn)實(shí)中數(shù)量關(guān)系的有效模型的價(jià)值和作用，同時(shí)積累了利用方程求解問題的方法和經(jīng)驗(yàn). 教學(xué)“一元二次方程”時(shí)，教師需要圍繞三大重點(diǎn)開展教學(xué)引導(dǎo)：一是引導(dǎo)學(xué)生探索實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律，從問題中抽象出一元二次方程，使學(xué)生感受模型；二是一元二次方程的概念是教學(xué)的重點(diǎn)，需要學(xué)生通過觀察，歸納和總結(jié)出一元二次方程的概念；三是對于一元二次方程的形式及特點(diǎn)，需要教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注方程的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng).

對于一元二次方程的教學(xué)過程，建議教師有效設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，重視知識(shí)的整體設(shè)計(jì)，以及學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng). 故教學(xué)中需要教師把握學(xué)情，尊重學(xué)生的主體地位，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一元二次方程的建模過程、概念的生成過程，深刻理解其一般式的形成過程，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)、抽象轉(zhuǎn)化素養(yǎng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、邏輯推理能力等.

教學(xué)“一元二次方程”時(shí)，建議教師圍繞“列”“納”“究”三個(gè)字開展一元二次方程的抽象建模、概念生成、形式歸納過程. “列”，即呈現(xiàn)實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，開展建模教學(xué)；“納”，即引導(dǎo)學(xué)生從式、元、次三方面對方程進(jìn)行探討，歸納一元二次方程的概念；“究”，即引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注一元二次方程，總結(jié)特征，掌握形式，把握方程的一次項(xiàng)、二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng).

設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)，核心素養(yǎng)提升

基于上述教學(xué)分析及整體構(gòu)建，建議教師按照“實(shí)例抽象，構(gòu)建方程→觀察辨析，方程定義→方程探究，知識(shí)總結(jié)”這條主線來開展教學(xué)，其中，教學(xué)根據(jù)實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系列方程時(shí)，滲透建模思想；進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，注重提升學(xué)生的歸納、概括能力；在方程的提取與轉(zhuǎn)化中提升學(xué)生的辨析能力和運(yùn)算能力. 下面圍繞主線具體探究.

1. 構(gòu)建方程，數(shù)學(xué)建模

【環(huán)節(jié)1：情境感悟，提煉關(guān)系】

教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合常見的情境問題，讓學(xué)生關(guān)注其中的數(shù)量關(guān)系，從而列出方程.

例1：一個(gè)正方形的邊長增加2 cm后，所得的新正方形的周長為28 cm，求原正方形的邊長.

例2：一正方形桌面的面積為2 m2，求正方形桌面的邊長.

教學(xué)引導(dǎo)教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題設(shè)出未知數(shù)，列出方程，分析所列方程的特點(diǎn)，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，為后續(xù)一元二次方程的探究做鋪墊. 對于例1，設(shè)原正方形的邊長為x cm后可列出方程4（x+2）=28；對于例2，設(shè)正方形桌面的邊長為x m后，可列出方程x2=2.

【環(huán)節(jié)2：深入探究，方程構(gòu)建】

例3：如圖1所示，矩形花圃的一邊靠墻，另外三邊用柵欄圍起來. 已知所用柵欄的總長為19 m，花圃的面積為24 m2.

預(yù)設(shè)問題：（1）若設(shè)與墻相鄰的一條邊的長為x m，怎么表示與墻相對的一條邊的長？（2）根據(jù)花圃的總面積，如何構(gòu)建方程？

例4：如圖2所示，長為5 m的梯子斜靠在墻角，已知梯子的底端到墻的距離比梯子的頂端到地面的距離多1 m.

預(yù)設(shè)問題：（1）設(shè)梯子的底端到墻面的距離為x m，怎么表示梯子頂端到地面的距離？（2）如何根據(jù)數(shù)量關(guān)系列方程？

例5：已知某學(xué)校圖書館的藏書在兩年的時(shí)間里，由5萬冊增加到了9.8萬冊.

預(yù)設(shè)問題：（1）設(shè)該學(xué)校圖書館的年藏書增長百分率為x，則一年后該學(xué)校圖書館的藏書為多少萬冊？（2）兩年后該學(xué)校圖書館的藏書為多少萬冊？

教學(xué)引導(dǎo)教學(xué)時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生設(shè)未知數(shù)，根據(jù)條件推導(dǎo)變量，結(jié)合數(shù)量關(guān)系構(gòu)建方程. 對于例3，可列出方程x（19-2x）=24；對于例4，可列出方程x2+（x-1）2=52；對于例5，可列出方程5（1+x）2=9.8.

2. 形式提取，定義方程

【環(huán)節(jié)1：觀察辨析，發(fā)現(xiàn)特征】

在該環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生對比觀察上述問題中所列的方程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)方程的特征.

問題：觀察上述所列方程，即4（x+2）=28，x2=2，x（19-2x）=24，x2+（x-1）2=52，5（1+x）2=9.8，你發(fā)現(xiàn)了什么？它們在形式上有什么共同點(diǎn)？

教學(xué)引導(dǎo)教學(xué)時(shí)，特征探索環(huán)節(jié)可按照“變形→比較→分析”的方式進(jìn)行分步引導(dǎo)，即教師先讓學(xué)生變形上述方程，且要求將方程變形為等號(hào)右邊是0的形式；然后讓學(xué)生觀察方程的未知數(shù)，包括未知數(shù)的個(gè)數(shù)、次數(shù)及項(xiàng)式；最后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)后面四個(gè)方程含有二次項(xiàng)，有別于之前所學(xué)的一元一次方程.

【環(huán)節(jié)2：歸納總結(jié)，概念生成】

該環(huán)節(jié)需要教師引導(dǎo)學(xué)生從式、元、次三個(gè)維度對一元二次方程下定義.

預(yù)設(shè)問題：（1）針對2x2-2x-24=0，思考該方程的一般形式；（2）根據(jù)對應(yīng)的一般形式概括一元二次方程的概念.

教學(xué)引導(dǎo)教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)方程概括一元二次方程的一般形式，即ax2+bx+c=0（a≠0），然后對一元二次方程進(jìn)行定義，即等號(hào)兩邊均為整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的方程. 教學(xué)中教師可以按照如下方式進(jìn)行細(xì)化：式→等號(hào)兩邊均為整式；元→只含有一個(gè)未知數(shù)；次→未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

【環(huán)節(jié)3：辨析方程，深刻理解】

定義完一元二次方程的概念后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生針對一元二次方程的一般式展開辨析，尤其是其中的特征參數(shù)a，應(yīng)從a≠0和a=0兩方面進(jìn)行辨析與思考.

思考問題：針對一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次項(xiàng)系數(shù)a，思考為什么要強(qiáng)調(diào)a≠0. a是否可以等于0？

教學(xué)引導(dǎo)教師引導(dǎo)學(xué)生深刻理解一元二次方程的隱含條件，采用“假設(shè)→否定”的方式，即假設(shè)二次項(xiàng)系數(shù)a=0，則方程變?yōu)閎x+c=0，此時(shí)方程不再是一元二次方程，從而把握住一元二次方程與一元一次方程本質(zhì)的不同.

3. 方程探究，知識(shí)總結(jié)

該環(huán)節(jié)需要教師引導(dǎo)學(xué)生探究一元二次方程的一般形式，并理解方程的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，準(zhǔn)確識(shí)別一次項(xiàng)系數(shù)和二次項(xiàng)系數(shù). 教學(xué)中教師可以給出具體的方程，引導(dǎo)學(xué)生按照“一般式變形→化簡降次排序→項(xiàng)式整理”的方式來進(jìn)行.

例6：已知方程x2+3x=8，2x2=3x，3x2=27，5（1+x）2=7.

設(shè)問：按照如下步驟對方程進(jìn)行整理. 步驟1，化簡方程，將其變形為一般式；步驟2，將方程的各項(xiàng)按照未知數(shù)降次的順序排列；步驟3，整理各方程的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng).

教學(xué)引導(dǎo)教師讓學(xué)生將各方程化簡為一般式，即化簡為ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，指導(dǎo)學(xué)生明晰一般式中ax2，bx和c分別是方程的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，其中a是二次項(xiàng)的系數(shù)，b是一次項(xiàng)的系數(shù). 在此基礎(chǔ)上，教師結(jié)合具體方程展開解題分析.

總結(jié)探究時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生明晰定義，掌握方程一般式的轉(zhuǎn)化技巧，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)語言能力. 而在變形探究中，建議教師結(jié)合多類型的方程，幫助學(xué)生強(qiáng)化一元二次方程的定義，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.

教學(xué)思考，課堂教學(xué)建議

1. 問題引領(lǐng)，追問引導(dǎo)推進(jìn)

課堂教學(xué)應(yīng)是探究式、開放式的，建議教師采用知識(shí)探究的方式，圍繞教學(xué)核心，精設(shè)環(huán)節(jié)，以問題為引導(dǎo)驅(qū)動(dòng)課堂. 故對于一元二次方程的教學(xué)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生參與課堂活動(dòng)，通過設(shè)置問題進(jìn)行師生對話互動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)模型，明晰一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的一般式，能準(zhǔn)確識(shí)別出方程的項(xiàng)式及對應(yīng)的系數(shù). 問題預(yù)設(shè)則要遵循學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律和認(rèn)知規(guī)律，符合知識(shí)生成過程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

2. 立足教學(xué)，核心素養(yǎng)發(fā)展

新知的探究教學(xué)，兼具兩大目標(biāo)：一是引導(dǎo)學(xué)生掌握新知；二是提升學(xué)生能力，發(fā)展核心素養(yǎng). 其中后者也是教學(xué)的最終目標(biāo). 在“一元二次方程”這一章，教師需要立足教學(xué)環(huán)節(jié)，開展核心素養(yǎng)培養(yǎng)，包括數(shù)學(xué)建模、抽象概括、推理運(yùn)算等. 故教學(xué)中教師需要借助知識(shí)，在探究環(huán)節(jié)滲透數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 如指導(dǎo)學(xué)生從實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)模型，在定義中培養(yǎng)學(xué)生的歸納、總結(jié)能力，借助方程的一般式變形來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).