趙嘉璐 馬瑞華

摘? 要：文章以高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容為例結(jié)合O2O教學(xué)背景，從數(shù)學(xué)學(xué)科歷史發(fā)展性、內(nèi)容抽象性以及教學(xué)對象情志方面著手分析HPM與數(shù)學(xué)教育間的關(guān)系。HPM融入數(shù)學(xué)教學(xué)既符合生物發(fā)生學(xué)的歷史相似性，又賦予數(shù)學(xué)內(nèi)容人文色彩，有利于促進(jìn)個體學(xué)習(xí)積極性。O2O教學(xué)背景下的教學(xué)活動突破了時間空間限制，為數(shù)學(xué)史的融入提供了便利，提升了教學(xué)效率，為HPM融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動提供了更加有效的渠道。

關(guān)鍵詞：HPM；O2O；核心素養(yǎng)；高等數(shù)學(xué)

中圖分類號：G640? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? 文章編號：1673-7164（2022）29-0116-04

歷史的發(fā)展揭示了思想產(chǎn)生的源頭、引發(fā)深入研究的原因、對其他領(lǐng)域的影響。文化自歷史中辯證發(fā)展，以教育為主要手段與途徑進(jìn)行傳承、延續(xù)。舒默在嵌入式信念系統(tǒng)模型中提道：文化背景一定程度影響個體知識學(xué)習(xí)信念［1］。當(dāng)下社會中大量的知識文化信息影響個體，影響個體的認(rèn)知、行為、價值觀的建立?，F(xiàn)代社會教育是個體信息接觸的主要平臺，因此文化教育較大程度地影響了個體認(rèn)知信念的建構(gòu)。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)因其歷史發(fā)展原因，使得人們對于數(shù)學(xué)的認(rèn)知傾向于“天經(jīng)地義”的、沒有“瑕疵”的真理，也因此學(xué)生更傾向于直接使用。然而不知知識產(chǎn)生原因，那么知識遷移便具有一定的局限性。數(shù)學(xué)知識的高度抽象性又使得數(shù)學(xué)晦澀難懂，學(xué)生便會產(chǎn)生畏難情緒，不愿深入思考，甚至直接不思考。以現(xiàn)實情況來看，大部分學(xué)生對于數(shù)學(xué)只是攝入式的獲取、拒絕思考，更不用說了解其前因后果以求擴(kuò)展遷移面了，這也是致使大部分學(xué)生的應(yīng)用能力有所欠缺、知識遷移能力較為局限的原因之一。但從數(shù)學(xué)發(fā)展歷史中可以窺知，數(shù)學(xué)的展開并不是邏輯的［2］，現(xiàn)在所使用的公式、定理有許多是數(shù)學(xué)家通過直覺、猜測、論證、運算得到的；也有一部分?jǐn)?shù)學(xué)公式、定理是在歷史的漫長發(fā)展中經(jīng)過反復(fù)推敲、修改甚至推翻重新構(gòu)建而來的。從歷史角度來看，數(shù)學(xué)似乎也不那么“冷冰冰”“高高在上”了，抽象邏輯科學(xué)也變得具有“人情味兒”了。

曾經(jīng)有位數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對扎實的學(xué)生問道：“為什么老師提出方法后很容易就能解決問題，而自己想破腦袋都不知道采用哪種方法呢？”事實上，正是前期缺乏歷史文化教育，使得學(xué)生并不清楚思想緣何而來、有何妙用，自然遷移應(yīng)用能力就受到了限制。在高校數(shù)學(xué)常為公共必修基礎(chǔ)課程，因其作為眾多應(yīng)用學(xué)科的基礎(chǔ)科目，為專業(yè)課學(xué)習(xí)奠基，數(shù)學(xué)遷移能力的限制會影響專業(yè)課程的學(xué)習(xí)，因此數(shù)學(xué)遷移能力的提高對大學(xué)生而言至關(guān)重要。

一、研究綜述

（一）HPM研究

HPM問題研究早在19世紀(jì)便已被歐美數(shù)學(xué)家以及教育家所關(guān)注，研究內(nèi)容主要可分三大類：史料研究、關(guān)系研究與應(yīng)用研究。數(shù)學(xué)史料研究，數(shù)學(xué)科學(xué)因其生于生活之經(jīng)驗，自古時便已產(chǎn)生。公元前四百年左右，古希臘學(xué)者歐德莫斯（Eudemus of Rhodes）便開始研究數(shù)學(xué)史，并初具系統(tǒng)，如History of Arithmetic、History of Geometry等大多數(shù)是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)史著作。除此之外對于數(shù)學(xué)史料研究多以古代數(shù)學(xué)史著作記載中的難題解決為主，如汪曉勤通過古希臘幾何難題中的問題挖掘史料（如梅內(nèi)克繆斯螺線、埃拉托色尼滑動框數(shù)列問題）［3］。數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)史的雙向關(guān)系研究。早在十九世紀(jì)人們便在研究數(shù)學(xué)史過程中意識到數(shù)學(xué)史之于數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)教育之于數(shù)學(xué)史的價值。1855年，泰爾康創(chuàng)辦的數(shù)學(xué)史刊物中也發(fā)表了許多教育取向的數(shù)學(xué)史文章，如“Calculer”一詞的起源、伯努利家族的族譜等；美國數(shù)學(xué)家卡約黎的《美國數(shù)學(xué)的教學(xué)與歷史》《初等數(shù)學(xué)史及其教學(xué)啟示》等，對于數(shù)學(xué)史與教育之間的關(guān)系進(jìn)行了論述，認(rèn)為回顧歷史、名人軼事可以使問題求解與幾何證明不再枯燥，可以從情志上提高學(xué)生的積極性及學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生意識到數(shù)學(xué)是一門不斷進(jìn)步的生動科學(xué)［3］。HPM的應(yīng)用研究。如宋乃慶對HPM融入數(shù)學(xué)課程做了分析，認(rèn)為HPM融入數(shù)學(xué)課程應(yīng)確立價值、選擇內(nèi)容、轉(zhuǎn)化形態(tài)、總結(jié)反思，并舉例說明，對數(shù)學(xué)課程中HPM的應(yīng)用給出了指導(dǎo)性的理論基礎(chǔ)。

（二）O2O模式

隨著信息技術(shù)的發(fā)展與社會發(fā)展的需要，信息技術(shù)教學(xué)成為高校教學(xué)的基礎(chǔ)模式之一，其中O2O（Online To Offline）教學(xué)模式成果顯著，成為現(xiàn)代智慧教育應(yīng)用較廣的信息化教學(xué)模式。O2O模式雖產(chǎn)于商業(yè)貿(mào)易，但其線上線下有機(jī)結(jié)合的特殊模式使得教學(xué)效果更加深化。高校數(shù)學(xué)課程普遍具有時間緊任務(wù)重的特點，而O2O模式則可有效解決這一問題。

事實上，O2O教育模式在我國已發(fā)展多年，隨著線上教育需求的增加，各方學(xué)者逐漸意識到O2O教育模式的可發(fā)展性，開始重視線上線下的融合教學(xué)。涂頻基于智慧背景對O2O教育模式進(jìn)行分析探索，為后續(xù)實踐教學(xué)提供了方法基礎(chǔ)；韓淑珍、馬燕基于O2O模式在TPACK理念指導(dǎo)下構(gòu)建了O2O微課課堂教學(xué)模式，為信息化教學(xué)提供新型教學(xué)方法等。

二、數(shù)學(xué)學(xué)科特性

（一）數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展特性

邏輯思維總是借助于概念、判斷、推理進(jìn)行思考的，而直覺思維則不受邏輯約束，對事物或現(xiàn)象本質(zhì)直接進(jìn)行領(lǐng)悟［4］。數(shù)學(xué)因其客觀規(guī)律性使得邏輯性成為該學(xué)科的基本特性，然而數(shù)學(xué)并非簡單的定理到定理，數(shù)學(xué)也具有直覺特性，邏輯通常是遲于直覺的，且邏輯體系的建立通常是不容易的。

整數(shù)的定義、分式的定義、幾何定義等等，相對于邏輯的理論到理論的推理，更偏向于現(xiàn)實經(jīng)驗規(guī)律的總結(jié)，具有直覺思維特性；無理數(shù)、復(fù)數(shù)、符號代替系數(shù)、微積分的概念等等，均在直覺型概念提出后許久被提出，具有邏輯思維特性。

數(shù)學(xué)知識體系具有歷史發(fā)展一致性，總是以簡單的、可觀察的、可總結(jié)的經(jīng)驗性知識為基礎(chǔ)，經(jīng)由一定的判斷、推理、驗證形成更加復(fù)雜的概念、定理、公式等內(nèi)容。在此過程中也不乏直覺猜想以縮小結(jié)論范圍，減小邏輯驗證工作量的操作，這也說明直覺比邏輯更有力量，不能輕易否定直覺的作用。

（二）數(shù)學(xué)的內(nèi)容抽象特性

抽象是從眾多的事物中抽取出共同的、本質(zhì)性的特征，而舍棄其非本質(zhì)特征的過程，最終以概念、判斷、推理等思維形式，反映事物的本質(zhì)和規(guī)律的方法［5］。而數(shù)學(xué)普遍被定義為研究現(xiàn)實中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，因此數(shù)學(xué)的研究對象是本不存在于現(xiàn)實世界的，由符號、方法、概念構(gòu)成的抽象內(nèi)容，而其金字塔型抽象結(jié)構(gòu)使得數(shù)學(xué)具有高度抽象性。因而奠定了人們對數(shù)學(xué)的普遍認(rèn)知——一門抽象學(xué)科。

數(shù)學(xué)的抽象主要有兩種形式：難以想象的、非現(xiàn)實體驗的。如圍棋競技，古語云：“千古無同局”，便是對圍棋布局種類數(shù)進(jìn)行難以想象的抽象性描述。再比如歐幾里得空間Rn（n＞2）中，任意兩個有界集（有內(nèi)點）可等度分解，就如一個豌豆切割為無窮多塊，按體積可重新組裝為太陽，即豌豆和太陽可以等度分解。

數(shù)學(xué)內(nèi)容的抽象性是以可直觀體驗的、能想象的內(nèi)容，逐漸剝離其現(xiàn)實性，抽象為符號、概念、定理的描述；由直覺的體驗、簡單的想象向非直觀的推理論證、難以想象的理論發(fā)展。在此過程中的邏輯思維方法是形成抽象理論的重要方式，因此直觀的總結(jié)性經(jīng)驗向非直觀的邏輯理論建立是抽象性形成的必然過程，也與知識的歷史發(fā)展軌跡相統(tǒng)一，其抽象性的發(fā)展也具有一定的歷史發(fā)展特征。

三、HPM在數(shù)學(xué)教育中的應(yīng)用

HPM（History and Pedagogy of Mathematics）是通過數(shù)學(xué)史料與數(shù)學(xué)教育及其關(guān)系，從而豐富數(shù)學(xué)教學(xué)方法及手段的研究［3］。數(shù)學(xué)知識內(nèi)容較多，且多由具象簡單的內(nèi)容逐步到抽象復(fù)雜的內(nèi)容發(fā)展，體系較為復(fù)雜，多呈金字塔型。在認(rèn)知學(xué)中普遍認(rèn)為個體知識認(rèn)同是在發(fā)展過程中實現(xiàn)高度聯(lián)系的。知識體系復(fù)雜性及高度關(guān)聯(lián)性是數(shù)學(xué)內(nèi)容教學(xué)的主要特征之一，HPM將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育緊密聯(lián)系，從史學(xué)角度賦予數(shù)學(xué)教學(xué)以新生命，追溯問題本源同時通過記錄數(shù)學(xué)家在形成數(shù)學(xué)思想過程中所產(chǎn)生的影響，利用史料解釋數(shù)學(xué)的人性。數(shù)學(xué)史不僅僅是歷史，更是科學(xué)實驗的成敗史，在失敗與成功中必定能夠感悟真理，獲得思想上的發(fā)展，因此數(shù)學(xué)歷史文化學(xué)習(xí)的引入就顯得尤為重要。

生物發(fā)生學(xué)認(rèn)為個體學(xué)習(xí)過程具有歷史相似性，即個體的成長過程要經(jīng)歷種族成長的所有階段，順序相同，歷時不同［5］。在知識習(xí)得過程中，學(xué)生所遇到的難題往往也是知識創(chuàng)建者經(jīng)過長期思索，克服困難后所得的。因此，數(shù)學(xué)歷史的了解能夠幫助學(xué)生更加深刻的理解數(shù)學(xué)緣起及數(shù)學(xué)思想，且數(shù)學(xué)知識發(fā)展的難易脈絡(luò)也會導(dǎo)致對應(yīng)知識掌握難易程度。如原始時期計數(shù)以十根手指或腳趾為計數(shù)工具，今天計數(shù)系統(tǒng)中印度發(fā)明的十進(jìn)制即是由此而來，如一百即十個十；現(xiàn)代原始部落中售賣物品要一個一個賣，“收入=單價×個數(shù)”的乘法運算卻會把他們搞糊涂，從而懷疑自己被騙。從這兩個例子中便很容易能看得出知識發(fā)展的復(fù)雜程度是有一定歷史軌跡的，數(shù)學(xué)知識的獲得過程也是遵循其歷史發(fā)生過程的，數(shù)學(xué)教學(xué)過程也應(yīng)當(dāng)依照數(shù)學(xué)知識發(fā)生過程進(jìn)行，循序漸進(jìn)，這樣才有助于學(xué)生數(shù)學(xué)知識域的形成。

數(shù)學(xué)史可以讓學(xué)生看到歷史先賢是如何有趣地取得舉世聞名的成就的，真實的數(shù)學(xué)創(chuàng)造史可以拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)家的距離，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的內(nèi)容，了解數(shù)學(xué)的“人格魅力”。開普勒作為世界著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，幼年喪父，不惑喪妻兒。但他卻將數(shù)學(xué)應(yīng)用于挑選二次婚姻候選人，以滿足他的婚姻方程，他將適于成婚的女士素質(zhì)列表評分，最終得分最高者卻出于感性拒絕了他，不得已與得分較少者成婚，在婚禮上因?qū)檠绻?yīng)酒商給出酒桶體積存疑，得出積分計算法，兩年后著述《測量酒桶體積新方法》，積分由此發(fā)展，但這樣的科學(xué)家也曾給出過行星模型這樣的謬誤模型。又如伽利略發(fā)現(xiàn)的擺運動科學(xué)定律，只因一次參觀時無聊便盯著擺動吊燈，發(fā)現(xiàn)吊燈擺動弧度大和小似乎所花時間是相等的，于是他便利用自己的脈搏核實推斷，最終通過實驗驗證了這一理論的準(zhǔn)確性。數(shù)學(xué)知識與定理的獲取似乎也不總是嚴(yán)肅的，但卻總是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，?shù)學(xué)家并不總是正確的，但卻總是敢于嘗試的。因此在教學(xué)過程中對于抽象性較高內(nèi)容，若了解其發(fā)生過程并非一帆風(fēng)順的，則個體的畏難情緒可有效得到緩解，可培養(yǎng)學(xué)生迎難而上的鉆研精神。

四、基于HPM的數(shù)學(xué)教學(xué)案例

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)遵從數(shù)學(xué)歷史發(fā)展脈絡(luò)這是毋庸置疑的，近現(xiàn)代以來的數(shù)學(xué)教材在編纂時容易忽視知識習(xí)得的歷史相似性。當(dāng)下的數(shù)學(xué)課程教學(xué)時間緊任務(wù)重，因此有效的理解教學(xué)內(nèi)容將達(dá)到事半功倍的效果?？v觀現(xiàn)代教育模式發(fā)展，社會發(fā)展總是影響著時下教育發(fā)展。

結(jié)合HPM的數(shù)學(xué)教學(xué)在豐富學(xué)生的歷史文化知識同時，在情感層面上也極大地降低了學(xué)生的畏難情緒，同時還會提高課堂的幽默性、趣味性，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。而O2O教學(xué)突破時間空間限制，同時現(xiàn)代網(wǎng)絡(luò)這個世界最大的教學(xué)資源庫的使用也使得學(xué)生的信息收集與篩選能力得以鍛煉?，F(xiàn)以完整的教學(xué)過程為載體，在不同階段適當(dāng)組織HPM內(nèi)容的融合設(shè)計教學(xué)案例，在此附上函數(shù)的極限內(nèi)容以四個階段進(jìn)行說明：

（一）課前預(yù)習(xí)

線上發(fā)布課程預(yù)習(xí)任務(wù)，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，同時附加數(shù)學(xué)主題發(fā)展史料，通過分組討論完成預(yù)習(xí)任務(wù)。如函數(shù)極限問題，可引入“劉徽割圓”問題及“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”使學(xué)生對于極限產(chǎn)生直覺感知，便于理論知識的理解。

（二）課中講授

課堂上通過小組反饋預(yù)習(xí)成果，通過學(xué)生講述分享，了解極限的由來，其后，教師引導(dǎo)學(xué)生走向嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚擉w系中去［6］?？刹捎庙槕?yīng)式提出新的問題，如承接上述問題，可引出像素、分辨率問題，一幅圖像分成100、1000個小格子清晰度不同，并隨著格子個數(shù)增大而越清晰，圖像越接近于真實的圖像，從而引出共性問題的解決思路——極限思想，并入極限定義。而著名的柯西收斂準(zhǔn)則即對極限進(jìn)行了嚴(yán)格論證，從而建立極限理論，解決了“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”，此時提出柯西收斂準(zhǔn)則讓學(xué)生對后續(xù)該理論的學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣。

（三）總結(jié)鞏固

總結(jié)理論知識，在此可通過重構(gòu)歷史與數(shù)理邏輯序列，結(jié)合學(xué)生認(rèn)知水平，通過應(yīng)用練習(xí)鞏固知識。如結(jié)合時代背景研究流言傳播問題、市場經(jīng)營穩(wěn)定性問題等等。讓學(xué)生體會極限思想在現(xiàn)代社會背景下的應(yīng)用與發(fā)展。

（四）課后應(yīng)用

總結(jié)所學(xué)，自主選擇主題進(jìn)行極限思想應(yīng)用練習(xí)，比如連續(xù)復(fù)利問題、城市廢棄物管理問題等實際情境問題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的眼光、解決問題的能力。

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（薦稿人：高改良，廣東科技學(xué)院督導(dǎo)，教授）

（責(zé)任編輯：汪旦旦）