徐小青

從學(xué)科能力的視角來看，數(shù)學(xué)學(xué)科的綜合能力包含邏輯推理能力、歸納總結(jié)能力以及推陳出新能力等。在新課程改革的背景下，初中數(shù)學(xué)課程在內(nèi)容上經(jīng)歷了相關(guān)變動(dòng)，對(duì)學(xué)生的學(xué)科綜合能力要求也發(fā)生了一定變化。在代數(shù)部分的數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)中，學(xué)生除了需要掌握基礎(chǔ)的代數(shù)理論知識(shí)以外，還要學(xué)習(xí)如何靈活運(yùn)用所學(xué)代數(shù)理論知識(shí)，以完成更深層次的代數(shù)學(xué)習(xí)。在以往的初中數(shù)學(xué)課堂中，部分教師所采用的教學(xué)方法偏向于純理論層面的指導(dǎo)，對(duì)于學(xué)生的拓展能力、理論實(shí)踐能力與邏輯推理能力等方面缺乏深入培養(yǎng)，這也影響了學(xué)生后續(xù)的自主學(xué)習(xí)質(zhì)量。

為使學(xué)生在后續(xù)的代數(shù)學(xué)習(xí)中具備較好的邏輯推理能力和理論應(yīng)用能力，教師應(yīng)在原有的教學(xué)基礎(chǔ)上，轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，優(yōu)化教學(xué)模式，通過多種教學(xué)方式，幫助學(xué)生在代數(shù)部分的學(xué)習(xí)中培養(yǎng)較好的推理能力。

一、代數(shù)推理能力的概念

國(guó)外教育專家在研究中對(duì)代數(shù)推理能力進(jìn)行了深入探討，并闡述了代數(shù)的三重定義：代數(shù)屬于一種廣義算術(shù)；代數(shù)是研究函數(shù)關(guān)系與相關(guān)變量的一種手段；代數(shù)是一種數(shù)學(xué)語言。根據(jù)這三重定義，代數(shù)推理能力也具有三重概念：從具體運(yùn)算中推理、歸納、總結(jié)出適用于整個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)的計(jì)算法則或者運(yùn)算體系；在某個(gè)情境中，能夠根據(jù)其中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，推理出其中蘊(yùn)含的函數(shù)關(guān)系；運(yùn)用一般形式的數(shù)學(xué)模型表示歸納所得的函數(shù)關(guān)系，并對(duì)模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行評(píng)估與驗(yàn)證。

代數(shù)推理相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)活動(dòng)如表1所示：

在代數(shù)推理能力的構(gòu)成上，部分學(xué)者認(rèn)為該能力涉及多種概念集合體，一般情況下體現(xiàn)的思維推理流程包括：建立一般化、常態(tài)化的模式；根據(jù)相關(guān)規(guī)則內(nèi)容實(shí)施計(jì)算；對(duì)運(yùn)算中的抽象概念進(jìn)行研究；對(duì)函數(shù)與數(shù)量關(guān)系進(jìn)行研究；構(gòu)建模型。

二、培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理能力的作用

1.能夠培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力

合情推理能力在解決實(shí)際問題或者探究解題思路時(shí)，能夠以符合規(guī)律、符合實(shí)際情況的視角為學(xué)生提供思維上的幫助。推理的過程實(shí)質(zhì)上屬于探索問題解決方法的一種手段。學(xué)生在代數(shù)性質(zhì)與數(shù)字變化規(guī)律中，往往需要結(jié)合所知信息進(jìn)行猜想、驗(yàn)證與推導(dǎo)結(jié)論，整個(gè)過程都考驗(yàn)學(xué)生的思維推理能力，并考查學(xué)生能否從合理的猜想角度進(jìn)行推理驗(yàn)證。例如，在一元一次方程的學(xué)習(xí)中，學(xué)生在類比推理中，可以把解一元一次方程的方法類推到一元一次不等式，以此在合情推理的過程中，根據(jù)方程與不等式之間存在的共性或者差異性，總結(jié)二者之間存在的關(guān)聯(lián)性。學(xué)生在代數(shù)推理以及數(shù)學(xué)理論之間的類推中，可以對(duì)其合情推理能力進(jìn)行相應(yīng)訓(xùn)練。

2.能夠培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力

演繹推理能力一般是指根據(jù)既有的理論概念或者案例資料等，學(xué)生基于規(guī)定的法則或者理論性質(zhì)進(jìn)行猜想、推理與實(shí)踐探究的能力。整個(gè)過程都需要學(xué)生在現(xiàn)有的定義或者理論性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行。代數(shù)推理的過程也需要學(xué)生按照代數(shù)運(yùn)算的一般規(guī)則，在規(guī)定的法則內(nèi)進(jìn)行邏輯推導(dǎo)。學(xué)生在代數(shù)概念與代數(shù)運(yùn)算的學(xué)習(xí)過程中，也通常需要進(jìn)行公式定義之間的相互推導(dǎo)，培養(yǎng)代數(shù)推理能力。這對(duì)其后續(xù)的代數(shù)理論知識(shí)學(xué)習(xí)具有重要作用。因此，教師在教學(xué)工作中，應(yīng)采取多種教學(xué)方式培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力。

三、培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理能力的教學(xué)策略分析

1.基于概念與性質(zhì)培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力

“數(shù)與代數(shù)”這一模塊主要涉及代數(shù)基礎(chǔ)概念、代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)與運(yùn)算法則等。這一模塊內(nèi)容包括分?jǐn)?shù)和分式、數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和多項(xiàng)式運(yùn)算性質(zhì)等，它們之間具有緊密聯(lián)系。對(duì)于教師而言，理論內(nèi)容之間的概念關(guān)聯(lián)性可以為學(xué)生的代數(shù)推理能力培養(yǎng)提供一條有效路徑。

根據(jù)數(shù)學(xué)中的不同對(duì)象的屬性進(jìn)行類比推理，可以為學(xué)生的理論學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)概念與法則運(yùn)算等提供推理能力方面的培養(yǎng)路徑，如在關(guān)于負(fù)指數(shù)冪的代數(shù)推理問題中，教師可做如下設(shè)置：

證明：A+B=0

在該題的解題方法上，關(guān)鍵在于如何理解、運(yùn)用負(fù)指數(shù)冪的概念。

在代數(shù)概念與性質(zhì)的教學(xué)中，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生深入代數(shù)的基本性質(zhì)，通過其中變換的規(guī)律和依據(jù)，使學(xué)生在相關(guān)題型的解題過程中，基于基礎(chǔ)理論概念進(jìn)行思考。在解題思路上，主要根據(jù)負(fù)指數(shù)冪的基礎(chǔ)性質(zhì)與分式運(yùn)算的基本知識(shí)進(jìn)行，這兩方面內(nèi)容為基礎(chǔ)性的概念知識(shí)。教師在培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力時(shí)，應(yīng)對(duì)基礎(chǔ)概念與理論性質(zhì)進(jìn)行深入的講解，在后續(xù)的題型變化中加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的代數(shù)推理能力的培養(yǎng)。在數(shù)與代數(shù)的基本運(yùn)算中，都可以根據(jù)實(shí)例操作的方式進(jìn)行歸納總結(jié)，其中的有理數(shù)加法、乘法法則等，可以通過歸納推理的方法進(jìn)行總結(jié)。

比如，在有理數(shù)乘法法則的歸納中，兩個(gè)有理數(shù)相乘一般包含以下幾種情況，即：兩個(gè)正數(shù)相乘；兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘；正數(shù)與負(fù)數(shù)相乘；正數(shù)與0相乘；負(fù)數(shù)與0相乘；0乘以0。在處理兩個(gè)有理數(shù)相乘的過程中，我們可以根據(jù)運(yùn)算結(jié)果推理出運(yùn)算法則，即兩數(shù)相乘，同號(hào)正，異號(hào)負(fù)，并把絕對(duì)值相乘，任何數(shù)與0相乘仍得0。中小學(xué)階段尚不要求運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行證明，初中階段只要求學(xué)生掌握推理、歸納的方法即可。在該環(huán)節(jié)的運(yùn)算推理中，學(xué)生往往需要結(jié)合兩種或者多種運(yùn)算概念，在類比推理的過程中嘗試使用歸納推理的方式進(jìn)行推算和總結(jié)。

2.基于探究性數(shù)學(xué)活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力

數(shù)學(xué)活動(dòng)的創(chuàng)設(shè)主要為學(xué)生提供相應(yīng)的理論實(shí)踐場(chǎng)所。在當(dāng)前的教學(xué)實(shí)踐中，針對(duì)學(xué)生的代數(shù)推理能力培養(yǎng)，部分教師對(duì)學(xué)生的主體性缺乏相應(yīng)的重視，并且僅注重理論層面上的推理能力培養(yǎng)。代數(shù)推理除了涉及理論部分的知識(shí)以外，還涉及理論實(shí)踐層面的規(guī)律總結(jié)和運(yùn)算推理等。在教學(xué)工作中，教師應(yīng)注重學(xué)生的主體性，在結(jié)合代數(shù)理論性質(zhì)與代數(shù)推理能力培養(yǎng)的基礎(chǔ)上，通過多樣化的數(shù)學(xué)活動(dòng)創(chuàng)設(shè)，為學(xué)生提供較好的培養(yǎng)推理能力的環(huán)境。

探究性數(shù)學(xué)活動(dòng)的展開能夠?yàn)閷W(xué)生提供多種思維路徑，如預(yù)測(cè)、猜想、聯(lián)想、驗(yàn)證與歸納總結(jié)等。與以往的教學(xué)模式相比，數(shù)學(xué)活動(dòng)的創(chuàng)設(shè)可以在發(fā)揮學(xué)生主體性的基礎(chǔ)上，為其提供豐富的推理能力鍛煉途徑。教師在數(shù)學(xué)活動(dòng)的創(chuàng)設(shè)中，還應(yīng)考慮學(xué)生的整體學(xué)習(xí)情況，通過引入代數(shù)運(yùn)算的專題內(nèi)容與思維訓(xùn)練內(nèi)容，使學(xué)生站在代數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)研究的角度，通過猜想、驗(yàn)證或者親自實(shí)踐的方式去驗(yàn)證。如表2所示。

教師在引入某月日歷信息的過程中，設(shè)置相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生結(jié)合日歷信息進(jìn)行思考、討論、驗(yàn)證與總結(jié)歸納。

教師可設(shè)置如下問題：

日歷中19日之前代表星期三、星期四、星期五的數(shù)字之和與“10”存在哪些關(guān)系？

這個(gè)關(guān)系在其他數(shù)字結(jié)構(gòu)中是否成立？代數(shù)應(yīng)該如何表示？

這個(gè)關(guān)系在其他月份的日歷中成立嗎？原因或者根據(jù)是什么？

這些數(shù)字還具有哪些關(guān)系？能否用代數(shù)進(jìn)行表示？

在設(shè)置相關(guān)問題的基礎(chǔ)上，教師可引導(dǎo)學(xué)生觀察表2中19日之前代表星期三、星期四、星期五的數(shù)字，并從直覺上嘗試說明它們之間具有何種聯(lián)系。隨后，在學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐探究的基礎(chǔ)上，教師可提供相應(yīng)的解決方法指導(dǎo)，通過數(shù)字之間的關(guān)系探究并根據(jù)變化規(guī)律猜想等，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算的相關(guān)方法進(jìn)行驗(yàn)證與表示。如表3所示。

從表3可以看出，若用a表示表2中19日之前代表星期三、星期四、星期五的中間數(shù)字，9個(gè)數(shù)字的和=9a，那么9個(gè)數(shù)字可以依次以a為因素進(jìn)行表示。

在后續(xù)的學(xué)生代數(shù)推理能力培養(yǎng)過程中，教師可引入有關(guān)現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活的問題，引導(dǎo)學(xué)生以代數(shù)運(yùn)算的思維進(jìn)行猜想、驗(yàn)證與歸納總結(jié)，在此基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

3.基于理論應(yīng)用培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力

數(shù)形結(jié)合模式一般由理論概念與數(shù)學(xué)圖形當(dāng)作集合體，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)除了需要從理論概念出發(fā)以外，還要學(xué)會(huì)以幾何概念解釋理論部分的內(nèi)容或者進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用。

初中階段的代數(shù)運(yùn)算在理論概念與結(jié)構(gòu)上難度為中等，教師在培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)運(yùn)算能力的過程中，可通過數(shù)形結(jié)合的方式，使學(xué)生在思維推理、運(yùn)算猜想和后續(xù)的總結(jié)歸納階段，運(yùn)用多種數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題，并在解決問題的過程中鍛煉代數(shù)推理能力。

比如，實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置關(guān)系如圖1所示，試比較a、b的大小。

要使學(xué)生深刻理解“正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小”，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生結(jié)合理論與圖形進(jìn)行推理，可按照“因?yàn)椤浴钡乃季S模式，使學(xué)生在解題中嘗試結(jié)合原理說明答案的來源和依據(jù)。

解題步驟為：根據(jù)數(shù)軸中a、b的位置可判斷出，因?yàn)閍為負(fù)數(shù)，小于零，所以a在該環(huán)節(jié)的教學(xué)中，重點(diǎn)在于如何培養(yǎng)學(xué)生熟練應(yīng)用所學(xué)知識(shí)的能力。數(shù)學(xué)課涉及的題型較多，對(duì)學(xué)生的審題能力、理論應(yīng)用能力和判斷能力等有較高要求。在對(duì)學(xué)生代數(shù)運(yùn)算思維的培養(yǎng)中，教師應(yīng)結(jié)合不同題型，使學(xué)生根據(jù)題型的特點(diǎn)思考如何運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。

四、結(jié)語

綜上，代數(shù)部分的數(shù)學(xué)理論內(nèi)容對(duì)學(xué)生的思維推理能力具有一定要求，教師應(yīng)創(chuàng)新教學(xué)方式，幫助學(xué)生深入學(xué)習(xí)代數(shù)理論知識(shí)，重視對(duì)學(xué)生的學(xué)科綜合素養(yǎng)培育，確保學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐步提高思維推理能力。

（作者單位：江蘇省南京東山外國(guó)語學(xué)校）

責(zé)任編輯：劉衛(wèi)紅