周婷婷

摘要：聚焦學生在計算三角形面積時忘記“÷2”的現(xiàn)象，嘗試從數(shù)學素養(yǎng)積累的角度走出誤區(qū).代數(shù)直觀本身很難建立，需要經過有效的操作、長時間深入的思考和高質量的練習.幾何直觀好理解、看得見、摸得著，從幾何直觀的優(yōu)勢著手，采用多種針對操作和多角度深度思考，建立三角形面積計算的代數(shù)直觀感，力求從本質上理解三角形面積公式的含義，消除忘記“÷2”的現(xiàn)象.

關鍵詞：三角形面積計算;直觀;幾何直觀;代數(shù)直觀

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）26-0011-03

“教材安排和課堂設計都注重經歷操作促進三角形面積公式推導的生成，為什么還有學生忘記計算公式中的÷2？”“教師注重引導學生用兩個完全相同的三角形去拼成一個平行四邊形，鼓勵學生自主推導三角形面積公式，大量計算鞏固，為什么期末學業(yè)檢測還有學生忘記÷2？”這是很多教師反饋教學效果不理想的疑問所在;“老師，您有沒有秘訣可以記住計算三角形和梯形的面積÷2？”也是很多家長和學生反饋學業(yè)成績不理想的遺憾所在.這個現(xiàn)象對數(shù)學平面幾何，立體幾何，空間幾何中的多邊形面積計算有影響，對生活問題和科學問題的解決也有影響.怎樣才能消除這個現(xiàn)象？

《數(shù)學課程標準（2011）》強調僅僅經歷過程不行，學生應該理解數(shù)學本質，感悟數(shù)學思想.幾何直觀在數(shù)學直觀中最為形象，能看得見、摸得著、好理解，數(shù)學直觀還包含幾何直觀和統(tǒng)計直觀，根據(jù)小學階段兒童的認知特點，常常借助幾何直觀解決代數(shù)問題、生活問題、科學問題.幾何直觀感悟不充分不通達不行，一種幾何直觀如果促進學生生成代數(shù)直觀，但學生在使用時頻繁計算錯誤，更可能是抽象的結論和幾何圖形沒有形成對應.

學生在經歷兩個相同的三角形組成一個平行四邊形，求出平行四邊形的面積，推導出這個三角形的面積的過程中，感受面積公式的水到渠成.但學生獨立看圖計算時，頭腦接收這個三角形的圖形和底、高信息，并不會自行生成平行四邊形，而是產生直接將底和高相乘的直觀反應.可以通過加強公式記憶練習促進熟練，改變忘記“÷2”現(xiàn)象，讓計算在強記的基礎上更精準.也可以通過增加不同幾何直觀促進理解而后記憶，讓計算在理解的基礎上更精準.《三角形的面積計算》一課，嘗試從數(shù)學本質的深度，設計三個角度幾何直觀推導出三角形面積公式，感悟三角形面積公式的邏輯性，從本質上掌握三角形面積計算中“÷2”的含義;組織一個疑點分析，明晰教材角度“÷2”的含義;設計正向思維和逆向思維訓練發(fā)揮思維定勢的正面作用，在靈活中固化三角形面積計算，消除忘記“÷2”的現(xiàn)象.

1經歷不同幾何直觀，生成相同代數(shù)直觀

布魯納說，教學不是帶領學生銘記已有的結果，而是教他們如何參與知識獲取的過程.學生先經歷兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形的操作推導三角形的面積公式，再根據(jù)教材第10頁《你知道嗎？》，帶領學生在畫圖、剪紙、拼接，經歷“以盈補虛”推導三角形面積公式的過程.最后，結合三種不同拼接方法比較，學生從分面積的一半，底的一半，高的一半這三個不同角度，深刻理解“÷2”這個代數(shù)形式的幾何含義.

格點圖中兩個完全相同的銳角三角形拼成一個平行四邊形，三角形的面積和等底等高平行四邊形面積的關系.理解“4×4”和“÷2”的含義.發(fā)現(xiàn)：“÷2”是指平行四邊形面積的一半.兩個完全相同的直角三角形拼成一個平行四邊形，三角形的面積和等底等高平行四邊形面積的關系.兩個完全相同的鈍角三角形拼成一個平行四邊形，三角形的面積和等底等高平行四邊形面積的關系.理解“8×3”和“÷2”的意思.發(fā)現(xiàn)：“÷2”是指三角形對應的平行四邊形面積的一半.

沿著三角形任意兩條邊的中點連線剪開，再將三角形左右兩側直角三角形旋轉至上方，轉化成長方形.長方形的高和三角形的高一樣，還是3厘米，長方形的底正好是三角形底的一半.發(fā)現(xiàn)：“÷2”是指長方形的底是原來三角形底的一半.

沿著三角形任意兩條邊的中點連線剪開，再將三角形上面兩個直角三角形旋轉至左右，轉化成長方形.長方形的底和三角形的底一樣，還是8厘米，長方形的高正好是三角形高的一半.發(fā)現(xiàn)：“÷2”是指長方形的高是原來三角形高的一半.

學生通過三個幾何直觀經歷中領悟，尤其是長方形的底是原來三角形底的一半，長方形的高是原來三角形高的一半，這些過程，使得學生在看到一個三角形求面積時，更容易產生“÷2”的代數(shù)直觀.

2經歷一個疑點分析，深度理解代數(shù)直觀

長方形的底是原來三角形底的一半，長方形的高是原來三角形高的一半，幫助學生更好的抽象出“÷2”的代數(shù)直觀，至此，學生對三角形的面積公式已經有了正確的認識.在此基礎上，組織學生進行拼圖操作，先經歷不完全相同的三角形（不全等）無法拼成平行四邊形，再經歷“只有完全一樣的三角形才能拼成平行四邊形”，領悟一個三角形的面積是兩個和它完全一樣的三角形拼成的平行四邊形面積的一半.

每個學習小組將信封中的9個三角形取出，3對完全一樣的銳角、直角、鈍角三角形;還有3個分別和這些銳角、直角、鈍角三角形不完全一樣的干擾三角形.學生在拼圖的舍棄和選擇中深度體驗“兩個完全一樣的三角形”這一前提條件對三角形面積公式合理的意義.

3經歷多組數(shù)據(jù)計算，真正掌握面積公式

學生舍棄3個干擾圖形，選擇將拼好的3個平行四邊形的信息填在表1中，并填出平行四邊形和對應三角形的面積，再小組討論他們的面積關系，達成共識.

小組討論任務：

（1）拼成的平行四邊形和每個三角形有什么關系？

（2）拼成的平行四邊形的底和高與三角形的底和高有什么關系？

（3）每個三角形的面積與拼成的平行四邊形的面積有什么關系？

（4）根據(jù)平行四邊形的面積，怎樣求三角形的面積？

小組共識：

（1）拼成的平行四邊形是兩個相同的三角形拼成.

（2）拼成的平行四邊形的底和高與三角形的底和高相同.

（3）每個三角形的面積是拼成的平行四邊形的面積的一半.

（4）三角形的面積=底×高÷2.

比較三種不同角度，發(fā)現(xiàn)：計算三角形的面積只要知道底和高，再“底×高÷2”即得到三角形面積大小.學生理解和掌握三角形的面積計算更準確，對梯形面積以及組合圖形面積的學習產生一定正遷移.

4經歷雙向思維訓練，深度固化面積公式

思維定型或形成思維定勢是思維發(fā)展的必然趨勢，因此通過正向思維和逆向思維練習的設計塑造高品質的計算思維定勢.以“三角形的面積計算”為本，整合變化問題，培養(yǎng)學生在已知條件變化的情境中精準計算三角形面積.公式正向訓練：設計一般的銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形底和高，求它們的面積，已知等腰直角三角形的一條腰，求它的面積;設計三角形不同的擺放的位置，使底和高出現(xiàn)在三角形的上方、側面，已知底、高求面積;設計已知2個底和1個高、1個底和2個高求面積;設計底、高已知的三角形田地收獲多少千克蘿卜、每平方米有多少棵白菜.公式逆向練習：已知三角形的面積和底、高中的一個條件求另一個.例如：“已知三角形的面積是20平方厘米，底是5厘米，則高是多少厘米？”學生熟練以20×2÷5的思路算出高，突出探討“20×2”的含義，掌握逆向思維中×2和正向思維中÷2的含義和聯(lián)系.

《三角形的面積計算》一課從三角形圖形的幾何直觀著手，幫助學生在頭腦中產生幾何直觀和代數(shù)直觀準確且穩(wěn)定的對應聯(lián)系，消除忘記“÷2”的現(xiàn)象.

初中階段對小學教材已經出現(xiàn)的平面圖形計算公式，不再作為新知識重新學習，重在例題或練習中運用.幾何學習采用更加抽象和概括的方式、用邏輯的推理和論證，更加突出“為什么”，對學生的能力要求有質的飛躍.高中階段需要學生在探究幾何問題時能聯(lián)系代數(shù)式，看到代數(shù)式時頭腦中能有幾何圖形.強調發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，最終使學生會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界.很多物理學家、化學家和生物學家在思考自己研究領域的科學問題時，也都是通過敏銳的數(shù)學直觀能力解決復雜的問題.因此，在小學階段，教師要根據(jù)學情，積極嘗試精心設計，消除思維直觀對數(shù)學抽象學習的限制性，通過充分的幾何直觀體驗，向直觀思維的優(yōu)勢性轉化，更好地開發(fā)兒童的代數(shù)直觀能力，給后續(xù)學科學習打下堅實知識基礎，生活和科學問題打下堅實思維基礎.

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[責任編輯：李璟]