導(dǎo) 讀：

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是依據(jù)教材內(nèi)容來設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)、促進(jìn)學(xué)生深度思考的教學(xué)活動(dòng)，但是現(xiàn)有教材內(nèi)容的呈現(xiàn)方式以結(jié)論為主，需要教師重構(gòu)學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容，促進(jìn)學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維、獲得數(shù)學(xué)思想、了解數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而引發(fā)深層次的思辨。

“思辨能力”是一種重要的數(shù)學(xué)思維能力，它包括“思考”和“辨析”，涉及數(shù)學(xué)思考、分析、推理、判斷、表述、交流等數(shù)學(xué)思維過程和活動(dòng)。但是現(xiàn)有教材內(nèi)容的呈現(xiàn)方式以結(jié)論為主，這樣直接“給予”的方式使學(xué)生缺乏思考的動(dòng)力，因此思辨的課堂需要教師重構(gòu)學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

一、經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維的內(nèi)容重構(gòu)

數(shù)學(xué)思維是學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)思考和解決問題中形成的。因此教師需要建構(gòu)有利于學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維的形成過程，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（一）變程序式的操作為經(jīng)歷真實(shí)思維的探究

數(shù)學(xué)教學(xué)的操作活動(dòng)，可以使抽象的知識(shí)形象化，學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，獲得思維的提升。但是如果不關(guān)注學(xué)生的真實(shí)想法，只是象征性地讓學(xué)生按照要求完成操作過程，容易導(dǎo)致學(xué)生缺乏思維的主動(dòng)性，無法實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

例如，教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”時(shí)，教材是通過讓學(xué)生測(cè)量、剪拼、折拼的方式構(gòu)建三角形，讓學(xué)生了解三角形的內(nèi)角和是180°的。但是測(cè)量時(shí)往往會(huì)出現(xiàn)三個(gè)角的內(nèi)角和不一定是180°的情況，教師用測(cè)量誤差的說法很難消除學(xué)生心中的困惑，活動(dòng)的過程既沒有帶來思維碰撞的激動(dòng)，也沒有消除困惑的欣喜，那么如何體現(xiàn)學(xué)生思維的真實(shí)性呢？

1.猜想的真實(shí)性。教學(xué)中，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，真實(shí)暴露學(xué)生的想法，利用直角三角尺，學(xué)生初步得出這個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是180°，教師把直角三角形撕成兩個(gè)小直角三角形，引導(dǎo)學(xué)生思考：每個(gè)小直角三角形的內(nèi)角和是多少度？大部分學(xué)生認(rèn)為是90°，個(gè)別學(xué)生認(rèn)為是180°。這時(shí)教師請(qǐng)認(rèn)為是90°的學(xué)生到臺(tái)前，接著把其中一個(gè)小的直角三角形再撕成兩個(gè)直角三角形，這個(gè)學(xué)生說內(nèi)角和是45°，教師再撕下去，學(xué)生說是22.5°。由此可見，學(xué)生真實(shí)的想法并不認(rèn)為三角形的內(nèi)角和一定是180°。隨著撕成的直角三角形越來越小，學(xué)生開始積極思考。有的學(xué)生提出：并不是三角形越小它的內(nèi)角和就越少，老師的大三角板跟同學(xué)手中的小三角板的內(nèi)角和是一樣的，但是大小不同。有的學(xué)生提出：角的大小與邊的長(zhǎng)短沒有關(guān)系，所以有可能撕成很小的直角三角形的內(nèi)角和也跟大三角形的內(nèi)角和一樣是180°。教師以學(xué)生真實(shí)的想法為出發(fā)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，發(fā)展了學(xué)生的思辨能力。

2.驗(yàn)證的真實(shí)性。用幾何畫板計(jì)算三角形的內(nèi)角和，比學(xué)生自主測(cè)量顯得結(jié)論更真實(shí)、更有說服力，學(xué)生在測(cè)量三角形的內(nèi)角和的時(shí)候因?yàn)橛姓`差，總是很難正好得出180°，數(shù)學(xué)的科學(xué)性很難得到體現(xiàn)。運(yùn)用幾何畫板非常精確地呈現(xiàn)無論三角形怎么變化，三角形三個(gè)內(nèi)角的和都是180°。

（二）變單一觀察為思維多維發(fā)展

數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)離不開觀察，學(xué)生可以通過觀察，發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的內(nèi)在規(guī)律和聯(lián)系，遷移完成新知識(shí)的學(xué)習(xí)。但是在教學(xué)中教師關(guān)注的重點(diǎn)依然是知識(shí)的掌握，對(duì)知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想沒有進(jìn)行深入解析，因此學(xué)生觀察的內(nèi)容單一，這樣的學(xué)習(xí)過程不利于學(xué)生思維多維發(fā)展。

例如，教學(xué)“三角形三邊關(guān)系”時(shí)，教師通常出示幾組三角形，讓學(xué)生測(cè)量三角形三條邊的長(zhǎng)度，并觀察這三條邊之間的關(guān)系，學(xué)生從數(shù)據(jù)觀察中發(fā)現(xiàn)，三角形的任意兩邊之和大于第三邊。在這個(gè)教學(xué)過程中，學(xué)生動(dòng)手測(cè)量了，也進(jìn)行了觀察，但是只是掌握了三角形三邊關(guān)系這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，僅靠觀察這幾組數(shù)據(jù)很難解決學(xué)生的困惑問題：為什么要用兩邊之和與第三邊比呢？三角形兩邊之和小于或等于第三邊會(huì)怎樣呢？?jī)蛇呏钆c第三邊有怎樣的關(guān)系呢？所以教師要讓學(xué)生經(jīng)歷三角形三邊關(guān)系建構(gòu)的過程。

1.發(fā)展批判性思維。批判性思維需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對(duì)自己的認(rèn)知提出疑問，繼而迫切地尋找解決問題的方法，把學(xué)生的思維不斷地引向深處，思維在“立和破”之間不斷生成發(fā)展。本節(jié)課通過四個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)進(jìn)行兩“立”兩“破”，從而促進(jìn)學(xué)生思辨的生成。

第一個(gè)環(huán)節(jié)是“立”，教師給學(xué)生幾根小棒，讓學(xué)生觀察能擺成和擺不成三角形的三根小棒三邊關(guān)系，初步得出結(jié)論：三根小棒中兩邊之和小于或等于第三邊的圍不成三角形，兩邊之和大于第三邊的可以圍成三角形。

第二個(gè)環(huán)節(jié)是“破”，教師讓學(xué)生在否定原有認(rèn)知中自主尋找問題的答案。引導(dǎo)學(xué)生思考：如何讓圍不成三角形的三根小棒圍成三角形？學(xué)生想到把最長(zhǎng)的第三根小棒剪短，教師再引導(dǎo)學(xué)生思考：第三根小棒是否可以無限地剪短？學(xué)生通過操作發(fā)現(xiàn)，第三根小棒不能無限地剪短，當(dāng)它短到一定程度時(shí)，有可能又圍不成三角形。這與剛才的認(rèn)知產(chǎn)生了沖突，學(xué)生初步感知第三根小棒的長(zhǎng)度有一定范圍。

第三個(gè)環(huán)節(jié)是再“立”，完善對(duì)三角形三邊關(guān)系的認(rèn)知，學(xué)生通過“長(zhǎng)度分別為3厘米、9厘米、5厘米的三根小棒能否圍成三角形”這個(gè)問題進(jìn)一步思考。學(xué)生根據(jù)3+9>5，認(rèn)為可以圍成三角形，但是實(shí)際操作時(shí)卻發(fā)現(xiàn)無法圍成三角形，此時(shí)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，因?yàn)?+5<9，所以圍不成三角形，由此得出結(jié)論：三角形任意兩邊之和大于第三邊。

第四個(gè)環(huán)節(jié)是再“破”，通過“長(zhǎng)度為9厘米的小棒換成長(zhǎng)度為幾厘米的小棒，三根小棒就可以圍成三角形”這個(gè)問題，拓展學(xué)生對(duì)三角形三邊關(guān)系的進(jìn)一步認(rèn)知。在不斷嘗試的過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)第三根小棒長(zhǎng)度要小于“3+5”的和，又要大于“5-3”的差，從而完整建構(gòu)三角形三邊關(guān)系的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

2.發(fā)展縝密性思維。當(dāng)學(xué)生初次建構(gòu)三角形三邊關(guān)系時(shí)，認(rèn)知是不完整的，只是得出“兩邊之和大于第三邊就可以圍成三角形”這個(gè)結(jié)論。在后續(xù)兩個(gè)環(huán)節(jié)中充分暴露學(xué)生認(rèn)知不完整的問題，當(dāng)教師提出問題：第三根小棒可以無限地剪短嗎？長(zhǎng)度分別為3厘米、9厘米、5厘米的三根小棒能否圍成三角形？學(xué)生回答時(shí)就出現(xiàn)了錯(cuò)誤答案，學(xué)生在尋找錯(cuò)誤原因的過程中完善了對(duì)三角形三邊關(guān)系的認(rèn)知，也充分理解了“任意”這個(gè)詞的含義和重要性，提升了思維的縝密性。

二、經(jīng)歷數(shù)學(xué)思想的內(nèi)容重構(gòu)

數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏曾說：“學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，在進(jìn)入社會(huì)后幾乎沒有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用，唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)思想和方法等隨時(shí)發(fā)生作用，使他們受益終身?！睂?duì)數(shù)學(xué)思想的感悟是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的集中體現(xiàn)，教師要深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想，重構(gòu)教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)歷數(shù)學(xué)思想的形成過程。

（一）單調(diào)的數(shù)字計(jì)算轉(zhuǎn)化為生動(dòng)的數(shù)學(xué)思想

在計(jì)算教學(xué)中，教師往往通過大量重復(fù)性的練習(xí)，使學(xué)生掌握計(jì)算方法、提高計(jì)算正確率，但學(xué)生也因此忽略了其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。尤其在算理的教學(xué)中，既要讓學(xué)生理解算理，又要滲透數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

例如，在教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的練習(xí)課”時(shí)，學(xué)生體驗(yàn)了數(shù)學(xué)推理思想。首先引導(dǎo)學(xué)生比較“24×17”這個(gè)乘法豎式中第二層的積與第一層的積的大小，通過計(jì)算，第二層的積是24×10=240，第一層的積是24×7=168，所以第二層的積大于第一層的積，在復(fù)習(xí)乘法算式算理的同時(shí)完成初步建模。其次呈現(xiàn)□×17，讓學(xué)生思考：現(xiàn)在第二層的積還大于第一層的積嗎？一部分學(xué)生認(rèn)為不知道第一個(gè)因數(shù)怎么確定積，提出可以用舉例驗(yàn)證的方式來證明，這類學(xué)生的推理能力還未形成，需要直觀數(shù)字的輔助。大部分學(xué)生依據(jù)24×17的計(jì)算過程進(jìn)行推理思考，無論第一個(gè)因數(shù)是多少，第一層的積都是用第一個(gè)因數(shù)乘7，第二層的積都是用第一個(gè)因數(shù)乘10，所以第二層的積大。教師再次呈現(xiàn)24×□，引導(dǎo)學(xué)生提出問題：第二層的積與第一層的積誰大呢？這個(gè)問題的提出也是依據(jù)□×17進(jìn)行推理思考。學(xué)生提出還可以用舉例的方法來驗(yàn)證，教師引導(dǎo)學(xué)生舉一個(gè)有說服力的例子，很快學(xué)生就提出，24×19，個(gè)位9最大，十位1最小，第一層的積是24×9，是第一層最大的積，第二層是24×10，是第二層最小的積，第二層最小的積還大于第一層最大的積，所以通過推理得出結(jié)論：無論第二個(gè)因數(shù)是幾，第二層的積都大于第一層的積。最后呈現(xiàn)□×□，逐步抽象出兩位數(shù)乘兩位數(shù)為什么第二層的積大于第一層的積的算理。這個(gè)教學(xué)過程學(xué)生逐步推理出乘法計(jì)算的過程，經(jīng)歷了從直觀到抽象的過程。

（二）枯燥的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為深?yuàn)W的數(shù)學(xué)思想

相較于其他學(xué)科，數(shù)學(xué)知識(shí)缺乏豐富的想象、感人的意境，所以教師如果僅關(guān)注學(xué)生知識(shí)的掌握，數(shù)學(xué)課堂勢(shì)必枯燥乏味。數(shù)學(xué)的魅力在于思維的迸發(fā)、數(shù)學(xué)思想的呈現(xiàn)，教師要善于從數(shù)學(xué)思想的高度審視課堂，把枯燥的內(nèi)容變得有趣。

例如，教學(xué)“數(shù)字編碼”時(shí)，每個(gè)數(shù)字編碼都是不重復(fù)的，因?yàn)樗倪@個(gè)特性，編碼在生活中才得以廣泛地應(yīng)用，本節(jié)課圍繞著唯一性展開教學(xué)。教師讓學(xué)生猜想：全國(guó)有14億人口，身份證號(hào)碼會(huì)重復(fù)嗎？大部分學(xué)生覺得會(huì)重復(fù)，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合地圖和身份證號(hào)碼來分析。根據(jù)省、市、縣區(qū)域碼，學(xué)生發(fā)現(xiàn)身份證號(hào)前6位相同的人大約100多萬人。根據(jù)出生日期號(hào)篩選，同年同月出生的人同一個(gè)縣就只有500左右了，那么身份證號(hào)碼前14位相同的大約有500人。根據(jù)三位的順序碼可以保證999個(gè)人編碼不重復(fù)，至此學(xué)生明白了為什么身份證編碼不會(huì)重復(fù)，也解決了學(xué)生提出的“身份證號(hào)需不需要加所在鄉(xiāng)鎮(zhèn)、街道、門牌號(hào)”的問題，編碼的信息不是越多越好，選擇合適的信息只要不重復(fù)就可以了。根據(jù)編碼唯一性的特點(diǎn)，編寫自己的學(xué)號(hào)時(shí)，學(xué)生不是盲目地把個(gè)人的信息全部加入編碼，而是思考哪些信息是不會(huì)經(jīng)常變化的，哪些信息是不會(huì)重復(fù)的。最后學(xué)生選定自己的入學(xué)年份、班級(jí)、座號(hào)，這三個(gè)要素就決定了自己學(xué)號(hào)的唯一性特點(diǎn)。這個(gè)過程的學(xué)習(xí)，學(xué)生可能忘記了每個(gè)數(shù)字編碼代表的意義，但是記住了編碼的唯一性，學(xué)習(xí)編碼的意義得以凸顯。

三、經(jīng)歷數(shù)學(xué)本質(zhì)的內(nèi)容重構(gòu)

數(shù)學(xué)本質(zhì)是指數(shù)學(xué)本身所固有的、決定學(xué)科性質(zhì)、面貌和發(fā)展的根本屬性。微觀上，數(shù)學(xué)本質(zhì)是指具體數(shù)學(xué)內(nèi)容本真的意義，需要我們對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深入挖掘，找到隱藏其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，教師對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和把握決定了數(shù)學(xué)教學(xué)的成效。教師需要合理地設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)層面上來理解問題的本質(zhì)，形成恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)觀。

（一）關(guān)注細(xì)節(jié)，深化數(shù)學(xué)本質(zhì)

有的概念看似簡(jiǎn)單，但是“越是簡(jiǎn)單的往往越是本質(zhì)的”。在教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)中，教師要關(guān)注概念的細(xì)節(jié)處理，深化學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解。

例如，教學(xué)“長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí)”時(shí)，長(zhǎng)方體和正方體的長(zhǎng)、寬、高的意義非常重要，但是往往被忽略，教師常用“一個(gè)頂點(diǎn)引出的三條棱就是長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高”一句話帶過，長(zhǎng)、寬、高對(duì)于長(zhǎng)方體的重要性并沒有體現(xiàn)。教學(xué)中，教師可以通過“搭”和“拆”這兩個(gè)活動(dòng)來幫助學(xué)生加強(qiáng)認(rèn)知。第一層次是“搭”，讓學(xué)生從15根小棒中選擇12根搭一個(gè)長(zhǎng)方體。有的學(xué)生選擇搭3組，每組4根長(zhǎng)度相等的小棒搭成一個(gè)長(zhǎng)方體。有的學(xué)生搭出了一個(gè)面不是長(zhǎng)方形的圖形，怎么看都是歪的。經(jīng)歷“搭”的過程，學(xué)生能深刻理解長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。第二層次是“拆”，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：如果拆掉一個(gè)小棒還能還原這個(gè)長(zhǎng)方體嗎？學(xué)生拆掉任意一根小棒，都能根據(jù)相對(duì)的其余三根小棒還原這根小棒的長(zhǎng)度。教師接著追問：至少剩下幾根小棒才能還原這個(gè)長(zhǎng)方體的大小呢？有的學(xué)生說剩下4根，有的學(xué)生說剩下2根，有的學(xué)生說剩下8根……最后發(fā)現(xiàn)只要剩下長(zhǎng)、寬、高3根，就能還原整個(gè)長(zhǎng)方體的大小，至此，學(xué)生對(duì)長(zhǎng)、寬、高決定了長(zhǎng)方體的大小有了深刻的認(rèn)知。

（二）關(guān)注問題，彰顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中存在著很多困惑，這些困惑接近學(xué)生學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū)，教師要善于抓住學(xué)生的問題設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)學(xué)生的思考，幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)。

例如，教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”時(shí)，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的理解有一定的難度，尤其是看到[12]這個(gè)分?jǐn)?shù)時(shí)，有的學(xué)生提出：怎么會(huì)有這樣的數(shù)？為什么下面寫2，上面寫1，能不能倒過來寫？數(shù)中間怎么會(huì)有線？寫的時(shí)候?yàn)槭裁匆葘?，再寫1？上面的1是表示1塊餅嗎？根據(jù)這些問題，我們對(duì)[12]這個(gè)分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)的內(nèi)容進(jìn)行重構(gòu)。我們把分餅的過程與分?jǐn)?shù)的形成過程結(jié)合起來，先把分餅的過程用課件動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，最后再?gòu)膱D形過渡到分?jǐn)?shù)（如圖1）。學(xué)生結(jié)合圖形理解[12]：中間的線代表把餅平均分成兩份;因?yàn)橐绕骄?份，再?gòu)?份中取1份，所以先寫2，再寫1;上面的1表示一塊餅平均分成2份中的1份;2寫下面，1寫上面也是根據(jù)分的過程，先平均分成2份寫下面，再取1份寫上面。結(jié)合分餅的過程理解分?jǐn)?shù)，學(xué)生腦海里就有了[12]這個(gè)分?jǐn)?shù)的直觀表象，對(duì)[12]的理解更加深刻，后續(xù)學(xué)習(xí)[13]就水到渠成。教師依據(jù)學(xué)生的困惑點(diǎn)來設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，通過數(shù)形結(jié)合把數(shù)的理解作為突破口，就會(huì)收到意想不到的效果。

通過教學(xué)內(nèi)容的重構(gòu)，學(xué)生的思辨能力得到了提升，深化了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義。

（作者單位：福建省福清市瑞亭小學(xué)）

投稿郵箱：405956706@qq.com

李衡，福建省福清市瑞亭小學(xué)校長(zhǎng)，福建省特級(jí)教師，福建省學(xué)科帶頭人，福清市“李衡名師工作室”領(lǐng)銜名師。曾獲得“福建省優(yōu)秀青年教師”“福州市勞動(dòng)模范”等榮譽(yù)稱號(hào)，在省級(jí)以上期刊發(fā)表多篇教育教學(xué)論文，主持6個(gè)省、市級(jí)課題，均順利結(jié)題，執(zhí)教省、市級(jí)研討課以及做講座近百場(chǎng)。