曹彬
[摘? 要] 學(xué)生真正會(huì)解一道題的標(biāo)準(zhǔn)是解題自然,所以解題自然是解題教學(xué)的最終目標(biāo). 若學(xué)生在解題時(shí)出現(xiàn)思維“卡頓”就是解題不自然的體現(xiàn),此時(shí)教師要打開(kāi)學(xué)生的心理桎梏,將已知條件和所求結(jié)論建立聯(lián)系,以明顯的數(shù)學(xué)現(xiàn)象引出解題思路,才能讓學(xué)生達(dá)到解題自然的目標(biāo).
[關(guān)鍵詞] 解題自然;數(shù)學(xué)現(xiàn)象;現(xiàn)象教學(xué)
面對(duì)思維層次較高的高考?jí)狠S題,只有極少部分學(xué)生有勇氣繼續(xù)思考,而大部分學(xué)生解題思路屢屢“卡頓”,這種不自然的解題過(guò)程導(dǎo)致其放棄的念頭越來(lái)越強(qiáng)烈. 有的教師為了盡快完成教學(xué)任務(wù),采用拖著學(xué)生走的方式公布解答過(guò)程,但學(xué)生常常會(huì)為過(guò)程中的某一步糾結(jié)半天,而且一直貫穿始終的最大糾結(jié)是:“這一步是怎么想到的?”
用數(shù)學(xué)眼光觀(guān)察到的表象就是數(shù)學(xué)現(xiàn)象,基于數(shù)學(xué)現(xiàn)象的教學(xué)稱(chēng)為數(shù)學(xué)現(xiàn)象教學(xué)[1]. 在解題中學(xué)生的思路出現(xiàn)“卡頓”就是因?yàn)楝F(xiàn)象不明顯,如何讓學(xué)生解題自然?可以讓現(xiàn)象更為明顯,學(xué)生通過(guò)明顯的現(xiàn)象更有效地找到解題思路,達(dá)到解題自然的目標(biāo).
[?]分析解題過(guò)程
真題再現(xiàn):(2018年全國(guó)高考數(shù)學(xué)Ⅲ卷理科第21題第(2)問(wèn))已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x,若x=0是f(x)的極大值點(diǎn),求a.
題目分析:這個(gè)函數(shù)解析式中含有未知數(shù),而且一次求導(dǎo)后分母上也有未知數(shù),唯一可以保證的是分母是正數(shù),求導(dǎo)后可以只研究分子的正負(fù). 題目的已知條件有“x=0是f(x)的極大值點(diǎn)”,可以通過(guò)極值點(diǎn)的定義以及求導(dǎo)尋找解題突破口.
題目解答:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?1,+∞).
糾結(jié)1:x=0是f(x)的極大值點(diǎn)能得到什么結(jié)論?
現(xiàn)象1:因?yàn)閤=0是f(x)的極大值點(diǎn),所以f′(0)=0,且存在x<0和x>0,使得在區(qū)間[x,0)上f′(x)>0,在區(qū)間[0,x]上f′(x)<0(如圖1所示).
f′(x)=(1+2ax)ln(1+x)+-2=,令g(x)=(1+x+2ax+2ax2)ln(1+x)+ax2-x,在區(qū)間[x,0)上g(x)>0,在區(qū)間(0,x]上g(x)<0.
糾結(jié)2:函數(shù)g(x)的解析式似乎比f(wàn)(x)的解析式更復(fù)雜,思路是對(duì)還是錯(cuò)?g(x)具有什么性質(zhì)?
現(xiàn)象2:注意到g(0)=0,由于g(x)>0,g(x)<0,存在x
g′(x)=(1+2a+4ax)ln(1+x)++2ax-1=(1+2a+4ax)ln(1+x)+4ax,令h(x)=(1+2a+4ax)ln(1+x)+4ax.
糾結(jié)3:按函數(shù)單調(diào)性的定義可知,h(x)<0,因?yàn)椴荒馨盐粗獢?shù)a分離,所以解不出a,接下來(lái)該怎么辦?
現(xiàn)象3:由g(x)的圖像可得g′(x)<0,即h(x)<0,又h(0)=0,故x<0時(shí),h(x)為增函數(shù),x>0時(shí),h(x)為減函數(shù),故存在x
解題反思:這是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的典例,以函數(shù)圖像作為數(shù)學(xué)現(xiàn)象推動(dòng)解題思路的發(fā)掘,充分暴露解題過(guò)程中的思維活動(dòng),逐一解答學(xué)生心中的疑惑,這就是自然的解題過(guò)程. 當(dāng)然,如果對(duì)函數(shù)圖像的描述不準(zhǔn)確,現(xiàn)象不明顯,學(xué)生還是會(huì)對(duì)解題過(guò)程疑慮重重.
[?]探索解題自然
當(dāng)“怎么想到的”成為縈繞在學(xué)生頭腦中的魔咒時(shí),一定不是一件好事. 這是學(xué)生對(duì)自身知識(shí)結(jié)構(gòu)的懷疑,也是對(duì)自身能力體系的拷問(wèn),如果在解題教學(xué)中這個(gè)問(wèn)題得不到妥善解決,那么將會(huì)對(duì)學(xué)生的自信心產(chǎn)生毀滅性打擊. 筆者認(rèn)為,解題教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)是澄清思路和解題自然,而解題自然有兩方面的解釋?zhuān)皇潜敬谓忸}思路是自然的,二是下次遇到類(lèi)似的題目時(shí)會(huì)自然想到解題思路. 那么,在數(shù)學(xué)解題現(xiàn)象教學(xué)中,如何呈現(xiàn)現(xiàn)象,使解題過(guò)程更自然?
1. 打破心理桎梏,“破題”更自然
大多數(shù)教師講解一套模擬試卷的順序是:先講選擇題、填空題或解答題前面的題,再集中力量解決這幾種題型的最后一題. 如果學(xué)生的數(shù)學(xué)總體水平不高,從“先易后難”的角度進(jìn)行思考,這種講題順序無(wú)可厚非. 事實(shí)上,學(xué)生的數(shù)學(xué)總體水平高不高,大多是教師的主觀(guān)意識(shí)確定的,與實(shí)際情況經(jīng)常不吻合. 比如教學(xué)中教師認(rèn)為學(xué)生解不出來(lái)的題目學(xué)生恰好解出來(lái)了,而教師認(rèn)為在學(xué)生“狙擊”范圍內(nèi)的題目學(xué)生反而做不出來(lái),這種情況比比皆是. 沿著這個(gè)思路,大多數(shù)教師認(rèn)為試卷里的最后一題就是難題,這就是教師的主觀(guān)意識(shí)確定的,這在解題教學(xué)中是大忌,多次這樣的訓(xùn)練會(huì)給學(xué)生造成最后一題一定是難題的心理桎梏,加上講解最后一題時(shí)大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)疲憊,可以想象得到講解最后一題的效果有多么尷尬.
倒推回去,大多是從小學(xué)和初中就形成的心理陰影,雖然高中教師無(wú)權(quán)評(píng)價(jià)小學(xué)或初中的好與壞,但不能讓學(xué)生的這種心理陰影面積拓寬,那么該如何破解學(xué)生心中的難題?答案是打亂講題順序,先從學(xué)生先入為主貼上標(biāo)簽的難題開(kāi)始講解. 當(dāng)教師把學(xué)生認(rèn)為的難題破解了,學(xué)生會(huì)覺(jué)得“這個(gè)難題也不過(guò)如此”,一旦學(xué)生破解了心中的難題,這個(gè)“現(xiàn)象”給其心理產(chǎn)生的積極作用是巨大的. 這種積極作用在復(fù)習(xí)備考的沖刺階段尤為重要,所以建議在復(fù)習(xí)備考階段中先復(fù)習(xí)函數(shù)和解析幾何兩個(gè)板塊. 當(dāng)然,每個(gè)學(xué)生認(rèn)為的難題不盡相同,有的認(rèn)為函數(shù)題難,有的認(rèn)為解析幾何題難,還有的認(rèn)為立體幾何題難,教師實(shí)在沒(méi)必要給學(xué)生大量的心理壓力.
2. 聯(lián)系“已知”和“所求”,理解更自然
從古到今斷案的大致過(guò)程都是先審被告,審了被告再審原告,最后將原告與被告的證詞相互比較,反復(fù)多次并以此判斷誰(shuí)的供述更接近真相. 解題也可以仿照這種思路,先“審所求”,充分挖掘所求結(jié)論背后隱藏的東西;再“審已知”,挖掘已知條件背后隱藏的東西;最后建立兩者的關(guān)系. 這個(gè)思維過(guò)程要完全展現(xiàn)給學(xué)生,而具體的解題過(guò)程要留給學(xué)生完成.
真題再現(xiàn):(2021年全國(guó)高考數(shù)學(xué)甲卷理科第12題)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x+1)為奇函數(shù),f(x+2)為偶函數(shù),當(dāng)x∈[1,2]時(shí),f(x)=ax2+b. 若f(0)+f(3)=6,求f的值.
首先“審所求”:要求f
的值,只有知道函數(shù)f(x)的解析式或者性質(zhì). 接著“審已知”:由f(x+1)為奇函數(shù)可得函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱(chēng),加上f(x)的定義域?yàn)镽可得f(-1)=0;由f(x+2)為偶函數(shù)可得函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=-2對(duì)稱(chēng). 兩個(gè)條件合起來(lái)可得f(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=0、直線(xiàn)x=2和點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng),周期是4. 當(dāng)x∈[1,2]時(shí),f(x)的解析式中含有兩個(gè)未知數(shù),需要兩個(gè)方程才能解出來(lái),正好f(-1)=f(1)=0和f(0)+f(3)=-f(2)+f(1)=6. 于是將“已知”和“所求”聯(lián)系了起來(lái),將f
3. 動(dòng)畫(huà)展示過(guò)程,探究更自然
對(duì)于一些所求結(jié)論不夠明確的題,“審所求”得不到明顯的結(jié)果,只能從“審已知”開(kāi)始,但學(xué)生容易出現(xiàn)疑問(wèn):“應(yīng)該往哪個(gè)方向思考?”此時(shí)可以利用信息技術(shù)將滿(mǎn)足條件的圖像畫(huà)出來(lái),明確要探究的結(jié)論是什么,下次遇見(jiàn)類(lèi)似的題目時(shí)自然就有相應(yīng)的解答思路.
真題再現(xiàn):(2021年全國(guó)高考數(shù)學(xué)甲卷理科第20題改編)點(diǎn)A,A,A是拋物線(xiàn)C:y2=x上的三點(diǎn),直線(xiàn)AA,AA均與☉M:(x-2)2+y2=1相切. 判斷直線(xiàn)AA與☉M的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
此題讓學(xué)生產(chǎn)生的困惑是:“直線(xiàn)AA與☉M會(huì)有哪些位置關(guān)系?是一直保持著一種關(guān)系,還是點(diǎn)A在不同的位置時(shí)會(huì)有不同的關(guān)系?”此時(shí)可以借助于幾何畫(huà)板解決此困惑. 作拋物線(xiàn)C:y2=x和☉M:(x-2)2+y2=1的圖像,在拋物線(xiàn)上任取一點(diǎn)A,以AM為直徑作圓,所作的圓與☉M相交于點(diǎn)B,C,此時(shí)直線(xiàn)AB,AC總是與☉M相切. 直線(xiàn)AB,AC分別與拋物線(xiàn)C相交于點(diǎn)A,A,連接直線(xiàn)AA,發(fā)現(xiàn)直線(xiàn)AA與☉M相切,拖動(dòng)點(diǎn)A,直線(xiàn)AA總是與☉M相切,說(shuō)明直線(xiàn)AA與☉M相切. 如圖4所示.
學(xué)生真正會(huì)解一道題的標(biāo)準(zhǔn)是解題自然,所以解題自然是解題教學(xué)的最終目標(biāo). 在解題教學(xué)中,教師要充分準(zhǔn)備,采用合適的方式引入解題思路,讓學(xué)生達(dá)到解題自然的目標(biāo),這是解題現(xiàn)象教學(xué)的基本要求.
參考文獻(xiàn):
[1]? 孫四周. 現(xiàn)象教學(xué)的內(nèi)涵與價(jià)值[J]. 教育研究與評(píng)論(中學(xué)教育教學(xué)),2018(03):5-9.