王培幼 丁玉成

[摘 要]方程是小學(xué)數(shù)學(xué)中十分重要的概念。文章從核心問題入手，聚焦方程本質(zhì)，根據(jù)學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)起點(diǎn)設(shè)計(jì)合適的教學(xué)路徑，帶領(lǐng)學(xué)生由表及里、深刻感悟方程的意義。

[關(guān)鍵詞]方程的意義;方程的本質(zhì);順向思維

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2022）17-0015-03

方程是一種認(rèn)識與思維方式的巨大轉(zhuǎn)變——學(xué)生首次由算術(shù)思維轉(zhuǎn)向代數(shù)思維。但方程教學(xué)往往只注重描述性定義的理解，即只抓住“有未知數(shù)”“是等式”兩個特征來引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識方程，沒有深入挖掘方程的本質(zhì)，導(dǎo)致教學(xué)效果不理想。因此，在教學(xué)之前，教師需要重視以下兩個核心問題。

問題一：方程教學(xué)如何從“表象”走向“內(nèi)涵”？

概念描述與真正理解運(yùn)用之間的距離到底有多遠(yuǎn)？作為教師，如何幫助學(xué)生跨越這個距離，從而幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對方程意義的真正建構(gòu)？如何將教學(xué)的重心由對方程概念的“靜態(tài)”定義，轉(zhuǎn)向讓學(xué)生主動地“動態(tài)”建構(gòu)對方程的認(rèn)識？

首先要對方程的內(nèi)涵做深入挖掘;其次，思考怎樣的素材能更好地建構(gòu)方程的意義;再次，根據(jù)方程的內(nèi)涵設(shè)計(jì)合理的活動幫助學(xué)生理解;最后，讓方程的內(nèi)涵和表象完美統(tǒng)一，完成教學(xué)。

問題二：如何在多種等量關(guān)系中突出順向思維的優(yōu)勢？

對于“8-5=x”“x=3”是不是方程，從定義上看這兩個式子是“等式”又有“未知數(shù)”，所以是方程，但從方程內(nèi)涵來看它們已經(jīng)失去了方程的意義，所以教師在列方程時都不會選擇這種類型。

對于“5+x=8”和“8-x=5”哪個好的問題，很多教師會說兩種都可以，但用方程解答的優(yōu)勢在于用順向思維來解決問題，倒推式的逆向思維與算術(shù)思維并無區(qū)別，應(yīng)該優(yōu)化。怎樣在多種等量關(guān)系中突出順向思維的優(yōu)勢？這值得思考。

一、基于方程本質(zhì)的前測題及結(jié)果分析

1.前測題

第一組：用一個式子表示圖1中天平的平衡情況。

【設(shè)計(jì)意圖：凸顯左右相等才能列出等式，對學(xué)生能否用等式來表示天平的平衡情況進(jìn)行摸底。】

第二組：圖2中的兩個天平都是平衡的，請你從數(shù)學(xué)的角度把圖的意思表示出來。

【設(shè)計(jì)意圖：平衡的天平的等量關(guān)系比較明顯，學(xué)生可能會以文字形式表述。不管是文字還是方程，都說明學(xué)生有等量關(guān)系的意識。本題還考查學(xué)生是否有將未知量設(shè)為未知數(shù)并作為已知信息參與列式的意識?！?/p>

第三組：你能找到下面兩題的等量關(guān)系嗎？用一個式子表示出來。

【設(shè)計(jì)意圖：這兩道題有比較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，為的是凸顯順向思維的優(yōu)勢?！?/p>

2.前測結(jié)果分析

通過分析前測結(jié)果，可以確定學(xué)生的起點(diǎn)：（1）對于等式的認(rèn)識不存在困難，對不等式感覺陌生;（2）思維停留在算術(shù)層面，本單元前半部分的“用字母表示數(shù)”沒能很好地幫助學(xué)生積累代數(shù)思維的經(jīng)驗(yàn);（3）對等量關(guān)系的認(rèn)識模糊，提取有困難;（4）對方程的優(yōu)越性沒有任何體驗(yàn)。

二、基于前測的教學(xué)路徑設(shè)定與實(shí)施

學(xué)生往往能依據(jù)方程的兩要素——“是等式”和“有未知數(shù)”從一組式子中識別出方程，但看圖列方程卻存在困難。這是由于教材編排的“方程的意義”“等式的性質(zhì)”等練習(xí)中出現(xiàn)過很多看圖列方程的題，這些題的要求都是“請你用方程表示下面的數(shù)量關(guān)系”或“根據(jù)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，并求出方程的解”。

“數(shù)量關(guān)系”和“等量關(guān)系”是有區(qū)別的，但教材對列方程的要求并沒有以“等量關(guān)系”的字眼出現(xiàn)。教材第一次真正出現(xiàn)等量關(guān)系的式子是在“實(shí)際問題與方程”的例1中，但為時已晚。

根據(jù)對教材的分析與方程的教學(xué)現(xiàn)狀，筆者將以“整體教學(xué)”的思想為指導(dǎo)，以“尋找等量關(guān)系”為抓手，突破方程意義教學(xué)的難點(diǎn)。

【教學(xué)片段1】平衡中初識等量關(guān)系，認(rèn)識等式和不等式

師（出示前測題第一組）：兩個天平的平衡情況是怎樣的？可以用怎樣的式子把天平的平衡情況表示出來？ 對于第（1）題，大家為什么用50+50=100這個式子來表示？

生1：因?yàn)樘炱绞瞧胶獾?，所以左右兩邊的質(zhì)量相等，一個50克的蘋果加上一個50克砝碼等于一個100克的砝碼質(zhì)量，所以我用50+50=100這個式子來表示。

師：是的，天平是平衡的，說明天平的左右兩邊質(zhì)量相等，我們就說左邊的質(zhì)量等于右邊的質(zhì)量，它們之間存在著相等的關(guān)系。這樣的相等關(guān)系在數(shù)學(xué)中就是等量關(guān)系，表示這種等量關(guān)系的算式“50+50=100”叫作等式。

師：第（2）題的天平的左右兩邊存在等量關(guān)系嗎？

生2：不存在的，因?yàn)樘炱绞莾A斜的。

師：還能用等式來表示天平的情況嗎？

生3：不能用“=”，要用“>”，x+50>100。

師：左邊比右邊重，就用x+50>100這個不等式來表示。這里為什么有個x？

生4：因?yàn)檫@個箱子上就寫著“x g”。

生5：箱子重量不知道，所以用“x ”來表示。

前測結(jié)果顯示，學(xué)生對于等式和不等式的認(rèn)識不存在困難，這個環(huán)節(jié)的教學(xué)目的在于通過引出等式和不等式，讓學(xué)生初步知道左右兩邊相等時就存在等量關(guān)系。

【教學(xué)片段2】天平中提取等量關(guān)系，觸摸方程“外衣”

師（出示前測題第二組）：這兩幅圖中平衡的天平都存在著什么關(guān)系？

生1：等量關(guān)系。

出示學(xué)生前測作業(yè)：

師：你能看懂這兩個算式嗎？

生2：他是把不知道的看作x，用算式來記錄左邊和右邊相等。

師：誰能具體說說這兩個等式的意思？（學(xué)生答略）

出示用算術(shù)方法解答的學(xué)生前測作業(yè)：

師：這兩個算式是什么意思？

生3：這是把母雞的重量和箱子的重量求出來了。

師：請比較這兩個算式與剛才表示等量關(guān)系的式子有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。說說這四個等式都是怎么寫出來的。

生4：圖4是把天平的左邊和右邊抄下來，圖5是先算出右邊的總數(shù)，再算出左邊的其中一個。

師：圖4就是今天要學(xué)習(xí)的方程。如果今天有位同學(xué)因?yàn)橛惺聸]來上學(xué)，你打算怎樣向他介紹方程？

師：對，含有未知數(shù)的等式叫作方程，方程可以像故事發(fā)展順序那樣用等式把事情表達(dá)出來，不知道的數(shù)據(jù)就用字母表示。

這個環(huán)節(jié)的定位是通過天平上顯而易見的等量關(guān)系來幫助學(xué)生初步認(rèn)識方程。借助前測中學(xué)生的作業(yè)，讓學(xué)生進(jìn)一步學(xué)會如何提取等量關(guān)系，并在方程與算術(shù)方法的對比中，發(fā)現(xiàn)相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，為學(xué)習(xí)方程的定義做好準(zhǔn)備。在教師有針對性的追問下，方程神秘的面紗被一層層揭開，學(xué)生在你一言我一語中基本能把方程的特征說完整。

【教學(xué)片段3】對比中優(yōu)化等量關(guān)系，感受方程內(nèi)涵

師（出示圖6-1、6-2、6-3）：這三幅圖中沒有天平了，你能把“心中的天平”拿出來嗎？獨(dú)立想一想，再跟同桌說一說。（學(xué)生活動）

師：誰能用手勢表示天平，并把圖上的物體放在天平上？（學(xué)生答略）

師：能用方程表示這三幅圖嗎？（學(xué)生寫方程）

師：對于圖6-1，有三種不同的列法，分別是325+x=1280、1280-x=325、1280-325=x，請大家對比哪種好。（學(xué)生答略）

師：心中的天平建好后，只要把天平上的重量按左右相等寫下來是最方便的方法。那么再來看看1280-325=x，為什么沒有人說這個好？

生1：這個不是照天平抄下來的，而且這個算式能直接算出結(jié)果，用x沒有什么用。

師：這個等式從特征上看也是個方程，但像剛才這位同學(xué)說的，x沒什么用處，不用也能算出來，這樣列式就沒有意義了。因此我們要讓x去參與運(yùn)算，方程才會有意義。

表面上看，這個環(huán)節(jié)是脫離天平找等量關(guān)系，但事實(shí)上是教師讓學(xué)生搬出“心中的天平”的形式來尋找等量關(guān)系，這個階段的“天平”是起到“扶”的作用。方程的優(yōu)勢在于順向思考問題，可以避開用算術(shù)方法的逆向思維，直擊方程的本質(zhì)。在六年級用方程解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題時，對于“求單位‘1是多少”的題目，就經(jīng)常有學(xué)生寫出諸如“120÷x=1/2”的方程，顯然這不是最優(yōu)方程。對于 “1280-325=x”是不是方程的疑問，筆者認(rèn)為是學(xué)生對方程本質(zhì)理解欠缺造成的。為此安排一個對比環(huán)節(jié)，促使學(xué)生在初步認(rèn)識方程的基礎(chǔ)上對方程的內(nèi)涵有進(jìn)一步的感受。

【教學(xué)片段4】體會算術(shù)思維向代數(shù)思維的過渡，突出方程的優(yōu)越性

師（出示前測題第三組）：這兩道題中沒有了天平，你能找到等量關(guān)系嗎？也可以試著放到“心中的天平”上。

生1：茶壺的2000毫升水-1杯200毫升的水=2個熱水瓶的水。

生2：如果把它們放到“心中的天平”上，應(yīng)該是1杯200毫升的水+2個熱水瓶的水=茶壺的2000毫升水。

師：兩位同學(xué)從不同角度找到了等量關(guān)系，第一位同學(xué)是按照事情發(fā)展順序來找等量關(guān)系的，第二位同學(xué)是根據(jù)心中的天平來列的，兩種等量關(guān)系都可以。第（2）題能找到等量關(guān)系嗎？

生3：一個數(shù)×5+3=378。

師：請大家用方程表示。

師（出示圖7）：課前有同學(xué)是這么做的。請大家對比一下這與剛剛列出的方程有什么不同？

生4：列方程時想法比較簡單，只要想好了等量關(guān)系，可以照抄。寫這兩道算式要難一些。

師：難在哪里？

生4： 378-3算出了什么還需要想一想。

師（出示圖8）：這位同學(xué)做得對嗎？

生5：不對，一個數(shù)的5倍加上3得到378，應(yīng)該是378先減去3才能得到一個數(shù)的5倍，再除以5才能算出這個數(shù)。

師：你的思路很清晰，但為什么不能先除以5呢？可以試著畫一幅線段圖來幫助理解（線段圖略）。方程確實(shí)比以前列算式的方法要簡單，題目怎么描述，等量關(guān)系就是怎樣的，不用顛來倒去的。方程還是有很大的優(yōu)勢呢。

前測題第三組比較復(fù)雜，目的是讓學(xué)生初步體會方程的優(yōu)越性，但是在前測中大部分的學(xué)生用算術(shù)方法解答，只有3位學(xué)生用了方程。這說明學(xué)生的算術(shù)思維需要教師的引領(lǐng)才能向代數(shù)思維過渡。教師在教學(xué)中先基于學(xué)生在前面幾個環(huán)節(jié)積累的找等量關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生找到等量關(guān)系并列方程，在學(xué)生正確列出方程后，再出示算術(shù)方法引導(dǎo)學(xué)生對比，特別抓住錯解來凸顯方程的優(yōu)勢。這樣一來，學(xué)生在學(xué)習(xí)方程的第一課就對方程有比較深刻的印象，為列方程解決問題打下基礎(chǔ)。

綜上，整節(jié)課以“尋找等量關(guān)系”為抓手，幫助學(xué)生切實(shí)理解方程的本質(zhì)含義，讓學(xué)生建立“方程就是照等量關(guān)系寫出來”的意識，從而順利過渡到用方程解決問題，切實(shí)感受方程的優(yōu)越性。

（責(zé)編 金 鈴）