桑婭潔 丁宏

【摘 要】 基于綜合難度系數(shù)模型，對2020年、2021年和2022年數(shù)學新高考Ⅰ卷進行比較研究. 結果表明2022年新高考Ⅰ卷在“知識含量”“思維方向”“認知水平”三個因素上的難度系數(shù)以及整份試卷的綜合難度系數(shù)均高于前兩年. 對教學提出以下建議：立足課標、回歸教材，做好整體規(guī)劃、注重多元聯(lián)系;把握本質、注重應用，培養(yǎng)高階思維、提升關鍵能力;厚實閱讀、豐富閱歷，發(fā)展核心素養(yǎng)、實現(xiàn)育人價值.

【關鍵詞】 數(shù)學高考;綜合難度;比較研究;教學建議

1 研究背景

2020年1月教育部考試中心發(fā)布了《中國高考評價體系》，集中回答了“為什么考、考什么、怎么考”的問題，為新時代高考內容改革提供了新的理論支撐和實踐指南. 繼2020年山東、海南實行新高考后，2021年湖南、湖北、河北、廣東、重慶、遼寧、福建、江蘇八省市進入新高考. 高考作為大規(guī)模高利害考試，試題難度在一定程度上影響著試題的質量和考試的公平性，最能引起社會的高度關注. 基于以上背景，本文對近三年數(shù)學新高考Ⅰ卷的試題綜合難度進行比較研究，以期清楚把握新高考的考查內容和考查要求，更好地輔教導學.

2 研究對象與研究工具

2.1 研究對象2020年新高考Ⅰ卷（使用地區(qū)：山東），2021年和2022年新高考Ⅰ卷（使用地區(qū)：山東、廣東、湖南、湖北、河北、江蘇、福建）.2.2 研究工具

本文主要參考武小鵬在借助鮑建生等人的綜合難度系數(shù)模型基礎上，構建的基于測試項目的綜合難度系數(shù)模型[1]. 該模型由7個因素構成，各因素的難度系數(shù)為di：di=∑mj=1nijkijn（i=1，2，3，4，5，6，7），其中，nij表示第i個因素中第j個水平的項目數(shù)量，kij表示第i個因素中第j個水平的權重，m為因素中水平的個數(shù)，n代表項目總數(shù)量. 整份試卷的綜合難度系數(shù)為D：D=∑7i=1diki，其中ki為第i個因素的權重系數(shù)[2]. 各因素及各因素水平的權重采用武小鵬基于AHP理論計算所得結果. 具體見表1.

2.3 編碼示例

按照表1中各因素不同水平的內涵描述，對三份試卷的試題進行編碼，其中“知識含量”因素中的知識點參照《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）中主題和單元的劃分. 編碼示例如下：

（2022年新高考Ⅰ卷第4題）南水北調工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫. 已知該水庫水位為海拔148.5 m時，相應水面的面積為140.0 km2;水位為海拔157.5 m時，相應水面的面積為180.0 km2. 將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5 m上升到157.5 m時，增加的水量約為（7≈2.65）

A. 1.0×109 m3??? B. 1.2×109 m3

C.? 1.4×109 m3??? D. 1.6×109 m3

此題編碼為生活背景A2，無參數(shù)B1，簡單數(shù)值運算C1（在運算水平上，題目只存在具體數(shù)值的加、減、乘、除、開方），簡單推理D1（推理過程只需2步：求出棱臺的高，代入棱臺體積公式計算出結果），單個知識點E1（立體幾何初步），順向思維F1（由已知條件，順向直接解決問題），運用G2（將棱臺的體積公式運用到實際問題的解決中去）.3 研究過程與研究結論

對2020年、2021年和2022年新高考Ⅰ卷的試題進行編碼和統(tǒng)計，并計算各因素難度系數(shù)和整份試卷綜合難度系數(shù)，得到表2.

從表2可以看出，這三份試卷的綜合難度系數(shù)由低到高依次為：2020年（D=6.59）<2021年（D=6.67）<2022年（D=7.11）.

在“是否含參”和“推理能力”兩個因素上，這三年試題的難度系數(shù)基本保持一致. 在“是否含參”方面，無參數(shù)的試題比重較大. 在“推理能力”方面，復雜推理的試題占比均達到60%以上，這與高考服務選才的基本功能相契合. 在“背景因素”上， 2020年難度系數(shù)較高，共有7道試題以生活或科學為背景，2021年和2022年試卷僅有2道生活背景的題目. 但在“運算水平”因素上，2021年和2022年試題的難度系數(shù)持平，大幅度高于2020年，可見高考加大了對數(shù)學運算素養(yǎng)的考查力度.

值得關注的是，2022年新高考Ⅰ卷在“知識含量”“思維方向”“認知水平”三個因素上的難度系數(shù)均遠高于前兩年. 下面分別對三份試卷在這三個因素上的分布繪制折線圖（圖1，圖2，圖3），并繪制各因素難度系數(shù)雷達圖（圖4），以便更清晰直觀地進行比較分析.

在一定程度上反映了三份試卷的難度構成偏向，總體來說，三份試卷均側重推理能力的考查.

通過對三份試卷基于綜合難度系數(shù)模型的對比分析，可以看出2022年新高考Ⅰ卷具有如下特點.

3.1 突出知識的聯(lián)系性

試卷以主干內容和重點知識構建試題的主體，在考查學生的基礎知識和基本技能的基礎上，注重在知識網絡的交匯點處命題，加大了知識的聯(lián)系性. 從圖1可以看出，在“知識含量”因素“大于等于三”水平上，2022年試題的占比遠高于前兩年. 例如2022年新高考Ⅰ卷第17題，集中考查了等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列的遞推公式、累乘法求數(shù)列通項、裂項法求數(shù)列的和以及不等關系. 又如第18題，綜合考查了三角恒等變換、解三角形和基本不等式，在不同的主題單元交匯處命題. 3.2 聚焦學生的思維品質

2022年新高考Ⅰ卷依托高考評價體系，對接課程標準，堅持素養(yǎng)導向、能力為重的命題原則，突出理性思維，注重考查學生的邏輯推理、信息加工、閱讀理解和批判性思維能力，加強對學生思維品質的考查. 例如第20題，考查學生在真實情境下從文字和圖表中獲取有效信息、對數(shù)據(jù)進行整理與加工、運用數(shù)學知識和思想方法分析和解決實際問題的能力，對提高學生學習數(shù)學的興趣、體會數(shù)學的應用價值有著積極的導向作用. 又如第7題，要求比較三個數(shù)之間的大小關系，顯然順向思維無法解決這一問題，需要對思維過程進行轉化，通過建立函數(shù)模型，將難以直接計算的數(shù)學問題轉化為函數(shù)與導數(shù)的問題. 此題深入考查了學生的批判性思維，充分展示了理性思維的廣度和深度.

3.3 強調學生的認知水平

試卷加大了對學生認知水平的考查力度，從圖3可以清晰看出2022年新高考Ⅰ卷在“認知水平”因素“分析”水平上的考查明顯加強，該因素難度系數(shù)也有所提高. “分析”水平需要在復雜環(huán)境中用數(shù)學眼光發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學思維找到問題解決路徑，用數(shù)學語言對結果進行嚴謹表述. 例如第22題，試題以指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)為載體，重點考查導數(shù)的應用. 從必備知識上看，考查導數(shù)的運算法則、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值最值、函數(shù)的圖象、函數(shù)的零點和等差數(shù)列的證明;從思想方法上看，側重對分類討論、函數(shù)與方程、化歸與轉化以及數(shù)形結合的考查;從學科素養(yǎng)上看，突出理性思維和數(shù)學探索;從關鍵能力上看，注重邏輯思維能力、運算求解能力和創(chuàng)新能力. 對學生的認知水平提出了較高要求.3.4 提升試卷的區(qū)分功能高考的基本功能是為不同類型的高校選拔出符合要求的新生，其選拔水平關系到高等教育質量乃至國家創(chuàng)新人才的培養(yǎng)質量[3]. 2022年新高考Ⅰ卷延續(xù)了前兩年對推理能力的考查，增強了試題的綜合性，關注學生的思維品質和認知水平，有效提升了試卷的區(qū)分功能，為服務選才提供了保障.4 教學建議4.1 立足課標、回歸教材，做好整體規(guī)劃、注重多元聯(lián)系課程標準、評價體系是高考試題命制的指導性綱要，教材是高考試題命制的母本. 高考無論怎么考，都是源于教材而高于教材. 在教學活動中，教師應準確把握課程目標、課程內容、高考考查內容和考查要求，回歸教材. 充分挖掘例題和習題的教育教學價值，關注一題多解、一題多變、一題多用、一題多練. 以數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向，抓住函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計等內容主線，從整體上把握教學內容，引導學生系統(tǒng)把握前后關聯(lián)知識之間的內在聯(lián)系，厘清基本概念，熟悉基本規(guī)律，熟練基本方法，將知識、能力、素養(yǎng)融會貫通，構建完整的知識結構、能力結構網絡.4.2 把握本質、注重應用，培養(yǎng)高階思維、提升關鍵能力

數(shù)學與人類生活和社會發(fā)展緊密關聯(lián)，數(shù)學的應用已滲透到現(xiàn)代社會及人們日常生活的各個方面[4]. 教師在教育教學過程中，應把握數(shù)學的本質，結合數(shù)學學科特點，加強情境設計，提出合適的問題，引發(fā)學生深入思考與合作交流，提高分析問題與解決問題的能力，實現(xiàn)從“解答題目”向“解決問題”的轉變. 加強理論聯(lián)系實際，引導學生注重學以致用，在真實問題的解決中培養(yǎng)信息獲取與加工、邏輯推理與論證、科學探究與構造、語言表達與輸出以及批判性思維等高階思維能力，提升邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數(shù)學建模能力和創(chuàng)新能力等數(shù)學關鍵能力. 4.3 厚實閱讀、豐富閱歷，發(fā)展核心素養(yǎng)、實現(xiàn)育人價值

數(shù)學教育承載著落實立德樹人根本任務、發(fā)展素質教育的功能[4]. 數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學學科育人價值和數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn). 通過課堂教學、校本課程、課后作業(yè)、試題命制、推薦閱讀等途徑，引導學生閱讀教材鏈接內容、數(shù)學史、數(shù)學文化等. 由于數(shù)學學科的特殊性，數(shù)學材料通常是文字語言、符號語言、圖形語言的交匯，且具有嚴謹?shù)倪壿嬓?，教師應指導學生掌握科學有效的數(shù)學閱讀方法. 通過數(shù)學教學活動的設置、數(shù)學教學場地的轉移、數(shù)學社會實踐等形式，豐富學生的數(shù)學閱歷. 借助厚實閱讀、豐富閱歷，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，提高自主學習和實踐的能力，提升創(chuàng)新意識，體會數(shù)學的應用價值、文化價值和科學價值，發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)，實現(xiàn)高中數(shù)學學科育人價值.

參考文獻

[1] 武小鵬，張怡. 中國和韓國高考數(shù)學試題綜合難度比較研究[J]. 數(shù)學教育學報，2018，27（03）：19-24.

[2] 武小鵬，孔企平. 基于AHP理論的數(shù)學高考試題綜合難度模型構建與應用[J]. 數(shù)學教育學報，2020，29（02）：29-34.

[3] 教育部考試中心編寫. 中國高考評價體系說明[M]. 北京：人民教育出版社，2019：13.

[4] 中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018：1.

作者簡介 桑婭潔（1984—），女，江蘇徐州人，中學一級教師;曾榮獲徐州市高中數(shù)學優(yōu)質課評比一等獎，江蘇省青年數(shù)學教師優(yōu)質課評比一等獎;主要研究高中數(shù)學教學.

丁宏（1963—），男，江蘇泰州人，中學高級教師;江蘇省教育評價委員會成員，徐州市中學數(shù)學理事會理事，徐州市教研室兼職教研員，徐州市高中數(shù)學學科中心組成員，曾參加2014年和2018年高考命題工作;主要研究高中數(shù)學教學和解題.