【摘 要】 本文主要從2022年新高考Ⅰ卷試題入手剖析，從試題考查立足點，分析試題考查出發(fā)點，得到試題考查本質(zhì)，以期對高三復(fù)習(xí)和新高考教學(xué)有所幫助.

【關(guān)鍵詞】 核心概念;建模能力;數(shù)學(xué)思想;整合應(yīng)用;數(shù)學(xué)思維

2022年新高考Ⅰ卷，考生普遍反映難，和21年新高考Ⅰ卷相比，去年試題易中難的比例是5∶3∶2，今年約為4∶3∶3，基礎(chǔ)試題的分值約有60分. 今年試題綜合性的考查要求較強，突出對關(guān)鍵能力的考查，和去年試題相比試題整體難度有所提升. 對學(xué)生各個方面的能力考查更全面.本文對今年全國新高考1卷的考點進行分析，考生覺得難，往往由于沒有養(yǎng)成良好數(shù)學(xué)思維而缺乏靈便方法，只講究機械做題，因此在對試卷進行分析后，筆者從核心概念、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)思想、整合應(yīng)用四個方面進行剖析.

1 核心概念

今年命題知識覆蓋面廣，突出了對數(shù)列、三角、立體幾何、概率統(tǒng)計、解析幾何以及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查，后面的六道解答題也是這六大版塊各一道題. 分數(shù)分配上，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（第7，10，12，15，22題共32分）、立幾（第4，8，9，19題共27分）、解幾（第11，14，16，21題共27分）、三角（第6，18題共17分）、概率統(tǒng)計（第5，20題共17分）、數(shù)列（第17題共10分）. 從試題形式上看，試卷在選擇題、填空題、解答題起始部分起點低、入口寬，從數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法入手，重點考查核心概念. 如試卷第1至5題、第9題、第10題、第13題、第14題、第17至19題，都是有注重考查基礎(chǔ)知識、回歸教材的特點. 例1 （2022年新高考Ⅰ卷第2題）若i（1-z）=1，則z+=（? ）.A.-2?? B. -1?? C. 1?? D. 2

分析 這道題考查對共軛復(fù)數(shù)的定義核心概念的理解，利用復(fù)數(shù)的除法可求z，從而可求z+.由題設(shè)有1-z=1i=ii2=-i，得z=1+i，故z+=（1+i）+（1-i）=2. 故選D.

例2 （2022年新高考Ⅰ卷第5題）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（? ）.

A.16?? B. 13?? C. 12?? D. 23

分析 這道題考查學(xué)生對古典概型核心概念，互質(zhì)的定義、通過列舉法即可得解.

從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有C27=21種不同的取法，

若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：（2，4），（2，6），（2，8），（3，6），（4，6），（4，8），（6，8），共7種，

故所求概率P=21-721=23.

故選D.

另外，第10題考查極值點、零點的核心概念;第11題考查拋物線的定義核心概念、準(zhǔn)線方程的核心概念;第12題考查偶函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)的核心概念;第13題考查展開式中項的系數(shù)的核心概念;第19題考查點到面的距離以及二面角的核心概念;第17題和第22題都考查等差數(shù)列的核心概念;第20題考查的是獨立性檢驗核心概念.

2 數(shù)學(xué)建模

根據(jù)高考評價體系的整體框架，結(jié)合《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的學(xué)科核心素養(yǎng)，高考對數(shù)學(xué)建模能力的考查力度在今年試卷中有較大提升. 今年試題難度大，就是因為加大了對數(shù)學(xué)建模學(xué)科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的考查力度.

例3 （2022年新高考Ⅰ卷第4題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5 m時，相應(yīng)水面的面積為140.0 km2;水位為海拔157.5 m時，相應(yīng)水面的面積為180.0 km2，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5 m上升到157.5 m時，增加的水量約為（7≈2.65）（? ）.

A.1.0×109 m3??? B. 1.2×109 m3

C. 1.4×109 m3?? D. 1.6×109 m3

分析 考查臺體的體積計算，但并沒有直接考查，而是以我國的重大建設(shè)成就“南水北調(diào)”工程為素材，此知識融入到實際生活背景中，融合考查考生的基本空間想象能力和掌握棱臺的體積公式的運算能力;將考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題來解決.

依題意，可以建立一個棱臺模型，如圖1，可知棱臺的高為MN=157.5-148.5=9（m），所以增加的水量即為棱臺的體積V.

棱臺上底面積S=140.0 km2=140×106 m2，下底面積S′=180.0 km2=180×106 m2，所以V=13h（S+S′+SS′）=13×9×（140×106+180×106+140×180×1012）=3×（320+607）×106≈（96+18×2.65）×107=1.437×109≈1.4×109（m3）.故選C.

例4 （2022年新高考Ⅰ卷第7題）設(shè)a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，則（? ）.A.a

分析 考生根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)模型f（x）=ln（1+x）-x， 導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定a，b，c的大小.

設(shè)f（x）=ln（1+x）-x（x>-1），因為f′（x）=11+x-1=-x1+x，當(dāng)x∈（-1，0）時，f′（x）>0，當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）<0，所以函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x在（0，+∞）上單調(diào)遞減，在（-1，0）上單調(diào)遞增，所以f19ln109=-ln0.9，即b>c，所以f-110

設(shè)g（x）=xex+ln（1-x）（0

當(dāng)0

當(dāng)2-10，函數(shù)h（x）=ex（x2-1）+1單調(diào)遞增;

又h（0）=0，所以當(dāng)00，函數(shù)g（x）=xex+ln（1-x）單調(diào)遞增，所以g（0.1）>g（0）=0，即0.1e0.1>-ln0.9，所以a>c.故選C.

本題主要考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，涉及到構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是一道中檔題.學(xué)生能不能構(gòu)造f（x）=ln（1+x）-x函數(shù)模型是解決這道題的關(guān)鍵.

另外，第9題通過建立正方體模型，對正方體中異面直線和線面角的考查，無需計算就能得分.

3 數(shù)學(xué)思想

本試卷的數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)化整為零、積零為整兩個方面，注重條理、邏輯，能訓(xùn)練學(xué)生的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置，很多方法來源對數(shù)學(xué)思想的深層次理解.

例5 （2022年新高考Ⅰ卷第22題）寫出與圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一條直線的方程.分析 這是一道結(jié)論開放型試題，要求已知兩圓的公切線方程，通過數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想可快速寫出其中的一條公切線方程. 如圖2，先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.

圓x2+y2=1的圓心為O（0，0），半徑為1，圓（x-3）2+（y-4）2=16的圓心O1為（3，4），半徑為4，兩圓圓心距為32+42=5，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切.

當(dāng)切線為l時，因為kOO1=43，所以kl=-34.設(shè)方程為y=-34x+t（t>0），O到l的距離d=t1+916=1，解得t=54，所以l的方程為y=-34x+54.

當(dāng)切線為m時，設(shè)直線方程為kx+y+p=0，其中p>0，k<0.

由題意p1+k2=1，

3k+4+p1+k2=4，解得k=-724，p=2524，故y=724x-2524.

當(dāng)切線為n時，易知切線方程為x=-1，故答案為y=-34x+54或y=724x-2524或x=-1.

例6 （2022年新高考Ⅰ卷第22題）已知函數(shù)f（x）=ex-ax和g（x）=ax-lnx有相同的最小值.（1）求a;

（2）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等可求a.注重分類討論數(shù)學(xué)思想;

（2）根據(jù)（1）可得當(dāng)b>1時， ex-x=b的解的個數(shù)、x-lnx=b的解的個數(shù)均為2，構(gòu)建新函數(shù)h（x）=ex+lnx-2x，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個零點且可得f（x），g（x）的大小關(guān)系，根據(jù)存在直線y=b與曲線y=f（x）、y=g（x）有三個不同的交點可得b的取值，再根據(jù)兩類方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.考查函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想.

解 （1）f（x）=ex-ax的定義域為R，而f′（x）=ex-a，

若a≤0，則f′（x）>0，此時f（x）無最小值，故a>0.

g（x）=ax-lnx的定義域為（0，+∞），而g′（x）=a-1x=ax-1x.

當(dāng)xlna時，f′（x）>0，故f（x）在（lna，+∞）上為增函數(shù)，故f（x）min=f（lna）=a-alna.

當(dāng)0

當(dāng)x>1a時，g′（x）>0，故g（x）在1a，+∞上增函數(shù)，

故g（x）min=g1a=1-ln1a.

因為f（x）=ex-ax和g（x）=ax-lnx有相同的最小值，

故1-ln1a=a-alna，整理得到a-11+a=lna，其中a>0，

設(shè)g（a）=a-11+a-lna，a>0，則g′（a）=2（1+a）2-1a=-a2-1a（1+a）2≤0，故g（a）為（0，+∞）上的減函數(shù)，而g（1）=0，故g（a）=0的唯一解為a=1，故1-a1+a=lna的解為a=1.

綜上，a=1.

（2）由（1）可得f（x）=ex-x和g（x）=x-lnx的最小值為1-ln1=1-ln11=1.

當(dāng)b>1時，考慮ex-x=b的解的個數(shù)、x-lnx=b的解的個數(shù).

設(shè)S（x）=ex-x-b，S′（x）=ex-1，

當(dāng)x<0時，S′（x）<0，當(dāng)x>0時，S′（x）>0，

故S（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)，所以S（x）min=S（0）=1-b<0.

而S（-b）=e-b>0，S（b）=eb-2b，

設(shè)u（b）=eb-2b，其中b>1，則u′（b）=eb-2>0，

故u（b）在（1，+∞）上為增函數(shù)，故u（b）>u（1）=e-2>0，T′（x）<0.

故S（b）>0，故S（x）=ex-x-b有兩個不同的零點，即ex-x=b的解的個數(shù)為2.

設(shè)T（x）=x-lnx-b，T′（x）=x-1x，

當(dāng)01時，T′（x）>0，故T（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，

所以T（x）min=T（1）=1-b<0.

而T（e-b）=e-b>0，T（eb）=eb-2b>0，

T（x）=x-lnx-b有兩個不同的零點即x-lnx=b的解的個數(shù)為2.

當(dāng)b=1，由（1）討論可得x-lnx=b，ex-x=b僅有一個零點.

當(dāng)b<1時，由（1）討論可得x-lnx=b，ex-x=b均無零點.

故若存在直線y=b與曲線y=f（x），y=g（x）有三個不同的交點，則b>1.

設(shè)h（x）=ex+lnx-2x，其中x>0，故h′（x）=ex+1x-2.

設(shè)s（x）=ex-x-1，x>0，則s′（x）=ex-1>0，

故s（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，故s（x）>s（0）=0即ex>x+1.

所以h′（x）>x+1x-1≥2-1>0，所以h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，

而h（1）=e-2>0，h1e3=e1e3-3-2e3

故h（x）在（0，+∞）上有且只有一個零點x0，1e3

當(dāng)0

當(dāng)x>x0時，h（x）>0即ex-x>x-lnx即f（x）>g（x），

因此若存在直線y=b與曲線y=f（x），y=g（x）有三個不同交點，故b=f（x0）=g（x0）>1，此時ex-x=b有兩個不同的零點x1，x0（x1<0

又ex1-x1=b可化為ex1=x1+b，即x1-ln（x1+b）=0即（x1+b）-ln（x1+b）-b=0，故x1+b為方程x-lnx=b的解，同理x0+b也為方程x-lnx=b的解，所以{x1，x0}={x0-b，x4-b}，而b>1，故x0=x4-b，x1=x0-b，即x1+x4=2x0.

另外，17題（數(shù)列）數(shù)列求通項考到了常用的累乘法，第二問考到了數(shù)列求和中的裂項相消法;18題（三角）考查了函數(shù)與方程數(shù)學(xué)思想，第二問求最值轉(zhuǎn)化為角的函數(shù)，用基本不等式求最值;19題（立體幾何）、21題（解析幾何）考查了數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想、轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).4 整合應(yīng)用

今年高考題試卷重視難度和思維的層次性，數(shù)學(xué)概念的理解、基本數(shù)學(xué)方法的掌握、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成等與思維水平有高度的關(guān)聯(lián)性，給學(xué)生更廣闊的思考空間、更多的思考角度以及基于自己認知水平的發(fā)現(xiàn)和探索解題方法的不同平臺，具有高度整合性和應(yīng)用性.例7 （2022年新高考Ⅰ卷第18題）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.

（1）若C=2π3，求B;

（2）求a2+b2c2的最小值.

分析 此題不是常規(guī)地利用正余弦定理與面積公式求解三角形，而是考查了函數(shù)與方程思想. 第二問求最值轉(zhuǎn)化為角的函數(shù)，用基本不等式求最值或構(gòu)造函數(shù)求解最值. 此題也不是單純地考查運算能力，還要求具有很強的分析問題的能力，具有高度整合性. 所以考生備考時應(yīng)注意內(nèi)外角平分線定理、托勒密定理、斯特瓦爾特定理、米勒定理的證明，加強正余弦定理三角公式的靈活運用，加強對圖形進行分解、組合等知識的整合.

（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將cosA1+sinA=sin2B1+cos2B化成cos（A+B）=sinB，再結(jié)合0

詳解 （1）因為cosA1+sinA=sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，即sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B）=-cosC=12.

而0

（2）由（1）知，sinB=-cosC>0，所以π2

所以C=π2+B，即有A=π2-2B.

所以a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=cos22B+1-cos2Bcos2B

=（2cos2B-1）2+1-cos2Bcos2B=4cos2B+2cos2B-5≥28-5=42-5.

例8 （2022年新高考Ⅰ卷第20題） 一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好病例組4060對照組1090

（1）能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”.

P（B|A）P（|A）與P（B|）P（|）的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R.

（?。┳C明：R=P（A|B）P（|B）·P（|）P（A|）;（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P（A|B），P（A|）的估計值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計值.

附K2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d），

P（K2≥k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

分析 以獨立性檢驗和條件概率為原型，設(shè)計概率統(tǒng)計應(yīng)用題，也以真實的某種疾病與衛(wèi)生習(xí)慣的關(guān)系情境來考查，這些都體現(xiàn)出高考命題注重應(yīng)用性. 考查考生對獨立性檢驗、條件概率、數(shù)據(jù)處理等知識的理解和應(yīng)用，引導(dǎo)考生重視數(shù)學(xué)實驗和數(shù)學(xué)的應(yīng)用. （1）由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出K2的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異;（2）（?。?根據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即可完成證明;（ⅱ）根據(jù)（?。┙Y(jié)合已知數(shù)據(jù)求R.

詳解

由已知K2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）=200（40×90-60×10）250×150×100×100=24，又P（K2≥6.635）=0.01，24>6.635，

所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

（?。┮驗镽=P（B|A）P（|A）·P（|）P（B|）=P（AB）P（A）·P（A）P（A）·P（）P（）·P（）P（B），

所以R=P（AB）P（B）·P（B）P（B）·P（）P（）·P（）P（A），

所以R=P（A|B）P（|B）·P（|）P（A|）.

（ⅱ）由已知P（A|B）=40100，P（A|）=10100，

又P（|B）=60100，P（|）=90100，

所以R=P（A|B）P（|B）·P（|）P（A|）=6.

另外，例如19題立體幾何，第1問考查等體積法求點到面的距離，重視往年文科考題，對“點到面的距離”的解法感到陌生;第21題解析幾何也是一個整合，與2009年遼寧高考數(shù)學(xué)試題和2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題有相同點. 這些既有整合，也突出知識應(yīng)用.

今年2022新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題體現(xiàn)了從“知識立意”到“能力立意”，再到“素養(yǎng)導(dǎo)向”，從“解題”到“解決問題”的思維躍升，從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，已使單純的知識記憶和刷題失效. 所以高三備考應(yīng)注重養(yǎng)成獨立思考和深入思考的習(xí)慣，發(fā)展思維的全面性與深刻性， 要能在思路受阻時進行靈活地調(diào)整與變通，使其意志品質(zhì)和思維品質(zhì)得到培養(yǎng)和提升.

參考文獻

[1] 2022新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)卷試題，2022.6.

作者簡介 潘冬麗（1989—），女，廣西南寧人，碩士，高中數(shù)學(xué)一級教師;研究方向為課堂教學(xué)研究.