譚天眾 王喜建

【摘 要】 本文對(duì)2022年新高考Ⅰ卷比大小的選擇題進(jìn)行多角度探究，給出一類含有對(duì)數(shù)與指數(shù)的比較大小題型的一般方法，以期幫助高三師生備考，提高復(fù)習(xí)效率.

【關(guān)鍵詞】 比較大小;放縮;構(gòu)造;泰勒展開式

1 試題呈現(xiàn)與分析

（2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷第7題）設(shè)a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，則

A.a

試題分析 本題以對(duì)數(shù)與指數(shù)為載體，考查實(shí)數(shù)的比較大小.該類題型往往題干簡(jiǎn)潔，但是綜合性極強(qiáng)，綜合考查對(duì)數(shù)指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).側(cè)重考查邏輯推理素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，對(duì)學(xué)生的思維能力與綜合運(yùn)用能力提出比較高的要求.本題有多種解題角度，不同考生會(huì)選擇不同的切入點(diǎn)，是一道值得深入研究的好題.

2 多角度探究

因?yàn)閍=0.1e0.1，b=19=0.10.9=0.11-0.1，c=-ln0.9=-ln（1-0.1），故可構(gòu)造函數(shù)f（x）=xex，g（x）=x1-x，h（x）=-ln（1-x），則a=f（0.1），b=g（0.1），c=h（0.1）. 比較f（x），g（x），h（x）的大小關(guān)系，可有不同的角度.

角度1 放縮法

由經(jīng)典切線不等式ex≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取得等號(hào)，把x換成-x，從而有e-x≥-x+1，即1ex≥-x+1，當(dāng)x∈（0，0.1]時(shí)，有11-x>ex，從而有x1-x>xex， 即g（x）>f（x）.下證x（x+1）>-ln（1-x），當(dāng)x∈（0，0.1]時(shí)成立. 令p（x）=x（x+1）+ln（1-x），則p′（x）=2x+1-11-x=x（1-2x）1-x>0，當(dāng)x∈（0，0.1]時(shí)成立，所以p（x）單調(diào)遞增，所以p（x）>p（0）=0.由上面分析得到，h（x）

評(píng)注 本解法先根據(jù)需要比較的數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)，建構(gòu)出經(jīng)典切線不等式模型，需要考生對(duì)經(jīng)典切線不等式相當(dāng)熟悉，并能夠靈活運(yùn)用，運(yùn)用經(jīng)典切線不等式解答比較大小的題目是個(gè)熱點(diǎn)問題.常見經(jīng)典切線不等式有（以下圖象由幾何畫板完成）：圖（1）ex≥x+1，圖（2）ex≥ex，圖（3）ln（1+x）≤x，圖（4）lnx≤x-1，圖（5）lnx≤xe.

（2021年廣州一模第8題）已知e≈2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)a=3-3e，b=2-2e，c=e2-1-ln2，則

A.a

解析 設(shè)f（x）=x-xe，求導(dǎo)易得f（x）在[2，3]上單調(diào)遞減，所以ab，選A.

角度2 函數(shù)單調(diào)性

f（x）-g（x）=x1-x[（1-x）ex-1]，令p（x）=（1-x）ex-1，當(dāng)x∈（0，0.1]時(shí)，p′（x）=-xex<0，所以p（x）在（0，0.1]上單調(diào)遞減，p（x）0，所以m（x）在（0，0.1]上單調(diào)遞增，所以m（x）>m（0）=0，從而q′（x）>0，所以當(dāng)x∈（0，0.1]時(shí)，q（x）在（0，0.1]上單調(diào)遞增，從而q（x）>q（0）=0，于是f（x）>h（x）.綜上，h（x）

評(píng)注 本解法利用導(dǎo)數(shù)確定構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，從而比較實(shí)數(shù)的大小，為解決該類問題的通性通法，需要考生根據(jù)題目構(gòu)造出合適的函數(shù)，熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具.角度3 函數(shù)增長(zhǎng)快慢

該角度來源于以下直觀：如果兩個(gè)物體的初速度相同，則加速度大的物體后來速度更大.

引理 若f（x），g（x）在[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，且f（a）=g（a），f′（x）>g′（x），當(dāng)x∈（a，b]時(shí)恒成立，則f（x）>g（x），當(dāng)x∈（a，b]時(shí)恒成立.

證明 令h（x）=f（x）-g（x），則h′（x）=f′（x）-g′（x）>0，所以h（x）在[a，b]單調(diào)遞增，所以h（x）>h（a）=0，f（x）>g（x）當(dāng)x∈（a，b]時(shí)恒成立，證畢.表1

f′（x）=（x+1）ex，f′（0）=1f″（x）=（x+2）ex，f″（0）=2f（x）=（x+3）ex，f（0）=3

g′（x）=1（1-x）2，g′（0）=1g″（x）=2（1-x）3，g″（0）=2

g（x）=6（1-x）4，g（0）=6

h′（x）=11-x，h′（0）=1h″（x）=1（1-x）2，h″（0）=1

h（x）=2（1-x）3，h（0）=2

由表（1），當(dāng)x∈（0，0.1]時(shí)，g（x）>g（0）=6>（0.1+3）e0.1≥f（x），且g″（0）=f″（0），根據(jù)引理得到g″（x）>f″（x），又g′（0）=f′（0），根據(jù)引理得到g′（x）>f′（x），又g（0）=f（0），根據(jù)引理得到g（x）>f（x）.同理可以得到f（x）>h（x），g（x）>h（x）.綜上，h（x）

評(píng)注 本解法通過物理直觀，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，列成表格可以快速得到答案.要求考生能夠有很好的物理直觀，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，需要較高的綜合運(yùn)用能力.

角度4 “高觀點(diǎn)”

先給出高等數(shù)學(xué)中的泰勒展開式定理[1]：對(duì)于函數(shù)f（x），設(shè)其在點(diǎn)x0處的某個(gè)鄰域（x0-d，x0+d）存在直到n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于任意x∈（x0-d，x0+d）有

f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（x0）（x-x0）22！+…+f（n）（x0）（x-x0）nn！+o（（x-x0）n），其中o（（x-x0）n）為皮亞諾余項(xiàng)（為無窮小量），特別地，當(dāng)x0=0時(shí)，有

f（x）=f（0）+f′（0）x+f″（0）x22！+…+f（n）（0）xnn！+o（xn）.

由表（1），可得f（0.1）≈0+1×0.1+2×0.122！+3×0.133！，

g（0.1）≈0+1×0.1+2×0.122！+6×0.133！，

h（0.1）≈0+1×0.1+1×0.122！+2×0.133！.

對(duì)比三個(gè)式子，很容易得到h（0.1）

評(píng)注 本解法利用高等數(shù)學(xué)的泰勒展開式對(duì)a，b，c分別進(jìn)行估算，簡(jiǎn)單明了，過程極其簡(jiǎn)潔！適當(dāng)借助高等數(shù)學(xué)知識(shí)，使得解題效率更高.3 真題回顧

（2021年高考全國(guó)乙卷理科第12題）設(shè)a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.04-1，則（? ）.

A.a

C.b

（2020年全國(guó)Ⅰ卷理科第12題）若2a+log2a=4b+2log4b，則（? ）.

A. a>2b??? B. a<2bC. a>b2???? D. a

（2020年全國(guó)Ⅲ卷理科第12題）已知55<84，134<85.設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（? ）.

A.a

（2017年全國(guó)Ⅰ卷理科第11題）設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x=3y=5z，則（? ）.

A.2x<3y<5z?? B.5z<2x<3yC.3y<5z<2x?? D.3y<2x<5z

以上題型都是含有指、對(duì)、冪函數(shù)值比較大小的問題，都可以根據(jù)題目條件構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，利用放縮、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)增長(zhǎng)快慢、泰勒展開式、構(gòu)造中間值等方法求解，此處不一一作答.4 備考建議

與指、對(duì)、冪函數(shù)值相關(guān)的比較大小題型，往往集各個(gè)知識(shí)點(diǎn)于一身，比如指、對(duì)、冪運(yùn)算性質(zhì)，函數(shù)分布規(guī)律，函數(shù)單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)，不等式等，綜合性較強(qiáng)，考查考生的基本知識(shí)與基本技能，對(duì)考生的思維能力與綜合運(yùn)用能力提出較高要求.解題關(guān)鍵是直接構(gòu)造函數(shù)、或作差（作商）后構(gòu)造函數(shù)、利用函數(shù)圖象性質(zhì)以及運(yùn)算性質(zhì)解題. 對(duì)該專題復(fù)習(xí)提出三個(gè)建議：

4.1 重視指、對(duì)、冪運(yùn)算性質(zhì)及其函數(shù)性質(zhì)教學(xué)萬變不離其宗，該題型背后的知識(shí)點(diǎn)是作為高中階段重要的三種函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與運(yùn)算規(guī)律，以及三種函數(shù)的圖象性質(zhì)，所以關(guān)注試題背后的知識(shí)點(diǎn)是備考的原則.備考的方式可以是：選用歷年高考題進(jìn)行一題多解、一題多思、一題多變教學(xué)，在解題教學(xué)中鞏固知識(shí)點(diǎn)，爭(zhēng)取做一題得一類.

4.2 重視函數(shù)構(gòu)造過程教學(xué)

該類題目的解答中有很關(guān)鍵的一環(huán)是構(gòu)造出合適的函數(shù)，然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究，在日常教學(xué)中應(yīng)重視函數(shù)構(gòu)造過程，展示思維形成過程，函數(shù)憑空而降是教學(xué)大忌，應(yīng)該盡量避免.4.3 輔助高等觀點(diǎn)教學(xué)

泰勒展開式是賦小值型比較大小題目的強(qiáng)有力工具，比如2021年全國(guó)高考乙卷理科第12題也可以用泰勒展開式進(jìn)行解答，對(duì)于一些學(xué)有余力的學(xué)生，可以要求其掌握，熟練掌握可以使得解題更便捷.

參考文獻(xiàn)

[1] 肖正昌.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）[M]. 廣州：廣東科技出版社，1999.

[2] 王勇強(qiáng)，吳凱.高觀點(diǎn)下的三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)綜合的導(dǎo)數(shù)問題初探[J].數(shù)學(xué)通訊.2021（09）：45-51.[3] 閆偉.多視角探究一道2021年高考數(shù)學(xué)選擇題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志.2021（07）：51-54.

作者簡(jiǎn)介 譚天眾（1982—），男，廣東懷集人，碩士，中學(xué)一級(jí)教師，多次被評(píng)為中山市優(yōu)秀教師;研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué);多篇論文發(fā)表.

王喜建（1980—），男，廣東惠州人，碩士，五邑大學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)副教授，2010年歐美留學(xué)歸國(guó)人員，江門市高層人才;研究領(lǐng)域?yàn)橛?jì)算數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育;主持多項(xiàng)省部級(jí)課題，多次榮獲廣東省教育廳和五邑大學(xué)教學(xué)成果獎(jiǎng);公開發(fā)表論文多篇.