李歡 祝麗萍

【摘要】本文試著遵循波利亞“怎樣解題表”的基本理念，讓學(xué)生通過經(jīng)歷系列問題的解題思路探究過程，領(lǐng)悟蘊含在其中的“歸納”“類比”“一般化”“特殊化”“差異分析”等基本的數(shù)學(xué)思想方法，培育學(xué)生“透過現(xiàn)象，揭示本質(zhì)”的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】類比思想;數(shù)學(xué)教學(xué);抽象思維

1 問題的提出

滬教版《普通高中課程標(biāo)準實驗教科書》數(shù)學(xué)必修三第10章P9習(xí)題B組第1題是：

“1個平面把空間分成2部分，2個平面把空間分成3部分或4部分，3個平面把空間分成幾部分？”由于學(xué)生對1維、2維及3維空間非常熟悉，所以很容易得出答案.但若將題目稍做改動，即“4個平面把空間分成幾部分？”許多學(xué)生便對“4個平面最多把空間分成幾部分”這一情況束手無措.其實這正是著名的幾何學(xué)家斯坦納提出的的經(jīng)典問題“n個平面最多可將空間分割成多少部分？”的特殊情況.

鑒于“平面分割空間問題”在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中并不是初次出現(xiàn)，而是有一系列類似問題，例如“點分割直線問題”“直線分割平面問題”等，但教材中沒有系統(tǒng)的將類似問題整合，未給出研究系列問題的具體方法.

利用初等方法得出：

點最多能將直線分割的部分數(shù)：f1（n）=C0n+C1n，

直線最多能將平面分割的部分數(shù)：f2（n）=C0n+C1n+C2n，

平面最多能將空間分割的部分數(shù)：f3（n）=C0n+C1n+C2n+C3n.

最后猜想將結(jié)論推廣至任意正整數(shù)維空間.

2 實踐波利亞“怎樣解題表”的探究式解題教學(xué)實錄

2.1 直線分割平面問題

師 我們對n個點最多能將一條直線分為（n+1）個部分這個結(jié)論比較清楚，那么，上述問題是否可以進行推廣呢？

生1 可以！

問題1 n條直線最多能將一個平面分成多少部分呢？

師 “類比是發(fā)現(xiàn)問題的開拓者”，同學(xué)們提出了一個很好的問題，但是n條直線滿足什么條件才能將一個平面分成的部分最多呢？

生2 ①任意兩條直線相交;②沒有兩條以上的直線通過同一點.

師 很好！為了方便敘述問題，記平面被直線最多分成的部分數(shù)為f2（n），如何計算f2（n）？

生3 可以先將問題特殊化，通過畫圖可直觀得出當(dāng)n=1，2，3…時，f2（1）=2，f2（2）=4，f2（3）=7…

師 非常棒！但我們對3條直線分割平面問題比較陌生，所以分析一下“7”是怎么得出的？

生茫然……

師 3條直線相交最復(fù)雜的情況便是交成一個三角形（圖1），可以從有限部分與無限部分進行觀察？

圖1

生4 有限部分有1個，就是三角形的內(nèi)部（①）;無限部分中與三角形有公共頂點有3個部分（②③④）;與三角形有公共邊有3個部分（⑤⑥⑦）.把這些分割部分的數(shù)目加起來，即1+3+3=7，7個部分就是這樣來的.

師 你能否仿照上述分析，回答4條直線最多可將一個平面分成幾部分？

生5 1（1個四邊形）+4（4個公共邊）+6（6個公共頂點）=11.

師 為你點贊！通過類似地分析，相信同學(xué)們也能解決5條、6條等更多直線分割平面最多的部分數(shù).但隨著直線條數(shù)增多，畫圖難度就會加大.因此，你是否可以找到一般化的規(guī)律？即你能否一眼看出問題1的答案？

生6 我將已解決的問題匯總成表1，

通過觀察表格，我發(fā)現(xiàn)n條直線最多能將平面分成（1+C1n+C2n）個部分，化簡得f2（n）=n2+n+22.由組合知識知“1”指一個平面n邊圖形（面）;“C1n”指n條直線（邊）;n條直線的交點個數(shù)（點）為“C2n=n（n-1）2”.

師 很棒！在規(guī)律中尋找數(shù)值的特點，再結(jié)合組合知識，得到直線分割平面最多部分數(shù)的公式.但這只是合理的猜測，現(xiàn)在我們還需要證明它.

生7 數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時，f2（1）=2=12+1+22.假設(shè)n=k（k≥1）時，結(jié)論成立，即f2（k）=k2+k+22.但當(dāng)n=k+1時，不知道如何構(gòu)造f2（k+1）與f2（k）之間的等式……

師 我們可以從f2（k）和f2（k+1）本身的幾何意義是什么著手，尋找它們之間的關(guān)系，也就是，

問題2 當(dāng)直線個數(shù)由k增加到k+1時，分割平面的部分數(shù)增加多少？

師生 第k+1條直線與前k條直線相交且交點不重合，即有k個交點，第k+1條直線被k個交點分成了k+1段，每一段將它穿過的平面區(qū)域一分為二，即增加了k+1個部分.

因此，得出：f2（k+1）=f2（k）+k+1.

生8 原來證明問題的關(guān)鍵在于，多了一條（第k+1條）直線的k個點將直線分成了k+1個部分！

因此，當(dāng)n=k+1時，f2（k+1）=f2（k）+k+1=（k+1）2+（k+1）+22.所以結(jié)論成立.證明完成！

2.2 平面分割空間問題

師 同學(xué)們類比“點分割直線問題”發(fā)現(xiàn)并解決了“直線分割平面問題”，自然而然地，類比“直線分割平面問題”，你又能提出什么問題呢？

生9 從研究2維空間轉(zhuǎn)向3維空間的研究，

問題3 n個平面最多能將一個空間分成多少部分？

生10 觀察f3（1），f3（2），f3（3）的結(jié)果，我猜想平面分割空間最多部分數(shù)有“2的方冪”的規(guī)律！

師 你的猜想很好！那么如何證明這個猜想呢？

生11 可以繼續(xù)利用“特殊值法”，計算當(dāng)n=4時，f3（4）是否等于24？

師 那么如何計算4個平面最多把一個空間分成多少部分呢？

生12 剛才我們分析了3條直線分割平面最多部分數(shù)的情況，在平面中交成一個三角形，而三角形類比到空間中就是四面體（圖2）.從圖中觀察到唯一的一個有限部分是四面體的內(nèi)部;無限部分中與四面體有公共頂點（有4個部分）;與四面體有公共棱長（有6個部分）;與四面體有公共面（有4個部分）.所以，1+4+6+4=15.而f3（4）=15≠24.說明剛才的猜想是錯的！

師 很好！類比分析f2（3）的圖形及組成部分得出f3（4），那你是否可以利用問題1的方法求出f3（n）？

生13 當(dāng)我仿照分析5個平面最多可將空間分割成多少部分時，我發(fā)現(xiàn)這一問題在平面上的類比圖形是什么？是5條直線還是4條直線分割平面？又如何類比？不容易想清楚了.說明不能利用問題1方法歸納猜想公式.

師 非常棒，那我們只能源于以前的經(jīng)驗和知識另辟新徑！由于孤立的問題有時候難以解決，解決系列問題有時要比解決孤立問題更好入手.因此，現(xiàn)在我們把極端情況（有零個分割元素的情況）也考慮在內(nèi)，那么被“分割”成的部分數(shù)都是1;零個點最多把直線分成1個部分;零條直線最多把平面分成1個部分;零個平面最多把空間分成1個部分.記直線被點最多分成的部分數(shù)為f1（n）.

師 整體觀察上表（表3）中已解決的問題，看看表中的數(shù)字間有什么聯(lián)系？

生14 我發(fā)現(xiàn)表格中呈“階梯型數(shù)值”有規(guī)律，例如（表4）聯(lián)想到3+4=7，7+8=15.

師 這是一個獨特的聯(lián)系.也就是說表中已出現(xiàn)的每個數(shù)都可以由它“頭上”的數(shù)與“左肩”上的數(shù)相加而得到.可為什么會有這么神奇的規(guī)律呢，能否用幾何意義分析？比如這里的“8”代表什么？“7”又有何意義？

生15 “8”指3個平面分空間最多為8個部分;

師生 “7”指在再添加一個平面（第4個平面），第4個平面與原來的3個平面都相交，并且又不過原來3個平面的交點，從而不過原來任兩平面的交線，這就交出了3條新直線，這3條新直線把新添加的平面分為7個部分（就是表3中的“7”），每一部分把它穿過的（由前3個平面分成的）區(qū)域一分為二，因此“空間分割”增加了7個部分，而原有8個部分，這就是15=7+8的邏輯推理過程.

生16 通過類比、歸納還可以得到遞推公式：

f2（n）=f2（n-1）+f1（n-1）. ?（1）

f3（n）=f3（n-1）+f2（n-1）.? （2）

師 你觀察得可真仔細，為你點贊！但這只是合情合理的猜想，我們?nèi)孕柘裢评怼?5=7+8”的來源一樣嚴格分析遞推公式，以此肯定或否定它.但剛才我們已經(jīng)證明了平面分割空間最多部分數(shù)的特殊情況，即n=3到n=4的過渡，你能完全類似分析由n-1到n的過渡發(fā)生的情況嗎？

生17 “f3（n-1）”指n-1個平面分空間最多為f3（n-1）個部分;“f2（n-1）”指再添加一個平面（第n個平面），第n個平面與原來的n-1個平面都相交，并且又不過原來任3個平面的交點，從而不過原來任兩平面的交線.這就交出了n-1條新直線，這n-1條新直線把新添的平面分為f2（n-1）個部分，每一部分把它穿過的（由前n-1個平面分成的）區(qū)域一分為二，因此“空間分割”增加了f2（n-1）個部分，而原有f3（n-1）個部分，所以現(xiàn)在空間共被分割成的“部分數(shù)”是f3（n）=f3（n-1）+f2（n-1）.

師 我們已嚴格證明遞推公式（2），你能利用遞推公式的相關(guān)知識推出它的顯公式嗎？

生18 移項得：f3（n）-f3（n-1）=f2（n-1）.遞推，得f3（n）=f3（1）+f2（1）+f2（2）+…+f2（n-1）

=2+12∑n-1i=1i2+∑n-1i=1i+（n-1）=16（n3+5n+6）.

生19 咦！那也可以先利用遞推公式猜測得出顯公式，再像問題1一樣用數(shù)學(xué)歸納法證明它.并且將問題2類比可以得到問題4，

問題4 當(dāng)平面?zhèn)€數(shù)由k增加至k+1時，分割平面的部分數(shù)增加多少？

第k+1個平面與前k個平面都相交但不過任2個平面的交線，即有k個交線，第k+1個平面被k個交線分成了f2（k）個部分，每一部分把它穿過的空間區(qū)域一分為二，即增加了f2（k）個部分.

因此，得出：f3（k+1）=f3（k）+f2（k）.? （數(shù)學(xué)歸納法其余步驟此處省略）

該等式意味著，多了一個（第k+1個）平面的k條直線將平面分成了f2（k）個部分.

師 你說的完全正確！類似地你可以仿照遞推公式（2）的幾何思考過程并重新證明問題1.

（學(xué)生模仿生16證明過程，限于篇幅，此處省略.）

2.3 平面分割空間問題的推廣

師 盡管我們中學(xué)階段只學(xué)習(xí)了3維空間及以下空間，但同學(xué)們是否可以大膽嘗試一下，猜想4維空間被分割的顯公式，

問題5 n個三維空間最多可將一個四維空間分成多少部分？

生20 遞推公式：f4（n）=f4（n-1）+f3（n-1）.由于我們已經(jīng)掌握f3（n-1）的計算公式，所以利用“累加法”猜測出問題4的顯公式為：

124（n4-2n3+11n2+14n+24）.

師 如果推廣至任意正整數(shù)維空間呢？

問題6 n個k-1維空間最多可將一個k維空間分成多少部分？

生21 遞推公式：fk（n）=fk（n-1）+fk-1（n-1）.至于推出“fk（n）”的顯公式需要知道“fk-1（n-1）”而“fk-1（n-1）”又要知道“fk-2（n-2）”，也就是說計算“下式”總要用到“上式”，但“上式”是什么，我就想不出來了.

生22 “3維空間分割4維空間問題”需化歸為“平面分割空間問題”才能解決，而“平面分割空間問題”需化歸為“直線分割平面問題”才能解決，但“直線分割平面問題”又與“點分割直線問題”息息相關(guān)，所以不管是哪類問題，最終都要化歸為“點分割直線問題.”而以前我們就已經(jīng)知道“點分割直線問題”就是要找與直線交點.

師 很棒！換言之就是區(qū)域的變化數(shù)與交點的變換有關(guān)系！重新從幾何意義分析已解決的問題，任意一條直線上增加了n個點，交點增加了n個，直線上的區(qū)域數(shù)就增加了n個部分，幾何元素由任意一條直線（C0n）變成了“直線+點”（C0n+C1n）;任意一個平面上增加了n條不平行且三條之間不過同一點直線，交點增加了C2n個，平面的區(qū)域數(shù)也就增加了C2n個部分，幾何元素由任意一個平面（C1n）變成了“平面+直線+點”（C0n+C1n+C2n），……這不是偶然，這正是分割部分數(shù)公式的本質(zhì)原因！

（證明需要大學(xué)拓撲學(xué)歐拉-龐加萊公式和數(shù)學(xué)歸納法，限于學(xué)生已有知識，不再贅述）

類似地，你能重新改寫問題（見表5）的顯公式嗎？

生23 可以！

師 基于上述規(guī)律，你能猜想出任意正整數(shù)k維空間被分割的公式嗎？

生24 fk（n）=C0n+C1n+…+Ck-1n+Ckn.

師 這其實是大學(xué)數(shù)學(xué)拓撲學(xué)中的知識，

定理：一個k維歐氏空間Rk最多可以被n個k-1維歐氏空間Rk分割成的區(qū)域數(shù)為fk（n）=∑ki=0Cin.

師 至此我們完成了分空間最多部分數(shù)的探索，發(fā)現(xiàn)并證明研究分空間最多部分數(shù)工具—遞推公式和數(shù)學(xué)歸納法，它的顯公式與組合數(shù)有關(guān)，當(dāng)我們越發(fā)現(xiàn)系列問題的本質(zhì)時問題變得就越簡單.

參考文獻：

[1]波利亞著;涂泓，馮承天譯.怎樣解題——數(shù)學(xué)思維的新方法[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?011.

[2]季蘋，《從“備學(xué)生”轉(zhuǎn)向“研究學(xué)生”—基于學(xué)生研究的數(shù)學(xué)教學(xué)》，[M]，教育科學(xué)出版社，2015.7.