王沛林

（北京理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京 100081）

在當(dāng)今科技經(jīng)濟(jì)飛速發(fā)展的社會(huì)中，人口問題一直是世界各個(gè)國(guó)家和各個(gè)領(lǐng)域所關(guān)注的焦點(diǎn)問題，它是一個(gè)社會(huì)發(fā)展的最基礎(chǔ)也是最關(guān)鍵的問題.為了維持社會(huì)生活的基本平衡與穩(wěn)定，把人口數(shù)量保持在一個(gè)比較理想化的狀態(tài)，就要對(duì)國(guó)家和地區(qū)的人口總數(shù)進(jìn)行合理預(yù)測(cè)，以便制定未來人口政策，使社會(huì)有序發(fā)展.在早期的研究中，進(jìn)行人口定量預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)方法就是依據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局的人口結(jié)構(gòu)和規(guī)模的資料和數(shù)據(jù)，以當(dāng)前人口為出發(fā)點(diǎn)，并且對(duì)未來人口的變化趨勢(shì)作出合乎常理的假設(shè)，運(yùn)用科學(xué)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行擬合演算，進(jìn)而預(yù)測(cè)出未來人口總數(shù)、性別比例、結(jié)構(gòu)組成等一些重要人口要素.

社會(huì)的進(jìn)步需要人口穩(wěn)定可持續(xù)發(fā)展，基于中國(guó)人口數(shù)量現(xiàn)狀和上述已知方法，本文通過比較馬爾薩斯人口模型、多項(xiàng)式擬合模型、ARIMA模型和Logistic人口生長(zhǎng)模型的預(yù)測(cè)效果，著眼于未來人口總數(shù)的估計(jì)分析，關(guān)注人口發(fā)展的總體趨勢(shì)，并將現(xiàn)有Logistic人口生長(zhǎng)模型從微分方程和模型參數(shù)擬合優(yōu)化角度進(jìn)行改進(jìn)，得到了更加準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)方程，以便更好地預(yù)測(cè)今后一段時(shí)間中國(guó)的總?cè)丝跀?shù)，具有一定的預(yù)見性.

1 中國(guó)人口發(fā)展預(yù)測(cè)模型的建立

1.1 數(shù)據(jù)的選取

擬合數(shù)據(jù)的選取十分重要.經(jīng)過資料調(diào)查，我們知道從20世紀(jì)70年代，在全國(guó)范圍內(nèi)開始大力實(shí)施計(jì)劃生育政策[1]，所以在預(yù)測(cè)全國(guó)總?cè)丝跁r(shí)，我們選取1970年為基礎(chǔ)年份，1970年的總?cè)丝跀?shù)量為最初人數(shù).進(jìn)而考慮到數(shù)據(jù)選取的原則，數(shù)據(jù)選擇得越多，即樣本越多，能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)擬合人口數(shù)量的可能性越大，結(jié)果就越精確，誤差就越小，所以選擇的年份不能少于25年，否則將很難發(fā)現(xiàn)人口數(shù)量變動(dòng)的趨勢(shì).再有，我國(guó)自2016年1月1日起，正式開始實(shí)行“全面二孩”政策[2]，這項(xiàng)政策的實(shí)施在短期內(nèi)不會(huì)對(duì)我國(guó)總?cè)丝跀?shù)的變化趨勢(shì)產(chǎn)生較大的影響.因此，在本文中先不考慮近幾年二胎方針的影響.最后通過查閱中國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站，獲得1970—2014年每年中國(guó)人口總數(shù)，以這45年的數(shù)據(jù)作為擬合數(shù)據(jù)，保證了一定的準(zhǔn)確性.

1.2 模型假設(shè)

1）現(xiàn)有的基本國(guó)策“計(jì)劃生育”保持不變.

2）不考慮戰(zhàn)爭(zhēng)等不可預(yù)見因素.

3）由于環(huán)境等因素，人口不能無限制地增長(zhǎng).

1.3 馬爾薩斯人口模型及其應(yīng)用

1.3.1 模型的理論背景

人口學(xué)家馬爾薩斯在生物增長(zhǎng)定律中提到：人口的變化率與人口總數(shù)成正比[3]，且這個(gè)比率不隨時(shí)間變化，為常量.由此，我們?cè)O(shè)定人口總數(shù)為p（t），人口變化率為l，若已經(jīng)知道在t0時(shí)刻的人口數(shù)量值p0，則就可以得到馬爾薩斯人口模型：

這就是非常著名的分析人口數(shù)量問題的基礎(chǔ)微分方程模型，通過求解方程，我們可以得到它的另外一種表達(dá)形式：

其中，t0表示最開始的時(shí)間（即初始年份），p0表示t0時(shí)刻的人口總數(shù)，t表示一般意義上的時(shí)間，p（t）表示t時(shí)刻的人口總數(shù).

1.3.2 模型的建立與實(shí)現(xiàn)

將1970—2014年每一年的人口總數(shù)作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，代入模型中.為了進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，首先要考慮模型的求解實(shí)現(xiàn)問題.

參數(shù)估計(jì)：l、p0可以用已知數(shù)據(jù)，運(yùn)用線性最小二乘法進(jìn)行估計(jì).（2）式兩邊取對(duì)數(shù)，得到：

作對(duì)數(shù)變換后，再以1970—2014年的人口數(shù)據(jù)擬合（3）式，經(jīng)計(jì)算得到：l=0.011 2，p0=88 521.43.

最后，得到馬爾薩斯人口模型：

其中t0=1970.

得到模型的表達(dá)式以后，我們進(jìn)而對(duì)2015—2019年的人口進(jìn)行預(yù)測(cè).

1.3.3 模型的誤差檢驗(yàn)分析

評(píng)價(jià)一個(gè)模型的好壞以及擬合效果，首先可以通過實(shí)際值和擬合值作出的圖像來直觀地對(duì)比分析.

如圖1所示，在馬爾薩斯人口模型預(yù)測(cè)圖中，這45年來實(shí)際人口和預(yù)測(cè)人口的總體增長(zhǎng)趨勢(shì)大體是一致的，但是到后期預(yù)測(cè)人口的增長(zhǎng)率要明顯大于實(shí)際人口的增長(zhǎng)率.

圖1 馬爾薩斯人口模型預(yù)測(cè)1970—2014年總?cè)丝?/p>

通過計(jì)算誤差來進(jìn)一步分析模型的優(yōu)劣.在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，我們慣用yi來代表第i組數(shù)據(jù)的真實(shí)值，來代表第i組數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值，用n來表示樣本數(shù)據(jù)的組數(shù)，所以有誤差指標(biāo)為：相對(duì)誤差（RE），殘差平方和（resnorm）：，標(biāo)準(zhǔn)誤差（RMSE）：

相對(duì)誤差越小，模型可信度越高；殘差平方和越小，模型擬合效果越好；標(biāo)準(zhǔn)誤差越小，模型精密度越高；Rnew為非線性回歸方程的擬合優(yōu)度指標(biāo)，其值越靠近1，模型擬合程度越高[4].

知悉這幾個(gè)誤差指標(biāo)后，用Matlab計(jì)算出由馬爾薩斯人口模型擬合的這45年數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差最大值為0.066 6，殘差平方和為4.941 7，標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.331 4，Rnew為0.971 3.

在物理學(xué)中，一般相對(duì)誤差不超過5%算是比較精確[5]，但此模型最大相對(duì)誤差0.066 6要高于0.05，并且Rnew的值離1還有一定距離，由此看來馬爾薩斯人口模型的精確度不是很高.

1.3.4 模型的預(yù)測(cè)效果及總體評(píng)價(jià)

將前文利用馬爾薩斯人口模型預(yù)測(cè)出的2015—2019年中國(guó)總?cè)丝跀?shù)與國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站上的真實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，以此來判斷預(yù)測(cè)效果.

由表1可以計(jì)算出，這5年的相對(duì)誤差最大值為0.094 6，遠(yuǎn)大于0.05，誤差較大，預(yù)測(cè)效果并不是很理想.

表1 中國(guó)2015—2019年實(shí)際總?cè)丝跀?shù)與預(yù)測(cè)總?cè)丝跀?shù) 萬人

進(jìn)一步繪制2015—2030年的人口預(yù)測(cè)圖，從圖2中可以看出預(yù)測(cè)人口的年增長(zhǎng)率過高，人口數(shù)量呈幾何狀增長(zhǎng)，不太符合實(shí)際.

圖2 馬爾薩斯人口模型預(yù)測(cè)2015—2030年總?cè)丝?/p>

從馬爾薩斯人口模型的擬合效果和預(yù)測(cè)結(jié)果來看，計(jì)算出來的誤差較大，模型并不是很精確，其預(yù)測(cè)的人口數(shù)量呈指數(shù)增長(zhǎng)，增長(zhǎng)率過高，故該模型的現(xiàn)代利用價(jià)值有限.

1.4 多項(xiàng)式擬合模型及其應(yīng)用

1.4.1 模型的理論背景

從圖1中我們可以觀察出，人口數(shù)量的變化過程線上各點(diǎn)斜率都不太相同，這就表明各個(gè)階段的人口增長(zhǎng)速率是不一樣的，這時(shí)用單純的一條直線來描繪人口的發(fā)展顯然是不合適的，所以要用更貼近實(shí)際的曲線來擬合人口數(shù)量的變動(dòng)，這就產(chǎn)生了多項(xiàng)式擬合模型.

1.4.2 模型的建立與實(shí)現(xiàn)

為了保證多項(xiàng)式擬合模型的合理性和準(zhǔn)確性，并且兼顧誤差最小的原則，還要使模型具有可解釋性，故本文選取了三次多項(xiàng)式對(duì)1970—2014年的總?cè)丝跀?shù)據(jù)進(jìn)行擬合.

將時(shí)間t作為解釋變量，中國(guó)總?cè)丝跀?shù)量p（t）作為預(yù)測(cè)變量，建立多項(xiàng)式確定它們之間的關(guān)系.得出如下結(jié)果：

1.4.3 模型的誤差檢驗(yàn)分析

通過圖3擬合圖像可以看出，在1970—2014年中，擬合的曲線很貼近實(shí)際的數(shù)據(jù)，三次多項(xiàng)式擬合模型的短期預(yù)測(cè)效果很好，沒有太大的誤差.

圖3 三次多項(xiàng)式擬合模型預(yù)測(cè)1970—2014年總?cè)丝?/p>

三次多項(xiàng)式的相對(duì)誤差最大值為0.0133，殘差平方和為0.122 3，標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.052 1，Rnew為0.995 5.由誤差可以看出，多項(xiàng)式擬合模型的精確度較馬爾薩斯人口模型有很大程度的提高.

1.4.4 模型的預(yù)測(cè)效果及總體評(píng)價(jià)

利用三次多項(xiàng)式擬合模型的表達(dá)式，預(yù)測(cè)出2015—2019年中國(guó)人口總數(shù)分別為136 090萬人、136 194萬人、136 218萬人、136 161萬人、136 021萬人，將這5年來的預(yù)測(cè)人口同實(shí)際人口相比較，我們得出最大的相對(duì)誤差值為0.028 5，沒有超過0.05，且要遠(yuǎn)低于馬爾薩斯人口模型的誤差值，預(yù)測(cè)效果比較好.

從三次多項(xiàng)式擬合模型的曲線貼合效果和部分預(yù)測(cè)結(jié)果來看，各種誤差都比較小，模型比較合理，但是2015—2019年預(yù)測(cè)出來的人口數(shù)量總體呈現(xiàn)先增長(zhǎng)后下降的趨勢(shì)，人口數(shù)量下降在我國(guó)現(xiàn)階段幾乎是不可能的，所以筆者認(rèn)為多項(xiàng)式擬合模型只適合短時(shí)段1～3年內(nèi)的人口預(yù)測(cè)，長(zhǎng)期預(yù)測(cè)則會(huì)出現(xiàn)大的偏差，效果不會(huì)很好.

1.5 ARIMA模型及其應(yīng)用

1.5.1 模型的理論背景

由前面的多項(xiàng)式擬合模型可以看出，人口數(shù)量是隨著時(shí)間不斷變化的.但是人口與時(shí)間的關(guān)系又不能簡(jiǎn)單地用多項(xiàng)式來準(zhǔn)確的描述，為了尋找更合理的人口預(yù)測(cè)模型，我們想到了經(jīng)濟(jì)學(xué)中的ARIMA模型.

預(yù)測(cè)一種事物的變化時(shí)，用它的過去推斷它的未來，即用時(shí)間序列的往日數(shù)據(jù)表示事物隨時(shí)間變化的種種規(guī)律，并將兩者之間的模式應(yīng)用到未來，進(jìn)而對(duì)未來的數(shù)據(jù)作出預(yù)測(cè).ARIMA模型就是一種常用的時(shí)間序列模型.

ARIMA（p，d，q）模型含有 3個(gè)參數(shù)，這里面 p表示自回歸（AR）階數(shù)，q表示移動(dòng)平均（MA）階數(shù)，d 表示模型的差分階數(shù)[6].該模型有 3 種基本類別[7]：AR（p）模型、MA（q）模型、ARIMA（p，d，q）模型.

1.5.2 模型的建立與實(shí)現(xiàn)

利用1970—2014年的中國(guó)總?cè)丝跀?shù)據(jù)，建立ARIMA（p，d，q）模型.模型的建立步驟如下：

1）載入數(shù)據(jù)，進(jìn)行一次單位根檢驗(yàn)，判定數(shù)據(jù)序列的平穩(wěn)性.本文得到p值為0.99，大于檢驗(yàn)的臨界值0.05，所以該序列不平穩(wěn).

2）對(duì)不平穩(wěn)序列進(jìn)行差分處理，差分的次數(shù)為d，使其成為平穩(wěn)序列.經(jīng)過了三次差分操作后，一次單位根檢驗(yàn)的p值小于了0.05，序列化為平穩(wěn)序列，進(jìn)而確定d=3.

3）對(duì)已經(jīng)平穩(wěn)的序列進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，判斷其是否為純粹的隨機(jī)序列，由于對(duì)白噪聲進(jìn)行下一步的處理和預(yù)測(cè)沒有任何價(jià)值，故使用Ljung-Box方法[8]進(jìn)行檢測(cè).p值為0.008 808，小于標(biāo)準(zhǔn)值0.05[8]，所以三次差分后的平穩(wěn)序列不是隨機(jī)序列，可以展開下一步工作.

4）確定模型的階數(shù).畫出序列的自相關(guān)圖（ACF）和偏自相關(guān)圖（PACF），見圖4.據(jù)觀察可以發(fā)現(xiàn)ACF 1階截尾，PACF具有拖尾性.綜上，初定模型為ARIMA（0，3，1）.接下來用R語言軟件中的自動(dòng)定階功能（auto.arima）來對(duì)上面的定階結(jié)果進(jìn)行準(zhǔn)確性檢驗(yàn)，結(jié)果也顯示為ARIMA（0，3，1）模型.

圖4 自相關(guān)圖與偏自相關(guān)圖

5）確定模型的系數(shù).得出該模型為xt=εt+0.769εt-1.

6）模型的顯著性檢驗(yàn).使用Ljung-Box方法[8]檢驗(yàn)殘差：p 值為 0.287 8，大于 0.05，說明殘差是隨機(jī)序列，白噪聲檢驗(yàn)通過.參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)：用R軟件測(cè)出的系數(shù)-0.769 0除

以它的標(biāo)準(zhǔn)誤差0.122 7，商的絕對(duì)值為1.96，大于T檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在5%水平的臨界值，斷定系數(shù)顯著不等于零[9]，檢驗(yàn)通過.

7）用 ARIMA（0，3，1）模型預(yù)測(cè) 2015—2019年的中國(guó)人口總數(shù).

1.5.3 模型的誤差檢驗(yàn)分析

從圖5可以看出，ARIMA模型作出的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)比較吻合，相差不大，效果良好.

圖5 ARIMA模型預(yù)測(cè)1970—2014年總?cè)丝?/p>

相對(duì)誤差最大值為0.003 3，殘差平方和為0.006 3，標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.011 8，Rnew為0.999 0.從誤差值來看，模型的擬合水平非常高，較前面2種模型而言，有著更高的可信度.

1.5.4 模型的預(yù)測(cè)效果及總體評(píng)價(jià)

利用ARIMA模型預(yù)測(cè)2015—2019年的中國(guó)人口總數(shù)，將預(yù)測(cè)值與實(shí)際值作比較，得出相對(duì)誤差的最大值為0.002 8，遠(yuǎn)小于前2種模型的誤差值，預(yù)測(cè)效果有了質(zhì)的飛躍.

進(jìn)而利用此模型預(yù)測(cè)出了2015—2030年中國(guó)的總?cè)丝跀?shù)，并繪成圖6.看出未來10年我國(guó)人口將呈緩慢增長(zhǎng)態(tài)勢(shì)，到2030年不會(huì)破15億大關(guān).

圖6 ARIMA模型預(yù)測(cè)2015—2030年總?cè)丝?/p>

根據(jù)綜上各種論證來看，ARIMA模型的預(yù)測(cè)效果遠(yuǎn)優(yōu)于前2種模型，給出了較為合理的人口隨時(shí)間變化的趨勢(shì)，精確度比較高，有較大的參考價(jià)值.

1.6 Logistic人口生長(zhǎng)模型及其應(yīng)用

1.6.1 模型的理論背景

在前面討論過的馬爾薩斯人口模型中有致命的缺點(diǎn)——人口變化率l為常量.它只假設(shè)出了人類發(fā)展最理想的情況，并得出人口數(shù)量將呈指數(shù)上漲的極端結(jié)論.認(rèn)識(shí)到馬爾薩斯人口模型的不足之后，有學(xué)者在其基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，形成了Logistic人口生長(zhǎng)模型.模型的中心觀點(diǎn)為：人口數(shù)量并不能無窮盡地上漲，它會(huì)受到各種因素的約束，且隨著人口的不斷增加，這種約束力會(huì)不斷變強(qiáng)，最終人數(shù)會(huì)到達(dá)一個(gè)極值.

1.6.2 模型的建立與實(shí)現(xiàn)

從上述的理論基礎(chǔ)中可知，如果想獲取方程（10）的解，就要估計(jì)出pm和l這2個(gè)參數(shù)的值，求解方法有2種.

1.6.2.1 三點(diǎn)等間距法

利用昔日的人口數(shù)據(jù)，粗略計(jì)算出l和pm的值.再采用t0、t1、t2這3個(gè)年份的人口總數(shù)量p0、p1、p2，且滿足條件t2-t1=t1-t0=a，代入方程式（10）進(jìn)行計(jì)算，可得出：

取1970年作為開端年份t0，取1992年為中間年份t1，取2014年為最末年份t2，此時(shí)a=22，將相應(yīng)數(shù)值代入公式（11），獲取l和pm的具體值；將計(jì)算出的2個(gè)參數(shù)值代入方程（10）中，得到模型，模擬圖見圖7.

圖7 Logistic模型三點(diǎn)等間距法預(yù)測(cè)1970—2014年總?cè)丝?/p>

1.6.2.2 lsqcurvefit最小二乘法

在Matlab軟件中有一個(gè)lsqcurvefit命令，依據(jù)最小二乘原理即使模擬數(shù)據(jù)和實(shí)際數(shù)據(jù)之間的殘差平方和最小，也可擬合出最優(yōu)化的非線性曲線.

選取 t0=1970，p0=82 992代入式（10），然后將式（10）作為未知的需要擬合的非線性曲線，l和pm為要求解的參數(shù).給出兩參數(shù)的初值解，1970—2014年的總?cè)丝跒閷?shí)際數(shù)據(jù)，用lsqcurvefit函數(shù)進(jìn)行擬合，pm為153 147 萬人，l為 0.045 4，有模型，最后畫出對(duì)比圖，見圖8.

圖8 Logistic模型最小二乘法預(yù)測(cè)1970—2014年總?cè)丝?/p>

1.6.3 模型的誤差檢驗(yàn)分析

從圖7、圖8中可以剖析出，三點(diǎn)等間距法和最小二乘法的模擬結(jié)果都不錯(cuò).

三點(diǎn)等間距法：相對(duì)誤差最大值為0.018 2，殘差平方和為0.305 0，標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.082 3，Rnew為0.992 9.最小二乘法：相對(duì)誤差最大值為0.013 5，殘差平方和為0.247 7，標(biāo)準(zhǔn)誤差為 0.074 2，Rnew為 0.993 6.很明顯，最小二乘法還是要略優(yōu)于三點(diǎn)等間距法，這可能是因?yàn)閘sqcurvefit函數(shù)能夠找到全局最優(yōu)解，而三點(diǎn)等間距法只是拿出3年的數(shù)據(jù)來求解方程（10），有局限性.

1.6.4 模型的預(yù)測(cè)效果及總體評(píng)價(jià)

綜上，我們選用最優(yōu)的lsqcurvefit最小二乘法預(yù)測(cè)出了2015—2019年的總?cè)丝跀?shù)，與實(shí)際人口比，最大相對(duì)誤差值為0.003 9.進(jìn)而本研究用Logistic人口生長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)出了2015—2030年的總?cè)丝冢妶D9.

圖9 Logistic人口生長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)2015—2030年總?cè)丝?/p>

從圖9可以發(fā)現(xiàn)，在未來10年我國(guó)人口增長(zhǎng)有逐漸放緩的趨勢(shì)，總體較平穩(wěn).

總體來說，Logistic人口生長(zhǎng)模型比馬爾薩斯人口模型考慮的影響人口變動(dòng)的因素更多更充分，預(yù)測(cè)結(jié)果也更加確切、合理.但是，從誤差的角度來看，該模型還不如ARIMA模型精確，有改進(jìn)優(yōu)化的空間.

2 4種預(yù)測(cè)方法的比較分析

通過表2我們清楚地認(rèn)識(shí)到，無論是從誤差最小化角度，還是從模型的擬合效果和預(yù)測(cè)結(jié)果方面，Logistic人口生長(zhǎng)模型和ARIMA模型都要優(yōu)于其他兩種模型，并且ARIMA模型的精確性還要比Logistic人口生長(zhǎng)模型突出，但是ARIMA模型的局限性在于它只適合短時(shí)間內(nèi)的預(yù)測(cè)[11]，而Logistic人口生長(zhǎng)模型作為中長(zhǎng)期人口預(yù)測(cè)的一種典型方法，它的精確度還有待提高.為了更好地進(jìn)行人口中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，下文將探討Logistic人口生長(zhǎng)模型的改良方法.

表2 4種預(yù)測(cè)模型的比較分析

3 Logistic人口生長(zhǎng)模型的改進(jìn)

通過分析看出，Logistic人口生長(zhǎng)模型在預(yù)測(cè)人口時(shí)，其自身的合理性和精確度還有進(jìn)一步提升的空間，為此我們從2種不同角度探索對(duì)此模型修正的方法.

3.1 方程角度改進(jìn)及其應(yīng)用

3.1.1 改進(jìn)的方法依據(jù)

從我國(guó)的當(dāng)前人口形勢(shì)出發(fā)，由于計(jì)劃生育政策已實(shí)行了多年，我國(guó)過去人口猛烈增長(zhǎng)的勢(shì)頭已經(jīng)得到了很好的控制，久而久之又出現(xiàn)了生育率低、人口老齡化的現(xiàn)象.如今我國(guó)的人口增長(zhǎng)率已經(jīng)非常低，如方程（7）的假設(shè)——人口變化率l和人口總數(shù)p（t）是最簡(jiǎn)單的線性關(guān)系，已經(jīng)不再適用于當(dāng)下.現(xiàn)在我們從l與p（t）的關(guān)系入手，對(duì)l（p）函數(shù)式進(jìn)行改進(jìn).

作出假設(shè)：人口上漲已經(jīng)快到了負(fù)荷的程度，上漲率慢慢變小最終將趨向零.

根據(jù)假設(shè)，l（p）理應(yīng)表達(dá)為e-p的函數(shù)，設(shè)：

其中l(wèi)（p0）是初始年份為t0、總?cè)藬?shù)為p0時(shí)的人口增長(zhǎng)率，b、k為待求系數(shù).

于是，修正以后的模型為：

3.1.2 模型的建立與實(shí)現(xiàn)

依舊使用1970—2014年的中國(guó)人口總數(shù)作為研究數(shù)據(jù)，這樣上下文形成對(duì)照，方便比較擬合效果.先來求解方程（12）中的參數(shù)值b、k.

首先，對(duì)方程（12）的兩邊作對(duì)數(shù)變換得到：

最后，得到從方程角度進(jìn)行修改后的模型：

其中起始年份t0為1970年.求出了方程（15）的數(shù)值解，并繪制擬合圖像，見圖10.

圖10 方程角度改進(jìn)的Logistic人口生長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)1970—2014年總?cè)丝?/p>

3.1.3 模型的誤差檢驗(yàn)分析

根據(jù)圖10可看出，從方程角度改進(jìn)后的模型繪制的擬合曲線與現(xiàn)實(shí)中的數(shù)據(jù)比較貼近，在開始的5～6年和末尾的5～6年預(yù)測(cè)效果尤其好，在中間年份或多或少出現(xiàn)了偏差.依據(jù)程序運(yùn)行結(jié)果，相對(duì)誤差最大值是0.026 3，殘差平方和是0.796 3，標(biāo)準(zhǔn)誤差是0.134 5，Rnew是0.988 4.從誤差值的大小來看，此方法修正后的Logistic人口生長(zhǎng)模型并沒有較大改善.

3.1.4 模型的預(yù)測(cè)效果及總體評(píng)價(jià)

與前文一樣，我們用改良的模型預(yù)測(cè)出了2015—2019年的中國(guó)人口總數(shù)，與實(shí)際人口比較，這5年的最大相對(duì)誤差值為0.004 0，這與沒有修正之前的最大相對(duì)誤差值0.003 9差距非常小，幾乎沒有改善.之后，用改進(jìn)后的模型預(yù)測(cè)了2015—2030年的中國(guó)總?cè)丝?，見圖11.

圖11 方程角度改進(jìn)的Logistic人口生長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)2015—2030年總?cè)丝?/p>

將圖11與圖9對(duì)比發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)前預(yù)測(cè)2015—2030年的中國(guó)總?cè)丝诖蠹s是從13.8億上漲到14.5億，改進(jìn)后預(yù)測(cè)這16年的人口數(shù)大約是從13.8億上漲到14.7億多，首尾年都相差不大，說明我國(guó)未來人口的變化有很大可能按照這種趨勢(shì)發(fā)展，并在2030年達(dá)到14.6億左右的人口數(shù).

無論是從誤差指標(biāo)的角度來看，還是從預(yù)測(cè)效果來看，修正了主方程的Logistic人口生長(zhǎng)模型并沒有很大程度上提高模型的效率和精確性，與沒修改之前的預(yù)測(cè)大致相同，借鑒意義有限.

3.2 參數(shù)角度的模擬仿真改進(jìn)及其應(yīng)用

3.2.1 改進(jìn)的方法依據(jù)

本文又從另一個(gè)角度——使參數(shù)值更加精確化，來對(duì)模型的修正問題進(jìn)行探究.

在Logistic人口生長(zhǎng)模型中，存在關(guān)系函數(shù)l（p）=l-sp，l＞0，s＞0，此式中含有2個(gè)待求參數(shù)l和s.我們知道，這2個(gè)參數(shù)主要是通過專家預(yù)估[10]或者統(tǒng)計(jì)得來，而沒有從函數(shù)式本身入手去求其值.所以，修正模型中l(wèi)（p）的決定方式，根據(jù)1970—2014年逐年的總?cè)丝谠鲩L(zhǎng)率與每年人口總數(shù)的關(guān)系，運(yùn)用最小二乘線性擬合的方法來明確參數(shù)l、s的切實(shí)值，即通過真實(shí)數(shù)據(jù)的模擬仿真來確定參數(shù)值，而不是無端的估計(jì)統(tǒng)計(jì)，這樣預(yù)測(cè)水平可能會(huì)有所提高.

3.2.2 模型的建立與實(shí)現(xiàn)

應(yīng)用國(guó)家統(tǒng)計(jì)局的數(shù)據(jù)計(jì)算出1970—2014年中國(guó)總?cè)丝诘闹鹉曜兓?，并制成散點(diǎn)圖.

由圖12可以觀察出，總?cè)丝诘脑鲩L(zhǎng)率自1987年開始，幾乎呈直線型下降，因此可以采用直線擬合的方式來得出函數(shù)l（p）=l-sp，l＞0，s＞0的具體表達(dá)式.

圖12 1970—2014年中國(guó)總?cè)丝诘脑鲩L(zhǎng)率變化

于是，1987—2014年逐年的總?cè)丝谠鲩L(zhǎng)率作為l（p），1987—2014年每年的總?cè)丝跀?shù)為p，運(yùn)用線性最小二乘法來擬合它們之間的關(guān)系式l（p）=l-sp，最終得到具體表達(dá)式為：

將1987年當(dāng)作初始年份t0，1987年所對(duì)應(yīng)的總?cè)丝跀?shù)為p0，2個(gè)數(shù)值與式（16）一起代入方程（6），得到方程：

而后再求解微分方程（17）得到了預(yù)測(cè)總?cè)丝跀?shù)p（t）的解析式：

實(shí)際總?cè)丝谂c預(yù)測(cè)總?cè)丝谙啾容^，見圖13.

圖13 參數(shù)角度改進(jìn)的Logistic人口生長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)1987—2014年總?cè)丝?/p>

3.2.3 模型的誤差檢驗(yàn)分析

查看擬合圖13，我們發(fā)現(xiàn)改進(jìn)后的模型作出的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)很接近，總體的增長(zhǎng)趨勢(shì)也相當(dāng)一致.

通過計(jì)算，得到了該模型下相對(duì)誤差最大值是0.006 9，殘差平方和是0.086 0，標(biāo)準(zhǔn)誤差是 0.055 4，Rnew是 0.995 6.改進(jìn)后模型計(jì)算出的誤差指標(biāo)值要比原模型計(jì)算出的誤差值小得多，擬合優(yōu)度Rnew也更加接近1，結(jié)果良好.

3.2.4 模型的預(yù)測(cè)效果及總體評(píng)價(jià)

同樣，我們用改良后的模型預(yù)測(cè)出了2015—2019年的中國(guó)總?cè)丝跀?shù)，分別為137 480萬人、137 901萬人、138 298萬人、138 671萬人、139 023萬人，預(yù)測(cè)值與實(shí)際2015—2019年總?cè)丝跀?shù)的最大相對(duì)誤差值是0.007 0，與之前未改進(jìn)時(shí)的預(yù)測(cè)效果相近.接著我們又預(yù)測(cè)了2015—2030年的中國(guó)總?cè)丝跀?shù)，見圖14.

圖14 參數(shù)角度改進(jìn)的Logistic人口生長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)2015—2030年總?cè)丝?/p>

可以看出，按此種模型進(jìn)行推測(cè)，我國(guó)的人口增長(zhǎng)率減小的趨勢(shì)將加快，人口增長(zhǎng)將放慢.

利用真實(shí)數(shù)據(jù)對(duì)未知函數(shù)進(jìn)行模擬仿真，進(jìn)而求解出更加有實(shí)際意義的參數(shù)值，這種改進(jìn)方法經(jīng)過實(shí)踐證明具有不錯(cuò)的效果，使模型的擬合優(yōu)度有了較大提高，從誤差值來看也比原始模型更具有說服力，精確性大幅度提高.

3.3 模型的改進(jìn)效果剖析

無論是從模型存在的偏差還是從模型的擬合優(yōu)度指標(biāo)來看，從參數(shù)角度進(jìn)行的模擬仿真改進(jìn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)要比從方程入手對(duì)模型的改進(jìn)效果理想得多.改進(jìn)后的模型，參數(shù)值被賦予了更加具體的內(nèi)涵而且也精確了許多，同時(shí)，與原有的Logistic人口生長(zhǎng)模型相比，從參數(shù)角度改進(jìn)后的模型精確度提高了，預(yù)測(cè)水平也升高了.

本文通過比較馬爾薩斯人口模型、多項(xiàng)式擬合模型、ARIMA模型、Logistic人口生長(zhǎng)模型這4種人口預(yù)測(cè)方法的優(yōu)劣，認(rèn)為ARIMA模型和Logistic人口生長(zhǎng)模型的預(yù)測(cè)效果比較理想，并用比較合理的Logistic人口生長(zhǎng)模型對(duì)未來的人口進(jìn)行了預(yù)測(cè)，進(jìn)一步針對(duì)Logistic人口生長(zhǎng)模型存在的不足提出了2種改進(jìn)辦法，使模型的精確度進(jìn)一步提高.最后預(yù)測(cè)，到2030年，我國(guó)的總?cè)丝趯⒃?4.2億～14.6億波動(dòng).