張慶江

畫圖表征是數(shù)學(xué)教師教學(xué)的一種重要手段。它憑借圖形的直觀性，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言有機(jī)結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己的需要畫出不同的圖，使數(shù)學(xué)語言合情轉(zhuǎn)換成幾何直觀圖形，達(dá)到以形助數(shù)、讓數(shù)學(xué)在學(xué)生的眼中變得簡潔而豐富的目的。

一、運(yùn)用畫圖表征，使學(xué)生“理清法明”，實(shí)現(xiàn)算理與算法的無痕對接

在計(jì)算教學(xué)中，部分教師只借助語言表征進(jìn)行枯燥的講解，往往造成學(xué)生“理不清，法不明，能難成”，為了更好地使學(xué)生明理懂法，在教學(xué)中可以讓學(xué)生借助點(diǎn)子圖、方格圖、線段圖等多種畫圖表征直觀地呈現(xiàn)計(jì)算的過程，將理的抽象與法的直觀巧妙地結(jié)合。

【“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”教學(xué)片段】

生1：把這6個(gè)三角形看作單位“1”，先把6個(gè)三角形平均分成3份，每份是2個(gè)，再把其中的2個(gè)平均分成2份，每份是1個(gè)，這1個(gè)三角形也就占6個(gè)三角形的? 。

生2：先畫1個(gè)長方形表示單位“1”，再把它平均分成3份，1份就是 ，然后再把 平均分成2份，取其中的1份，每份就是原來的 。

生3：先把這條線段平均分成2份，再把每份平均分成3份，也就是一共分成了6份，取其中的1×1份，就是 。

師：觀察? ×? =? 這個(gè)算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生總結(jié)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法。

雖然我們畫的圖式不同，但我們能根據(jù)不同的圖式表征來理解算理。學(xué)生經(jīng)歷了“分了再分，取了再取”的數(shù)學(xué)活動，豐富對分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的理與法的直觀認(rèn)識。通過多種畫圖表征，學(xué)生在思想碰撞過程中，一步步體會、領(lǐng)悟分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理，進(jìn)而概括總結(jié)出分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算法，實(shí)現(xiàn)了“理”與“法”的無痕對接。

二、運(yùn)用畫圖表征，展示思考過程和解題方法之妙，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識

畫圖表征是我們解決問題中常用的一種思考策略，也是容易操作的一種策略。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用畫圖表征的目的不僅僅是幫助學(xué)生解決某些數(shù)學(xué)問題、提高能力，更重要的是使學(xué)生真正學(xué)會自主學(xué)習(xí)，養(yǎng)成“數(shù)學(xué)思考”的習(xí)慣。

【“集合”教學(xué)片段】

教學(xué)三年級《集合》時(shí)，在學(xué)生初步認(rèn)知集合中的重復(fù)現(xiàn)象后，教師是這樣進(jìn)行練習(xí)設(shè)計(jì)的：先讓學(xué)生獨(dú)立思考，自主畫圖去分析解決，如果同樣是4個(gè)語文狀元和5個(gè)數(shù)學(xué)狀元，有2個(gè)學(xué)生既獲得了語文狀元又獲得了數(shù)學(xué)狀元，總?cè)藬?shù)該是多少？學(xué)生列出多種算式后，教師沒有簡單地重復(fù)書上的練習(xí)，而是讓學(xué)生繼續(xù)思考：同樣是4個(gè)語文狀元和5個(gè)數(shù)學(xué)狀元，除了8人、7人之外，還有其他的可能嗎？選一種可能畫圖表示并列出算式？學(xué)生充分運(yùn)用畫圖表征，創(chuàng)作出了多種超乎尋常的可能。

看著學(xué)生的作品，聽著學(xué)生精彩的回答，這其中包含著學(xué)生思維能力的發(fā)展，我想：學(xué)生為什么會有這樣的認(rèn)識和回答，是因?yàn)閷W(xué)生有了前面知識的積淀，有了幾何直觀的引領(lǐng)，使他們不僅正確認(rèn)識到集合中的幾種重復(fù)現(xiàn)象，還想到了交集為空和包含的存在性。畫圖表征的運(yùn)用，不但有利于幫助學(xué)生理清數(shù)量關(guān)系，還能提高學(xué)生的思維能力和解決問題的能力，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以提高。

三、借助幾何直觀，揭示數(shù)學(xué)知識之間隱含的規(guī)律，激發(fā)學(xué)生探究的熱情

【“圖形中的規(guī)律”教學(xué)片段】

上課伊始，教師引導(dǎo)學(xué)生動手用5根小棒擺出2個(gè)三角形，要求學(xué)生用算式將擺的過程寫出來，教師并板書3+2，擺3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)分別用了多少根小棒，可以畫一畫，寫一寫，并將擺的過程用算式表示出來。學(xué)生研究后匯報(bào)出3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)三角形，分別用了3+2×2、3+2×3、3+2×4根小棒，教師追問這三個(gè)算式的意思。教師繼續(xù)問：如果繼續(xù)擺下去，擺10個(gè)這樣的三角形呢？怎樣列式計(jì)算呢？學(xué)生有了前面的體驗(yàn)很快答出3+2×9，之后教師拋出：擺100個(gè)三角形需要多少根？學(xué)生回答3+2×99，教師再問：99怎么來的，為什么要用100減1，由于學(xué)生經(jīng)歷了3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、10個(gè)的研究過程，所以學(xué)生對于3+2×99這個(gè)式子很容易解釋，因?yàn)橛辛诉@些知識的鋪墊，之后教師再次提高思維難度讓學(xué)生運(yùn)用一個(gè)數(shù)量關(guān)系式表示出來。在教師多層次的引導(dǎo)下，學(xué)生借助直觀圖，很自然地概括出三角形個(gè)數(shù)、擺成的圖形與小棒的根數(shù)三者之間的關(guān)系，而這個(gè)規(guī)律的得出是依托于前面大量的以圖操作、以圖觀察的活動，歸納的過程在不斷地幫助學(xué)生去思考，去完善，去總結(jié)，去歸納，逐步逼近數(shù)學(xué)本質(zhì)。在歸納過程中，教師向?qū)W生滲透了數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法——化繁為簡、操作、分析歸納、得出規(guī)律，讓學(xué)生在經(jīng)歷中有感悟，有思考，有成果，只有這樣的“直觀”才能化繁為簡，在經(jīng)歷中習(xí)得新知，在經(jīng)歷中揭示數(shù)學(xué)規(guī)律。

四、運(yùn)用畫圖表征，凸現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，滲透數(shù)學(xué)思想

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出了把數(shù)學(xué)的基本思想作為總體的教學(xué)目標(biāo)之一，數(shù)學(xué)思想方法不像數(shù)學(xué)知識那樣顯現(xiàn)在教材上，而是隱含在教材中，教師選擇適合內(nèi)容，去挖掘、提煉數(shù)學(xué)思想方法，借助畫圖表征的直觀性可以引導(dǎo)學(xué)生理解掌握數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生解決問題的能力。

【“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”教學(xué)片段】

活動一：教師引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系、商不變的性質(zhì)類比證明了幾組分?jǐn)?shù)相等之后，教師出示? 的線段圖，問學(xué)生：這個(gè)同學(xué)想用這幅圖證明? 和多少相等？他是想把圖中的每一份怎樣？

活動二：教師舍棄圖形，直接出示分?jǐn)?shù)? ，教師拋出問題：你能想出一個(gè)和? 相等但分子分母不一樣的分?jǐn)?shù)嗎？你是怎么想的？如何進(jìn)行證明呢？學(xué)生從多種角度運(yùn)用多種方式進(jìn)行證明，這時(shí)教師根據(jù)學(xué)生回答再次拋出問題：為什么同時(shí)乘10大小不變？學(xué)生因?yàn)橛辛水媹D的親身體驗(yàn)所以得出：同時(shí)乘10相當(dāng)于每一份再平均分成10份，分的每一份小了，但是取的份數(shù)與單位“1”的關(guān)系沒有發(fā)生變化。

這樣精彩的解釋，說明數(shù)學(xué)思想已經(jīng)根植于學(xué)生心中，最后教師總結(jié)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)除以幾，相當(dāng)于每幾份合成一份;分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘幾，相當(dāng)于每一份平均分成幾份。由直觀到抽象，兩次活動緊緊抓住分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的本質(zhì)：變中有不變的思想，讓學(xué)生去體會、去思考、去感悟，分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)自然而然地呼之欲出，由于學(xué)生有了親身經(jīng)歷，所以概括分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)水到渠成。正是通過不斷地畫圖、析圖、用圖，學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)被激活并融入到新知的學(xué)習(xí)中來，并展開了深入的數(shù)學(xué)思考。開放的環(huán)節(jié)最終贏得了豐富的課堂回報(bào)，學(xué)生在活動中理解了分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的本質(zhì)，同時(shí)數(shù)學(xué)思想也牢牢印在學(xué)生心中。

通過豐富畫圖形式，把抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為形象、生動的幾何圖形，可以打開學(xué)生思維，起到化難為易、化繁為簡、化隱為顯的作用，使學(xué)生愛上數(shù)學(xué)、樂學(xué)數(shù)學(xué)，會用數(shù)學(xué)。因此在我們的課堂上，更應(yīng)借助畫圖表征，讓學(xué)生的雙手操作起來，讓學(xué)生的思維活躍起來，讓學(xué)生的幾何直觀能力真正得以提升。

（左毓紅）