李 琰，龐丹陽(yáng),*，陳文棣，陶 曦，續(xù)瑞瑞，葛智剛

(1.北京航空航天大學(xué) 物理學(xué)院，北京 10008；2.中國(guó)原子能科學(xué)研究院 核數(shù)據(jù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，中國(guó)核數(shù)據(jù)中心，北京 102413)

三核子體系的結(jié)構(gòu)及核反應(yīng)是檢驗(yàn)各種核力模型的試驗(yàn)場(chǎng)[1-2]，n+d三核子體系的全套中子反應(yīng)截面也是重要的核數(shù)據(jù)。因此，對(duì)于三核子反應(yīng)體系的結(jié)構(gòu)和反應(yīng)模型的理論研究在核物理基礎(chǔ)研究和核應(yīng)用方面都有重要的作用。

自20世紀(jì)60年代被提出以來(lái)，法捷耶夫方程已廣泛應(yīng)用于三體體系的結(jié)構(gòu)和反應(yīng)理論研究[3-4]。結(jié)合兩體現(xiàn)實(shí)核力以及三體核力，法捷耶夫方程已成為描述n+d三核子體系核反應(yīng)最精確的理論工具[5]。但我國(guó)在此方面的研究與國(guó)際先進(jìn)水平尚存在較大的差距。目前，中國(guó)核數(shù)據(jù)中心CENDL數(shù)據(jù)庫(kù)中d核中子反應(yīng)數(shù)據(jù)的理論計(jì)算結(jié)果是20世紀(jì)八九十年代由中國(guó)原子能科學(xué)研究院的儲(chǔ)連元等完成的[6]。這些計(jì)算所采用的核子-核子相互作用為s-波可分離勢(shì)[7]。在中子入射能量小于20 MeV的區(qū)域，此相互作用對(duì)n+d全套中子反應(yīng)數(shù)據(jù)的描述能力尚可。但隨著中子入射能量的增加，s-波相互作用將越來(lái)越不足以對(duì)氘核中子反應(yīng)截面數(shù)據(jù)提供精確的理論預(yù)測(cè)。為此，需要開(kāi)展基于法捷耶夫方程的三體核反應(yīng)理論研究，采用超出s-波的核子-核子相互作用的法捷耶夫方程的數(shù)值求解，實(shí)現(xiàn)對(duì)較高能量范圍內(nèi)的全套中子反應(yīng)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。

本文主要介紹利用法捷耶夫方程計(jì)算n+d三核子反應(yīng)體系的彈性散射微分截面、破裂反應(yīng)、破裂反應(yīng)出射中子和質(zhì)子的雙微分截面的理論框架及數(shù)值計(jì)算結(jié)果，同時(shí)計(jì)算彈性散射總截面和破裂反應(yīng)總截面的激發(fā)函數(shù)。

1 三體核反應(yīng)的法捷耶夫方程理論簡(jiǎn)介

本文考慮3個(gè)全同粒子在兩體短程相互作用下的散射問(wèn)題。對(duì)于n+d體系，分別用1、2、3表示這3個(gè)核子(通常取入射中子為粒子1，氘核中的中子和質(zhì)子分別為粒子2和粒子3)，它們的質(zhì)量為m，核子-核子相互作用勢(shì)用va(α=1，2，3)表示。在動(dòng)量空間，三體系統(tǒng)的波函數(shù)可用3套雅可比坐標(biāo)(pα，qα)表示，分別對(duì)應(yīng)3個(gè)道哈密頓量Hα(α=1，2，3)。

入射道(α=1)的道哈密頓量H1為：

(1)

三體系統(tǒng)的總哈密頓量(僅考慮兩體核力)為：

H=H1+V1=H2+V2=H3+V3

(2)

其中，Vα=vβ+vγ，vα為粒子β、γ之間的兩體相互作用(α，β，γ=1，2，3)。對(duì)于道哈密頓量Hα，反應(yīng)道格林函數(shù)定義為：

(3)

對(duì)于n+d三核子體系，總能量E=Ecm+ε0，其中Ecm為質(zhì)心系能量，ε0=-2.224 MeV為氘核的束縛能。

三體系統(tǒng)的彈性散射和破裂反應(yīng)的躍遷算符U所滿足的法捷耶夫方程[8-9]為：

U=Pv1+Pv1G1U

(4)

其中，P=P12P23+P13P23為粒子置換算符。

彈性散射振幅可用U算符的矩陣元表示為：

(5)

單道破裂反應(yīng)振幅可用U算符的矩陣元表示為：

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

其中，(pi，qi)為反應(yīng)道的雅可比動(dòng)量(i=1, 2, 3)，它們之間具有簡(jiǎn)單的換算關(guān)系[11]：

(11)

(12)

對(duì)于3個(gè)全同粒子體系的破裂反應(yīng)，可只計(jì)算1個(gè)道的破裂反應(yīng)振幅，如TΣs(p1,q1)，而其他道的破裂反應(yīng)振幅可通過(guò)以上運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系計(jì)算得到。由破裂反應(yīng)總振幅可得到破裂反應(yīng)五微分截面：

(13)

(14)

其中，klab為入射中子在實(shí)驗(yàn)室系的動(dòng)量。破裂反應(yīng)的雙微分截面(破裂反應(yīng)截面隨某一出射粒子的能量和角度的變化關(guān)系)可通過(guò)對(duì)五微分截面的積分得到：

(15)

(16)

同樣地，對(duì)雙微分截面積分可得到破裂反應(yīng)總截面(σbu)。但從數(shù)值計(jì)算的角度看，這樣得到的破裂反應(yīng)總截面難免存在較大的數(shù)值精度問(wèn)題。在本文所關(guān)注的幾十MeV的入射能量范圍內(nèi)，三核子反應(yīng)體系只有彈性散射和破裂反應(yīng)兩個(gè)反應(yīng)道，因此破裂反應(yīng)總截面可通過(guò)總截面(σtot)和彈性散射總截面(σel)的差得到，即：

σbu=σtot-σel

(17)

而σtot可利用光學(xué)定理，由零度彈性散射振幅的虛部得到。從而避免了由對(duì)三體反應(yīng)運(yùn)動(dòng)學(xué)的多重積分所帶來(lái)的數(shù)值精度問(wèn)題。

在采用一階可分離勢(shì)形式的s-波核子-核子相互作用的條件下，方程(4)形式的法捷耶夫方程可轉(zhuǎn)化為以下積分方程[8]：

(18)

躍遷振幅F與U矩陣的關(guān)系為：

〈q,φs,ΣL|g0(E)U(E)g0(E)|q′,φs′,ΣL〉

(19)

其中：L為第3個(gè)粒子相對(duì)兩體子系統(tǒng)的軌道角動(dòng)量；g0(E)為自由的核子-核子相互作用體系的格林函數(shù)；φs為可分離勢(shì)的形狀因子。本文采用Yamaguchi形式的可分離勢(shì)[10]：

νs=|φs〉λs〈φs|s=0, 1

(20)

(21)

在此相互作用下，兩體體系的t矩陣也具有可分離的形式：

ts(E)=|φs〉τs〈φs|

(22)

(23)

值得注意的是，方程(18)中的τ函數(shù)對(duì)應(yīng)的是三體系統(tǒng)中的兩體t矩陣。本文所用的可分離勢(shì)參數(shù)βs和λs來(lái)自文獻(xiàn)[10]。

方程(18)中的Z函數(shù)對(duì)應(yīng)兩體有效相互作用。在上述一階可分離勢(shì)的條件下，其表達(dá)式為：

(24)

本文采用波包展開(kāi)方法求解方程(18)形式的法捷耶夫方程[8]。n+d三核子體系的彈性散射和破裂反應(yīng)振幅可由方程的解直接得到：

(25)

(26)

(27)

2 結(jié)果與討論

n+d三核子體系彈性散射微分截面計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較示于圖1，其中Elab為中子入射能量，θc.m.為質(zhì)心系角度，1 b=10-24cm2。利用上述Yamaguchi形式的一階s-波可分離勢(shì)求解方程(18)，得到的入射能在20 MeV以下的n+d體系的彈性散射如圖1中藍(lán)色線所示(實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)自文獻(xiàn)[13-18])。與之對(duì)比的紅色線是采用分離化的巴黎勢(shì)(PEST16勢(shì))的計(jì)算結(jié)果[19]。除了s-波相互作用，PEST16勢(shì)還包含p-波相互作用，并給出了氘核的d態(tài)成分，因此PEST16勢(shì)應(yīng)較Yamaguchi勢(shì)能更好地描述n+d體系的核反應(yīng)。與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較也證實(shí)了這一點(diǎn)。但從圖1也可看出，低能條件下n+d體系的彈性散射主要是由s-波相互作用貢獻(xiàn)的，因此即使采用非常簡(jiǎn)單的兩參數(shù)的Yamaguchi勢(shì)，也可較好地描述入射能在20 MeV以下的彈性散射數(shù)據(jù)。

圖1 n+d三核子體系彈性散射微分截面計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較Fig.1 Comparisons between calculated results and experimental data of elastic scattering differential cross sections of n+d three nucleon system

圖2為采用PEST16勢(shì)計(jì)算的20 MeV以下入射能的彈性散射計(jì)算結(jié)果，及與ENDF/B-Ⅷ.0、CENDL-3.2、JENDL-5和JEFF-3.3庫(kù)中評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)的比較。ENDF/B-Ⅷ.0數(shù)據(jù)庫(kù)采用R-矩陣分析結(jié)合三體相空間分布的辦法。而CENDL-3.2、JENDL-5和JEFF-3.3則與本文相同，均通過(guò)求解法捷耶夫方程得到彈性散射截面。CENDL-3.2采用s-波可分離勢(shì)，JENDL-5采用PEST16可分離勢(shì)，JEFF-3.3采用的則是現(xiàn)實(shí)核力INOY。可看出，除JENDL-5在入射能小于約2 MeV的條件下與本工作及其他評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)的結(jié)果有較明顯的差別外，各組理論計(jì)算對(duì)于20 MeV入射能以下的彈性散射實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)均可做出準(zhǔn)確的描述。

最近，北京大學(xué)研究團(tuán)隊(duì)測(cè)量了入射能在13.56～52.48 MeV范圍內(nèi)的n+d彈性散射截面[20]。本工作采用Nijmegen現(xiàn)實(shí)核力[21]，通過(guò)求解法捷耶夫方程對(duì)其進(jìn)行了理論分析，計(jì)算結(jié)果如圖3所示。目前評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)庫(kù)中只有ENDF/B-Ⅷ.0和JENDL-5有此能量范圍內(nèi)的評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)。從圖3可看出，本工作的計(jì)算結(jié)果與JENDL-5求解法捷耶夫方程的結(jié)果幾乎完全一致(實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)自文獻(xiàn)[20，22-23])。圖3b中，ENDF/B-Ⅷ.0評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)庫(kù)的結(jié)果更好地描述了27.5 MeV能量下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，但需要注意到它是基于R矩陣擬合，而非基于少體核反應(yīng)理論計(jì)算的結(jié)果。

圖3 本工作對(duì)入射能高于20 MeV條件下的n+d彈性散射角分布的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及ENDF/B-Ⅷ.0和JENDL-5庫(kù)中評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)的比較Fig.3 Comparison between results of this work calculations and n+d elastic scattering data at incident energy above 20 MeV and results in ENDF/B-Ⅷ.0 and JENDL-5 libraries

圖4 n+d散射中出射中子和出射質(zhì)子的雙微分截面理論計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)以及其他數(shù)據(jù)庫(kù)的比較Fig.4 Results of calculations for double differential cross sections of emitting neutron and proton particles in n+d scattering and their comparisons with experimental data and other libraries

圖5為n+d體系彈性散射總截面和破裂反應(yīng)(d(n,2n)p反應(yīng))出射中子總截面的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)以及ENDF/B-Ⅷ.0、CENDL-3.2、JENDL-5和JEFF-3.3庫(kù)中評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)的比較(實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)自文獻(xiàn)[14,17,22,29-35])。在這些計(jì)算中，本工作計(jì)算采用PEST16兩體相互作用。如前所述，利用光學(xué)定理得到總截面，從總截面中減去彈性散射總截面得到破裂反應(yīng)出射中子總截面。可看到，本工作的計(jì)算結(jié)果整體符合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。但與其他評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)庫(kù)中的結(jié)果在某些條件下存在一定的差異。這些差異的具體原因有待進(jìn)一步研究。

圖5 本工作對(duì)彈性散射總截面σe1和(n,2n)破裂反應(yīng)出射中子總截面σbu的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及ENDF/B-Ⅷ.0、CENDL-3.2、JENDL-5和JEFF-3.3庫(kù)中評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)的比較Fig.5 Comparisons among theoretical calculations for total elastic scattering cross section σe1 andd(n,2n)p reaction cross section σbu, experimental data, and results in other libraries

3 總結(jié)與展望

本文介紹了利用法捷耶夫方程方法計(jì)算氘核中子反應(yīng)截面的理論框架、計(jì)算結(jié)果及其與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和ENDF/B-Ⅷ.0、CENDL-3.2、JENDL-5、JEFF-3.3等數(shù)據(jù)庫(kù)中評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)的比較。對(duì)于彈性散射截面的計(jì)算，本工作實(shí)現(xiàn)了采用PEST16、Nijmegen等超出s-波相互作用的兩體核力的法捷耶夫方程的求解，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合良好，并可實(shí)現(xiàn)對(duì)入射能高于20 MeV條件下的彈性散射截面的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。對(duì)于破裂反應(yīng)，目前本工作僅實(shí)現(xiàn)了采用Yamaguchi形式的可分離化的s-波相互作用的法捷耶夫方程理論的計(jì)算。利用超出s-波相互作用對(duì)n+d三核子體系破裂反應(yīng)截面的準(zhǔn)確計(jì)算是未來(lái)研究的重點(diǎn)內(nèi)容。