余新宏，朱文君，鄭劍平

(合肥經(jīng)濟學院基礎(chǔ)課教學部，安徽 合肥 230011)

0 引言

考慮線性模型

(1)

其中，Y是n×1的觀測隨機向量，X是n×p列滿秩的設(shè)計陣，β是p×1未知參數(shù)向量，ε是n×1的未知隨機誤差向量，n≥p.

在線性模型的缺落值及數(shù)據(jù)挖掘、動植物研究、經(jīng)濟計量等問題中，一般不能完全觀測到Y(jié)，而只能觀測到Y(jié)的一部分分量或Y的某些線性組合，這種情況下獲取的變量Y的數(shù)據(jù)稱為聚集數(shù)據(jù).通常情況下，可觀測到向量Z=TY，其中T為已知n階方陣.對此，文獻[1]提出了Peter & Karsten估計：

(2)

(3)

并提出了聚集數(shù)據(jù)線性模型參數(shù)的廣義嶺估計[4]：

(4)

(5)

嶺型估計過于重視估計參數(shù)的穩(wěn)定性而輕視了其無偏性影響，常使得估計參數(shù)的均值與實際值產(chǎn)生較大的偏離.Liu型估計的優(yōu)點在于通過引入新的參數(shù)，使得估計既能保證估計參數(shù)的穩(wěn)定性，又能保證估計參數(shù)的近似無偏性，因而這方面的研究與應(yīng)用為一些學者所熱捧.周永正等[6]提出了聚集數(shù)據(jù)線性模型廣義聚集雙參數(shù)估計：

β*(K,D)=(X′T′TX+I)-1(X′T′TX+QDQ′)(X′T′TX+QKQ′)-1X′T′TY.

(6)

(7)

(8)

上述效率分別稱為推廣歐氏模之比意義下的效率和加權(quán)歐氏模之比意義下的效率.

注1本文中λi(A)表示方陣A的第i個順序特征值.

1 定義和引理

定義1在線性模型(1)下，未知參數(shù)向量β的估計

(9)

稱為聚集數(shù)據(jù)線性模型參數(shù)β的廣義聚集雙參數(shù)改進估計.其中,D=diag(d1,d2,…,dp),K=diag(k1,k2,…,kp),00(i=1,2,…,p)；Q是使Q′X′T′TXQ=Λ，Λ=diag(λ1,λ2,…,λp)的正交矩陣，其中h>0的參數(shù).

注3在定義1中，當d1=d2=…=dp=h時，得

注4在定義1中，當d1=d2=…=dp=1,k1=k2=…=kp=0時，得

引理1設(shè)U為n×p階矩陣.Δ=diag(δ1,δ2,…,δp),δ1≥δ2≥…≥δp>0,且U′U=Δ,則對于任意n階矩陣A>0，有:

證明見文獻[7].

引理2設(shè)A、B為n階實對稱矩陣，且B>0，則有

λn(B)λi(A2)≤λi(ABA)≤λ1(B)λi(A2)(i=1,2,…,n).

(10)

證明見文獻[8].

引理3設(shè)A為P階正定陣，則有p1-q(trA)q≤trAq≤(trA)q(q≥1).

證明見文獻[8].

證明

(X′T′TX+hI)-1(X′T′TX+I)(X′T′TX+I)-1(X′T′TX+QDQ′)(X′T′TX+

A(X′T′TX+I)-1(X′T′TX+QDQ′)(X′T′TX+QKQ′)-1(X′T′TX)β=

AB(X′T′TX)β.

為了討論此類有偏估計的優(yōu)良性，首先需要進入下列定義.

證明設(shè)q1,q2,…,qp為X′T′TX對應(yīng)于特征值λ1,λ2,…,λp的標準正交特征向量，記

Q=(q1,q2,…,qp), Λ=diag(λ1,λ2,…,λp),

(ABX′T′TX-I)ββ′(ABX′T′TX-I)′ ；

σ2ABX′T′TXB′A′+(ABX′T′TX-I)ββ′(ABX′T′TX-I)′ ;

MSE(β*(K,D))=tr(Cov(β*(K,D)))+‖E(β*(K,D))-β‖2=

σ2BX′T′TXB′+(BX′T′TX-I)ββ′(BX′T′TX-I)′.

因此，

σ2ABX′T′TXB′A′+(ABX′T′TX-I)ββ′(ABX′T′TX-I)′-

σ2BX′T′TXB′+(BX′T′TX-I)ββ′(BX′T′TX-I)′=

其中，b1=(ABX′T′TX-I)ββ′(ABX′T′TX-I)′,b2=(BX′T′TX-I)ββ′(BX′T′TX-I)′.因為

3 廣義聚集雙參數(shù)改進估計代替最小二乘法對的估計效率

定理2設(shè)n階方陣T的秩為Rank(T)=p,X′X的特征值為δ1≥…≥δp>0,TT′的特征值為h1≥…≥hp>0,X′T′TX的特征值為λ1≥…≥λp>0,k1≥…≥kp≥0,0

(11)

設(shè)B=(X′X)-1，由引理3知

又設(shè)

V=TX(X′T′TX+QKQ′)-1(X′T′TX+QDQ′)(X′T′TX+hI)-1Q，

其中Q為正交矩陣，且Q′X′T′TXQ=Λ.

V′V=Q′(X′T′TX+hI)-1(X′T′TX+QDQ′)(X′T′TX+QKQ′)-1X′T′TX·

(X′T′TX+QKQ′)-1(X′T′TX+QDQ′)(X′T′TX+hI)-1Q=

Q′(X′T′TX+hI)-1QQ(X′T′TX+QDQ′)QQ′(X′T′TX+QKQ′)-1QQ′·

(X′T′TX)QQ′(X′T′TX+QKQ′)-1QQ′(X′T′TX+QDQ′)QQ′(X′T′TX+hI)-1Q=

(Λ+hI)-1(Λ+D)(Λ+K)-1Λ(Λ+K)-1(Λ+D)(Λ+hI)-1=

diag[(λ1+h)-2·(λ1+d1)2·(λ1+k1)-2λ1,…,(λi+h)-2·(λi+di)2·(λi+ki)-2λi,…,

(λp+h)-2·(λp+dp)2·(λp+kp)-2λp].

又由引理1、引理2可得

tr(C)=tr(Q′CQ)=tr[Q′(X′T′TX+hI)-1(X′T′TX+QDQ′)(X′T′TX+QKQ′)-1X′T′TT′TX·

(X′T′TX+QKQ′)-1(X′T′TX+QDQ′)(X′T′TX+hI)-1Q]≥

從而

故有

定理3設(shè)n階方陣T的秩為Rank(T)=p,X′X的對應(yīng)特征值為δ1≥…≥δp>0,TT′的對應(yīng)特征值為h1≥…≥hp>0,X′T′TX的對應(yīng)特征值為λ1≥…≥λp>0,H的對應(yīng)特征值為q1≥…≥qp>0,k1≥…≥kp≥0,0

(12)

又因

σ2[(X′T′TX+hI)-1(X′T′TX+QDQ′)(X′T′TX+QKQ′)-1X′T′TT′TX·

(X′T′TX+QKQ′)-1(X′T′TX+QDQ′)(X′T′TX+hI)-1+σ-2εε′],

σ4tr{[(X′T′TX+hI)-1(X′T′TX+QDQ′)(X′T′TX+QKQ′)-1X′T′TT′TX·

(X′T′TX+QKQ′)-1(X′T′TX+QDQ′)(X′T′TX+hI)-1+σ-2εε′]}·

H·[(X′T′TX+hI)-1(X′T′TX+QDQ′)(X′T′TX+QKQ′)-1X′T′TT′TX·

(X′T′TX+QKQ′)-1(X′T′TX+QDQ′)(X′T′TX+hI)-1+σ-2εε′].

設(shè)B=(X′X)-1，

C=(X′T′TX+hI)-1(X′T′TX+QDQ′)(X′T′TX+QKQ′)-1X′T′TT′TX·

(X′T′TX+QKQ′)-1(X′T′TX+QDQ′)(X′T′TX+hI)-1,

設(shè)P為正交矩陣，使P·diag(q1,q2,…,qp)·P′=H.

tr(BHB)=tr(B2H)=tr[B2·P·diag(q1,q2,…,qp)·P′]=

其中，b11,…,bii,…,bpp為P′B2P的主對角線元素.

tr[(C+σ-2εε′)H(C+σ-2εε′)]=tr[(C+σ-2εε′)2H]≥

tr[C2P·diag(q1,q2,…,qp)·P′]=

其中，c11,…,cii,…,cpp為P′C2P的主對角線元素.

由定理2的證明可知

故

即

4 廣義聚集雙參數(shù)改進估計代替Peter & Karsten估計對的估計效率

定理4設(shè)n階方陣T的秩為Rank(T)=p,X′T′TX的特征值為λ1≥…≥λp>0，TT′的特征值為h1≥…≥hp>0,k1≥…≥kp≥0,0≤dp≤…≤d1<1,則

(13)

證明類似于定理2的證明，略.

定理5設(shè)n階方陣T的秩為Rank(T)=p，X′T′TX的特征值為λ1≥…≥λp>0，TT′的特征值為h1≥…≥hp>0,H的特征值為q1≥…≥qp>0,k1≥…≥kp≥0，0≤dp≤…≤d1<1，則

(14)

證明類似于定理3的證明，略.

5 結(jié)論