王鑫梅，張道祥

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 蕪湖 241002)

可再生資源(如漁業(yè)、林業(yè)資源等)會因過度開采受到損害而衰退，所以近幾十年來，對可再生資源的理論評估有了迅速發(fā)展[1-2].現(xiàn)有研究結(jié)果表明收獲效應(yīng)對捕食者-食餌系統(tǒng)動力學(xué)有著重要影響，其中收獲率包括常數(shù)收獲率[3-4]、線性收獲率[5-6]和非線性收獲率[7-8].劉霞等[7]研究了一類具有非線性收獲的捕食系統(tǒng)的分支特性，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)由于非線性收獲的出現(xiàn)變得更加復(fù)雜.Sambath等[9]研究了捕食者具有雙曲死亡率的捕食者-食餌模型的Hopf分支方向以及產(chǎn)生周期解的穩(wěn)定性：

(1)

(2)

其中正常數(shù)h代表非線性收獲效應(yīng)項的收獲系數(shù).

事實上，生物種群密度的變化受到諸如妊娠等時滯因素的影響.所以時滯微分方程模型被廣泛研究[11-12].另外，分?jǐn)?shù)階微積分是整數(shù)階微積分的一般情況，由其建立的模型能夠更準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的動態(tài)行為[13-14].基于以上考慮，本文將研究如下一類具有時滯和非線性收獲效應(yīng)的分?jǐn)?shù)階捕食者-食餌模型：

(3)

本文主要討論系統(tǒng)(3)的Hopf分岔特性.與文獻(xiàn)[9-10]不考慮時滯和分?jǐn)?shù)階指數(shù)不同，本文系統(tǒng)地討論了時滯效應(yīng)、分?jǐn)?shù)階指數(shù)、非線性收獲效應(yīng)對捕食系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，因此所提出的模型更加真實且具有更豐富的動力學(xué)特性.下文先給出系統(tǒng)(3)正平衡點的存在定理以及局部穩(wěn)定性和Hopf分岔定理，然后通過數(shù)值模擬分析時滯、非線性收獲效應(yīng)及分?jǐn)?shù)階指數(shù)對Hopf分岔的影響，最后得出結(jié)論.

1 局部穩(wěn)定性和Hopf分岔

為了獲得生物學(xué)平衡點，首先考慮如下方程：

(4)

并作出假設(shè)(H1)ρ>h.

定理1當(dāng)條件H1成立時，方程(4)至少存在一個正平衡點X*(u*,v*).

A0u3+A1u2+A2u+A3=0.

(5)

(6)

考慮系統(tǒng)(3)在正平衡點X*(u*,v*)的局部穩(wěn)定性，即考慮線性化系統(tǒng)在(0,0)處的穩(wěn)定性，對線性化系統(tǒng)的兩端進(jìn)行Laplace變換：

(7)

M1(s)+M2(s)e-sτ=0.

(8)

其中，M1(s)=sq1+q2-a22sq1-a11sq2+a11a22,M2(s)=-a12b21.

首先，考慮當(dāng)τ=0時，系統(tǒng)(3)在正平衡點X*(u*,v*)處的穩(wěn)定性.假設(shè)(H2)a11≤0.

定理2當(dāng)τ=0和假設(shè)H2成立時，系統(tǒng)(3)的正平衡點X*(u*,v*)是局部漸近穩(wěn)定的.

證明當(dāng)τ=0時，由特征方程(8)可得

λ2+B1λ+B2=0.

(9)

其中，B1=-(a11+a22),B2=a11a22-a12b21.注意到a12<0,a22<0,b21>0和條件H2成立,可得B1>0,B2>0.由Routh-Hurwitz定理可知,方程(9)的根都有負(fù)實部.基于分?jǐn)?shù)階微分方程穩(wěn)定性的判據(jù)[15],當(dāng)τ=0時，系統(tǒng)(3)在正平衡點X*(u*,v*)處是局部漸近穩(wěn)定的.

(10)

其中,

對式(10)求解,有

(11)

又cos2wτ+sin2wτ=1,可以得到關(guān)于w的方程:

g12(w)+g22(w)=1.

(12)

為了得到本文的主要結(jié)果,假設(shè)式(12)至少有一個正實根w0.再根據(jù)方程(11)中的第一個式子，可得

(13)

進(jìn)一步定義分岔點τ0=min{τ(k)},k=0,1,2,….

證明對特征方程(8)的兩邊關(guān)于τ求導(dǎo)：

(14)

化簡可得

(15)

因此當(dāng)假設(shè)H3成立時,

(16)

即橫截性條件成立.基于以上討論，可以推導(dǎo)出如下定理：

定理4假設(shè)條件H1—H3成立，那么對于系統(tǒng)(3)：

ⅰ)當(dāng)τ∈[0,τ0)時，正平衡點X*(u*,v*)是局部漸近穩(wěn)定的；

ⅱ)當(dāng)τ=τ0時，在正平衡點X*(u*,v*)附近發(fā)生Hopf分岔，產(chǎn)生周期解.

2 數(shù)值模擬

選擇參數(shù)β=0.48,ρ=0.2,γ=1,k=0.6,h=0.12,α=1.35,q1=0.95,q2=0.95進(jìn)行數(shù)值模擬.

2.1 時滯對系統(tǒng)的影響

通過計算可得系統(tǒng)(3)的正平衡點為X*(0.286 2,0.596 4)，時滯臨界值τ0=2.655 1.并且容易驗證選取的參數(shù)值滿足條件H1—H3，從而根據(jù)定理4，若τ=2<τ0，那么系統(tǒng)(3)的正平衡點X*是局部漸近穩(wěn)定的(圖1)，當(dāng)時間t>250時，u(t)、v(t)分別穩(wěn)定在0.286 2和0.596 4；若τ=2.7>τ0，那么系統(tǒng)(3)在正平衡點X*附近發(fā)生Hopf分岔產(chǎn)生周期解(圖2).

圖1 q1=0.95, q2=0.95, τ=2<τ0時系統(tǒng)(3)的狀態(tài)軌線和相圖Fig.1 State trajectories and phase diagram of system (3) with q1=0.95, q2=0.95, τ=2<τ0圖2 q1=0.95, q2=0.95, τ=2.7>τ0時系統(tǒng)(3)的狀態(tài)軌線和相圖Fig.2 State trajectories and phase diagram of system (3) with q1=0.95, q2=0.95, τ=2.7>τ0

當(dāng)q1=q2=1時，系統(tǒng)(3)即為常微分系統(tǒng)，計算得到常微分系統(tǒng)的臨界時滯τ0*=2.064 4，由定理4知，當(dāng)τ∈[0,2.064 4)時系統(tǒng)平衡點達(dá)到穩(wěn)定，而上述分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)當(dāng)τ∈[0,2.655 1)時平衡點達(dá)到穩(wěn)定.不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)系統(tǒng)為分?jǐn)?shù)階時，系統(tǒng)的Hopf分岔延遲發(fā)生，同時系統(tǒng)的穩(wěn)定性區(qū)域擴大.

2.2 收獲效應(yīng)對系統(tǒng)的影響

考慮收獲效應(yīng)h對系統(tǒng)(3)正平衡點穩(wěn)定性的影響.h在區(qū)間[0,0.15]上取不同的值，可以得到一系列的正平衡點X*(u*,v*).從圖3中可以看出，隨著收獲效應(yīng)h的增加，捕食者和被捕食者的數(shù)量都在減少.這說明隨著對食餌的捕撈，捕食者的食物會減少，從而導(dǎo)致捕食者數(shù)量減少.根據(jù)對式(12)和(13)的計算，可以得到τ0和收獲效應(yīng)h的關(guān)系圖，如圖4所示，τ0隨著h的增加而減小，且曲線將平面分成上下兩個區(qū)域，曲線的上方為不穩(wěn)定區(qū)域，曲線的下方為穩(wěn)定區(qū)域.

圖3 h與正平衡點X*的關(guān)系Fig.3 The relation between h and X*圖4 τ0與收獲效應(yīng)h的關(guān)系Fig.4 The relation between τ0 and h

根據(jù)以上分析，在穩(wěn)定區(qū)域取τ0=2.85和h=0.02.圖5表示系統(tǒng)(3)在此參數(shù)條件下的積分曲線，可見系統(tǒng)(3)在正平衡點X*(u*,v*)處是局部漸近穩(wěn)定的.在不穩(wěn)定區(qū)域取τ0=2.85和h=0.1，圖6表明系統(tǒng)(3)在正平衡點X*(u*,v*)附近出現(xiàn)Hopf分岔并產(chǎn)生了極限環(huán).

圖5 τ=2.85和h=0.02的積分曲線Fig.5 The integral curve of τ=2.85 and h=0.02圖6 τ=2.85和h=0.1的積分曲線Fig.6 The integral curve of τ=2.85 and h=0.1

2.3 分?jǐn)?shù)階指數(shù)對系統(tǒng)的影響

考慮分?jǐn)?shù)階指數(shù)對系統(tǒng)(3)穩(wěn)定性的影響.固定q2=0.95，利用Matlab計算得到q1與τ0的關(guān)系(圖7),隨著q1的增大，τ0逐漸減小，即Hopf分岔會提前發(fā)生.這個結(jié)果也可以從圖8中得到驗證.

圖7 系統(tǒng)(3)的分?jǐn)?shù)階指數(shù)q1與τ0的關(guān)系Fig.7 The relation between q1 and τ0 of system (3)

圖8所示為q1=0.7,0.8,0.9和τ=2.5,q2=0.95時，系統(tǒng)(3)在正平衡點X*處關(guān)于u和v的狀態(tài)軌線和相圖.可以看出，q1越小，對系統(tǒng)(3)振蕩的抑制效果越明顯，系統(tǒng)(3)在正平衡點X*處會更早地趨于穩(wěn)定.

圖8 q2=0.95, τ=2.5, q1=0.7,0.8,0.9時系統(tǒng)(3)的狀態(tài)軌線和相圖Fig.8 State trajectories and phase diagram of system (3) with q2=0.95, τ=2.5, q1=0.7,0.8,0.9

注1q1、q2其中一個減小，會抑制分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的振蕩行為，從而使得系統(tǒng)提前穩(wěn)定.這與文獻(xiàn)[15]的結(jié)果一致.

3 結(jié) 論

本文首先建立了帶有時滯和非線性收獲效應(yīng)的分?jǐn)?shù)階生態(tài)動力學(xué)模型，并分別研究了時滯、收獲效應(yīng)和分?jǐn)?shù)階指數(shù)對模型Hopf分岔的影響.理論結(jié)果表明，當(dāng)時滯達(dá)到某個確定的臨界值時，系統(tǒng)在正平衡點會產(chǎn)生Hopf分岔從而出現(xiàn)周期解.數(shù)值結(jié)果表明，收獲效應(yīng)會影響系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性；分?jǐn)?shù)階指數(shù)也能改變系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性，分?jǐn)?shù)階指數(shù)越小，系統(tǒng)的正平衡點達(dá)到穩(wěn)定的時間越短.