鄭龍魁， 向陽， 盛晨興

(武漢理工大學 能源與動力工程學院，湖北 武漢 430000)

旋轉設備已廣泛應用于社會的各行各業(yè)中，并發(fā)揮著越來越重要的作用，滾動軸承是旋轉設備的關鍵部件之一，其動力學特征直接影響到旋轉設備的運行質量。隨著社會的不斷發(fā)展，旋轉設備對軸承等設備的動力學特性、穩(wěn)定性及精確度的要求越來越高，雖然人工智能的崛起，提高了故障診斷的精度和診斷的效率，但是為了能更好地理解軸承故障的機理機制和更有效率地研究故障滾動軸承的振動特性，建立滾動軸承的非線性動力學模型具有非常重要的意義[1-4]。

目前國內外已有很多學者研究了滾動軸承的動力學模型。Petersen等[5]建立了雙列滾動軸承的動力學模型，研究了軌道具有不同深度、不同長度的故障時，軸承的準靜載荷分布情況和剛度變化規(guī)律，分析表明當滾動體經過故障位置時，由于內圈與滾動體之間的接觸力將重新分配，所以滾動體剛度在加載方向減小，在卸載方向增加，還分析了滾動體經過故障位置時靜載荷力的波動，該方法的時頻響應具有較好的周期性和規(guī)律性。Upadhyay等[6]建立了滾動軸承的非線性動力學模型，研究了滾動體直徑變化和滾動體個數(shù)變化時對高速旋轉軸的非線性振動的影響，建模過程中滾動體與內外圈之間的剛度是非線性變化的，并添加了阻尼的影響，Newmark-β方法被用于求解動力學模型，結果表明當滾動體個數(shù)增加時意味著增加了系統(tǒng)的硬度，其可以減少BPF (ball passing frequency)的影響。Ahmadi等[7]建立了故障軸承的非線性動力學模型，分析了線剝落故障與滾動體接觸時的振動特性，在建立動力學模型時考慮了滾動元件的有限元尺寸，提高了模型預測故障振動響應的精確度。劉倩楠等[8]建立了外圈剝落時具有雙沖擊現(xiàn)象的軸承動力學模型，主要分析了滾動體與剝落區(qū)域的接觸特征，與實測數(shù)據相比較時該模型可以有效地計算出軸承剝落故障時的時頻響應。姚廷強等[9]基于多體系統(tǒng)動力學理論、Hertz接觸理論、軸承間隙、齒輪側隙以及載荷工況等因素，提出了球軸承-螺旋錐齒輪系統(tǒng)的分析方法，分析了軸承和齒輪的特征頻率的振動響應及影響規(guī)律。Singh等[10]研究了局部線性剝落故障時軸承的振動響應，建立了故障軸承的有限元模型，采用顯示動力學有限元軟件LS-DYNA (LS-Dynamic)對所建立的有限元模型進行仿真計算，將仿真得到的結果進行了信號預處理，結果表明該有限元仿真方法可以有效地計算出故障軸承的時頻特征，進而證明了該方法的有效性。Harsha[11]建立了滾動體與內外圈非線性剛度連接的動力學模型，介紹了非線性剛度的取值方法，分析了水平和垂直方向的時頻特征及其振動規(guī)律，剖析了Poincare映射的周期性運動，但是該方法的坐標選取復雜，沒有研究故障時軸承振動響應。

以上文獻都對滾動軸承的動力學模型進行了研究，但很少有學者是從轉動速度的角度去分析故障軸承的振動特點，本文將從轉速的角度去建立故障區(qū)域的沖擊激勵，其過程是將故障區(qū)域的接觸特征與滾動軸承的轉速相結合，建立滾動體與故障區(qū)域之間的沖擊激勵公式，該公式可有效反映出轉速對故障沖擊激勵的影響。采用Hertz接觸理論求得滾動體與內外軌道之間的非線性剛度系數(shù)，并推導出軸承各部件的能量貢獻公式，進一步，基于拉格朗日方程建立了以質量-彈簧表示的故障滾動軸承的非線性動力學模型，并進行了試驗驗證。

1 軸承的相關參數(shù)

滾動軸承的二維振動模型如圖1所示，將復雜的滾動軸承系統(tǒng)簡化為質量-彈簧系統(tǒng)，其中外圈固定在軸承座上，內圈固定于轉軸上，隨轉軸的旋轉而旋轉。加載后內圈會發(fā)生一定距離的偏移，此時滾動體與內外圈相的接觸符合Hertz接觸理論。αj是第j個滾動體的角位置，θ是由保持架控制的2個滾動體之間的間隔角度，其與滾動體的個數(shù)有關，它們的表達式分別為[12]：

圖1 滾動軸承的二維振動模型

(1)

(2)

式中：φ0是初始相位角；ωball是滾動體的公轉角速度；Nb是滾動體的個數(shù)；t是時間。

由于軸承振動非常復雜，在建立軸承的動力學模型時應滿足以下假設：1)滾動體、內外圈和轉軸在同一平面內運動；2)滾動體無打滑現(xiàn)象；3)不考慮阻尼的影響。

當受到外界作用力時，根據赫茲接觸定理可知，軸承中滾動體與內外圈的接觸屬于非線性的彈性接觸，其接觸面呈現(xiàn)出橢圓的形狀，滾動體與內外圈接觸的非線性剛度系數(shù)可由式(3)計算[11-12]：

(3)

式中：Ki表示滾動體與內圈接觸的剛度參數(shù)；Ko表示滾動體與外圈接觸的剛度參數(shù)；δi和δo分別是滾動體與內外圈的接觸變形量。

內外圈接觸的剛度參數(shù)分別與內外圈軌道的曲率和∑ρi、曲率差有關，曲率和、曲率差可由軸承本身的尺寸參數(shù)計算得出，因此軸承整體的有效的非線性彈性模量K由內圈的彈性模量計算得到：

(4)

式中對球軸承n=3/2。

利用拉格朗日方程可以比較簡單地推導得到用廣義坐標(ρ、x、y)表示的軸承振動系統(tǒng)的運動微分方程[13-14]，拉格朗日方程可以表示為：

(5)

T=Tr.e.+Ti.r.+To.r.+Trotor

(6)

式中：Tr.e.是滾動體的動能；Ti.r.是內軌道動能；To.r.是外軌道動能；Trotor是轉子動能。

V=Vr.e.+Vi.r.+Vo.r.+Vrotor+Vs

(7)

式中：Vr.e.是滾動體的勢能；Vi.r.是內軌道勢能；Vo.r.是外軌道勢能；Vrotor是轉子勢能；Vs是滾動體與軌道間的彈性勢能。

圖2是加載后軸承的局部放大圖，其中αj是第j個滾動體中心加載前的角位置(如圖1所示)；αoj和αij分別是加載后第j個滾動體中心與外、內軌道中心的角位置；Kin和Kout分別是滾動體與內外圈的接觸剛度；ρj和χj分別是承載后滾動體中心到外圈中心和內圈中心的距離；Min和Mout分別為內外圈的質量中心；Mball是滾動體的質量中心。加載后內圈質量中心發(fā)生偏移現(xiàn)象，設偏移距離分別表示為xin和yin，外圈固定在軸承座上，所以外圈質量中心不發(fā)生偏移，第j個滾動體質量中心偏移后的位置用ρj和αj來表示。

圖2 滾動軸承的彈簧質量模型

1.1 滾動體的動能與勢能

(8)

式中：mj是第j個滾動體的質量；φj第j個滾動體的轉動慣量；ρj是第j個滾動體的位移向量，其表達式為：

ρj=(ρjsinαj)i+(ρjcosαj)j

(9)

經化簡整理得：

(10)

(11)

式中：R是軸承外軌道半徑；ρr是滾動體半徑。

因此第j個滾動體的動能表達式為：

(12)

Nb個滾動體的總動能和總勢能分別表示為：

(13)

(14)

1.2 內圈和轉軸的動能與勢能

軸承加載后分別用xin和yin分別表示x方向和y方向上的偏移距離，轉軸和內圈具有相同的偏移距離，內圈和轉軸的位移矢量公式為：

rin=xini+yinj

(15)

對其進行求導及平方后整理可得內圈的動能為：

(16)

內圈相對于坐標系原點的勢能變化為：

Vi.r.=mingyin

(17)

同理，轉軸的動能和勢能分別為：

(18)

Vrotor=mrotorgyin

(19)

式中：min是內圈質量；Iin是內圈轉動慣量；mrotor是轉軸質量；Irotor是轉軸轉動慣量。

1.3 外圈的動能與勢能

外圈固定于軸承坐上，外圈的質量中心點不發(fā)生任何變化，因此外圈的動能和勢能均為0，即To.r.=0,Vo.r.=0。

1.4 彈性接觸的勢能

軸承工作時，滾動體與內外圈的接觸是一種符合赫茲接觸定理的非線性連接，該彈性勢能為：

(20)

式中：δin是滾動體與內圈的接觸變形量；δout是滾動體與外圈的接觸變形量。δin和δout的分別表示為：

(21)

式中：r是內軌道半徑；ρr滾動體半徑；χj內圈質量中心到滾動體中心的距離。

(22)

式中：R為外軌道半徑；ρj為外圈質量中心到第j個滾動體中心的距離；γ0為軸承中滾動體和內外圈之間的間隙如圖2所示。

由圖2可知，第j個滾動體到內圈質量中心距離χj與廣義坐標xin、yin和ρj的關系式：

(23)

根據式(23)可推導出相關參數(shù)的表達式。

2 軸承的碰撞沖擊方程

圖3(a)展示了軸承外圈故障的示意圖，當軸承外圈發(fā)生故障時，滾動體經過故障區(qū)域可分為3個階段：1)滾動體即將進入故障區(qū)域；2)滾動體處于故障區(qū)域中；3)滾動體即將離開故障區(qū)域。根據參考文獻[15]可知：滾動體從階段2進入階段3的過程對軸承振動的影響最大，該過程將產生一個作用時間較短(突然增大而后迅速消失)、量值較大的沖擊力Fco，其表達式為：

圖3 軸承故障模型

(24)

式中：m為滾動體的質量；tb為碰撞時間；vball為保持架的轉動速度，其可以表示為：

vball=ωball·dm

(25)

式中dm是軸承的節(jié)圓直徑。

設相對于x軸的外圈故障中心的角位置為βo(0°≤βo≤360°),故障范圍用β表示見圖3，即滾動體與故障區(qū)域所產生的沖擊方程可以表示為：

(26)

式中 mod是取余函數(shù)。

同理，當軸承內圈發(fā)生故障如圖3(b)所示，β1是內圈故障的角度范圍，滾動體與內圈故障接觸的流程與外圈的流程相同。滾動體從階段2進入階段3的也將產生一個作用時間較短(突然增大而后迅速消失)、量值較大的沖擊力Fci[15]。由于內圈和滾動體均有轉動速度，因此沖擊力Fci不僅與滾動體的轉速度有關，還與內圈的轉速有關，其表達式為：

(27)

式中vi為內軌道的轉動速度。因此內圈故障時，沖擊方程可以表示為：

Fi=

(28)

式中：ωin為內圈角速度；t為軸承運行時間；ωball為保持架的角速度。

3 故障軸承的動力學方程

將式(13)～(14)、(16)～(20)、(26)和(28)分別代入式(5)～(7)中可得故障軸承的動力學公式：

1)外圈故障：

(29)

2)混合故障：

(30)

4 仿真及實驗驗證

以6206深溝球滾動軸承為研究對象，采用Newmark-β方法求解非線性動力學方程組。6206軸承的幾何參數(shù)見表1，設置相關參數(shù)：γ0取值為0.001 mm；滾動體的初始位置(ρj)為22 mm；仿真步長0.000 1 s；內圈的初始偏移量xin和yin均為10-3mm；外部加載力(W)取值50 N；βo=270；碰撞時間tball=0.001； s；仿真速度分別為21 rad/s和42 rad/s。圖4是專門設計的故障軸承試驗臺，該試驗臺由三向異步電機、扭矩傳感器、減速齒輪箱、偏心輪、試驗軸承、磁力制動器以及聯(lián)軸器等組成。

表1 6206軸承的幾何尺寸和物理屬性

圖4 故障軸承試驗臺

采用電火花在軸承上加工矩形凹槽作為故障缺陷，故障尺寸6 mm×0.5 mm×0.5 mm如圖5所示，其中一個軸承只在外圈上加工矩形故障，另一個軸承的內圈和外圈上分別加工矩形故障。

圖5 6206軸承局部缺陷圖片

圖6展示了軸承振動數(shù)據采集的示意圖，如圖6所示，數(shù)據采集系統(tǒng)是由加速度傳感器(LC0101)、NI采集系統(tǒng)(采集單元：9 234)、數(shù)據傳輸線和計算機組成。數(shù)據采集的過程：傳感器用于采集軸承和齒輪箱的振動信號，所采集的振動信號通過數(shù)據線和NI采集系統(tǒng)傳輸?shù)接嬎銠C中，并在計算機中做進一步的處理與分析。通過改變電機轉速(200 r/min、400 r/min)和更換不同故障的軸承，分別采集了不同轉速、不同故障類型的試驗軸承的振動數(shù)據。由于試驗臺上的噪聲較大，因此采用了帶阻濾波器，濾除了部分噪聲，以提高試驗結果的可讀性。

圖6 數(shù)據采集示意

1)外圈故障。

圖7(a)和(b)分別是仿真和實測數(shù)據在轉速為21 rad/s時的時域圖，圖中都存在著周期性振動。圖7(c)和(d)分別是仿真和實測數(shù)據的頻域圖，仿真數(shù)據的轉動頻率為3.36 Hz與實測信號的轉動頻率3.16 Hz非常接近，并且仿真數(shù)據中出現(xiàn)了外圈的故障頻率11.9 Hz及其倍頻，約等于實測數(shù)據的外圈故障頻率11.4 Hz及其倍頻。

圖7 外圈故障軸承(21 rad/s)

由圖4可知，試驗軸承位于減速齒輪箱和磁力制動器之間，因此試驗軸承處的轉動速度略低于理論上的轉動速度，進而引起了試驗軸承的轉動頻率、外圈故障頻率和內圈故障頻率都略低于理論計算結果；在試驗過程中，不可避免地會受到外界環(huán)境(如溫度變化、潤滑、磨損等)的影響，這些因素不僅會影響試驗結果的時域波形，還可能在頻域圖中產生比仿真結果更多的峰值；軸承的非線性動力學模型是一種理想的計算模型，一旦確定了模型中的參數(shù)，其將不受外界因素(比如溫度、潤滑、磨損等)的影響，因此仿真結果中的噪音非常少。

圖8(a)和(b)分別是仿真和實測數(shù)據在轉速為42 rad/s時的時域圖，圖中都存在周期性沖擊振動。圖8(c)和(d)分別是仿真和實測數(shù)據的頻域圖，圖8(c)中轉動頻率為6.67 Hz，約等于圖8(d)中的轉動頻率6.4 Hz，圖8(c)中出現(xiàn)了外圈的故障頻率23.78 Hz及其倍頻，與圖8(d)中的外圈故障頻率23.03 Hz及其倍頻非常相近。

圖8 外圈故障軸承(42 rad/s)

2)內外圈混合故障。

圖9(a)和(b)分別是仿真和實測數(shù)據在轉速為21 rad/s時的時域圖，兩圖中都存在周期性的沖擊振動。圖9(c)和(d)分別是仿真和實測數(shù)據的頻域圖，圖9(c)中的轉動頻率為3.34 Hz約等于圖9(d)中的轉動頻率3.16 Hz，圖9(c)中的外圈故障頻率為11.44 Hz，內圈故障頻率為18.1 Hz，分別與圖9(d)中的外圈故障頻率11.4 Hz和內圈故障頻率19 Hz相近，并且圖9(c)和(d)中都出現(xiàn)了轉動頻率、外圈故障頻率和內圈故障頻率的倍頻。

圖9 混合故障軸承(21 rad/s)

圖10(a)和(b)分別是仿真和實測數(shù)據在轉速為42 rad/s時的時域圖，仿真和實測的時域圖中都存在周期性的沖擊振動。圖10(c)和(d)分別是仿真和實測數(shù)據的頻域圖，圖10(c)中轉動頻率為6.67 Hz約等于圖10(d)中的轉動頻率6.36 Hz；圖10(c)中的外圈故障頻率為22.87 Hz，內圈故障頻率為36.2 Hz，分別與圖10(d)中的外圈故障頻率22.93 Hz和內圈故障頻率35.06 Hz非常接近，并且仿真和實測數(shù)據的頻率圖中均出現(xiàn)了轉動頻率、外圈故障頻率以及內圈故障頻率的倍頻。

圖10 混合故障軸承(42 rad/s)

5 結論

1)當滾動軸承的外圈發(fā)生故障時，振動響應的時域圖中會出現(xiàn)周期性的沖擊振動，頻率圖中會出現(xiàn)轉軸的轉動頻率、軸承外圈的特征頻率及其倍頻；

2)當滾動軸承的內外圈發(fā)生混合故障時，振動響應的時域圖中會出現(xiàn)周期性的沖擊振動，頻率圖中會出現(xiàn)轉軸的轉動頻率及倍頻、軸承外圈的特征頻率及倍頻和軸承內圈的特征頻率及倍頻。