江心怡，陳艷峰

(華南理工大學(xué) 電力學(xué)院，廣東 廣州 510641)

2021年3月，全球能源互聯(lián)網(wǎng)發(fā)展合作組織對(duì)外發(fā)布了中國(guó)碳達(dá)峰、碳中和系列研究報(bào)告。其中，據(jù)《中國(guó)2030年能源電力發(fā)展規(guī)劃研究及2060年展望》預(yù)測(cè)， 2025—2030年新增電力需求將全部由清潔能源滿足，清潔能源裝機(jī)占比將大幅增加，光伏發(fā)電作為新能源發(fā)電中的重要組成，勢(shì)必會(huì)得到大力發(fā)展[1]。

目前，光伏發(fā)電多需要采用電力電子器件進(jìn)行升降壓變換，而電力電子器件正沿著高頻化、小型化的趨勢(shì)發(fā)展。頻率的升高將導(dǎo)致變換器的損耗增加，進(jìn)而影響變換器的工作效率[2-3]。超高頻(very high frequency, VHF)變換器工作頻率高，其開(kāi)關(guān)元件均利用軟開(kāi)關(guān)技術(shù)以減小功率損耗，且可以選用更小的電感、電容作為主電路元件，有效減小變換器的體積，提高功率密度[4]；同時(shí)，VHF變換器在周期時(shí)間內(nèi)傳輸與儲(chǔ)存的能量減小，使瞬態(tài)響應(yīng)速度得到提升[5-7]。目前已將VHF變換器應(yīng)用到LED驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)、VRM(電壓調(diào)節(jié)模塊)、無(wú)線電力傳輸?shù)阮I(lǐng)域[8]，若將其應(yīng)用于光伏發(fā)電，必將有利于提升光伏發(fā)電的效率。

雖然VHF變換器優(yōu)點(diǎn)眾多，但電路中存在較多的未知雜散參數(shù)，使系統(tǒng)對(duì)諧振點(diǎn)變化的敏感度較高，同時(shí)也會(huì)影響系統(tǒng)的工作效率，為此需要在存在未知偏差的情況下，對(duì)VHF變換器建立合理的數(shù)學(xué)模型，使其在受到干擾參數(shù)變化的情況下仍能保持較好的穩(wěn)態(tài)特性。目前常見(jiàn)的建模方法有狀態(tài)空間平均法[9-11]、擴(kuò)展描述函數(shù)法[12]、離散映射建模法[13-14]，其中：狀態(tài)空間平均法無(wú)法適應(yīng)超高的工作頻率，無(wú)法描述VHF變換器中各狀態(tài)變量的諧振變化規(guī)律，僅能描繪變換器的宏觀變化趨勢(shì)；擴(kuò)展描述函數(shù)法雖然能夠描述各狀態(tài)變量的變化，但較為復(fù)雜且計(jì)算量極大，不利于擴(kuò)展至各類型的變換器中；離散映射建模法需要明確狀態(tài)變量在每個(gè)模態(tài)的初始狀態(tài)，而工作在軟開(kāi)關(guān)模式的VHF變換器工作模態(tài)較多，且每個(gè)模態(tài)的初始條件難以確定。因此，亟待解決VHF變換器的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題。Kalman濾波技術(shù)采用最優(yōu)估算理論，能夠使采集的信息與其相應(yīng)真實(shí)值的誤差的方差最小[15-16]，常被用于跟蹤含有干擾的信號(hào)。將Kalman濾波器用于VHF變換器的數(shù)值建模[17]，不僅能實(shí)現(xiàn)信號(hào)的有效預(yù)測(cè)，且具有計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn)。

本文對(duì)VHF Boost諧振變換器進(jìn)行模態(tài)分析，并結(jié)合電路要求合理設(shè)計(jì)電路元件參數(shù)；隨后采用Kalman濾波技術(shù)進(jìn)行數(shù)值建模；最后進(jìn)行穩(wěn)態(tài)特性分析，驗(yàn)證Kalman濾波技術(shù)在VHF變換器中的適用性，為后續(xù)研究變換器動(dòng)力學(xué)特性提供思路。

1 VHF Boost諧振變換器電路拓?fù)?/h2>

典型的VHF Boost諧振變換器原理電路如圖1所示，由前級(jí)Φ2類逆變器和后級(jí)E類電壓型整流器級(jí)聯(lián)而成。前級(jí)電路包含電感LF、LM，開(kāi)關(guān)管ST，電容CF、CM、CF；r1和r2分別為L(zhǎng)F和LM的寄生電阻，CF的值包括ST的寄生電容，若寄生電容的大小能夠滿足電路設(shè)計(jì)要求，可無(wú)需外加并聯(lián)電容。后級(jí)電路包含電感Lr，電容Cr、Co，二極管SD和負(fù)載R；Lr的寄生電阻為r3，輸出電容Co足夠大，可將輸出電壓視為恒定值Uo。為了簡(jiǎn)化分析過(guò)程，忽略其他儲(chǔ)能元件的寄生參數(shù)。

1.1 變換器的模態(tài)分析

根據(jù)ST和SD的開(kāi)關(guān)狀態(tài)，系統(tǒng)在一個(gè)開(kāi)關(guān)周期內(nèi)可分為以下4種工作模態(tài)。4種工作模態(tài)對(duì)應(yīng)的等效電路如圖2所示，其中：D1、D2分別為開(kāi)關(guān)管ST、二極管SD的占空比，而D3和D4應(yīng)滿足D1+D2+D3-D4=1的條件，為相關(guān)工作模態(tài)的占空比，fs為工作頻率。

a) 模態(tài)1 (0≤t

(1)

圖1 VHF Boost 諧振變換器的電路拓?fù)鋱D[18]Fig.1 Circuit topology of VHF Boost resonant converter [18]

圖2 VHF Boost諧振變換器的工作模態(tài)Fig.2 Working mode of VHF Boost resonant converter

b) 模態(tài)2 (D4Ts≤t

(2)

c) 模態(tài)3 (D1Ts≤t<(D1+D3)Ts)，等效電路如圖2(c)所示。此時(shí)：ST與SD均關(guān)斷；CF、CM、Cr、LF、LM和Lr之間發(fā)生多級(jí)諧振，因此電流iLF、iLM、iLr和電壓uCF、uCM、uCr均按準(zhǔn)正弦規(guī)律變化，直到t=(D1+D3)Ts時(shí)刻，uCr增大至輸出電壓Uo，二極管SD由于受正向偏置電壓而導(dǎo)通，該模態(tài)結(jié)束。此階段的系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

(3)

d) 模態(tài)4 ((D1+D3)Ts≤t

(4)

1.2 變換器的參數(shù)設(shè)定

若VHF Boost諧振變換器的工作頻率為fs，根據(jù)變換器的工作原理[18-19]，由Cr和Lr組成的諧振回路的頻率為fs，由CM和LM構(gòu)成的諧振回路的頻率為2fs。因此，各諧振單元的工作角頻率ωs應(yīng)滿足：

(5)

式中ωs=2πfs。因此，在確定工作頻率的情況下，Lr的取值可以由Cr唯一確定。Φ2類逆變器的阻抗網(wǎng)絡(luò)如圖3所示，Zds為其等效阻抗。根據(jù)Φ2類放大器的工作原理，Zds的2個(gè)極點(diǎn)分別為ωs和3ωs[19]，因此LF、LM和CM的值可以根據(jù)確定的CF和fs求解，如式(6)所示。

圖3 Φ2類逆變器的等效電路Fig.3 Equivalent circuit of class Φ2 inverter

(6)

開(kāi)關(guān)管ST的占空比可以由驅(qū)動(dòng)電壓uGS控制，可設(shè)占空比D1=0.5。根據(jù)變換器的模態(tài)分析，電容Cr兩端電壓uCr在D1Ts時(shí)刻諧振至零點(diǎn)，且在D4Ts時(shí)刻滿足電容電壓不突變，因此可得uCr應(yīng)滿足以下條件：

(7)

輸出電壓紋波可近似計(jì)算為：

(8)

紋波分量小，且輸出電容Co?Cr，因此可以近似計(jì)算出D2=0.5。各占空比之間存在D1+D2+D3-D4=1的代數(shù)關(guān)系，結(jié)合D1、D2的值帶入式(7)，可以最終確定D3=D4=0.25。

利用電感Lr的能量傳遞過(guò)程計(jì)算輸出電壓Uo。即在模態(tài)1時(shí)Lr向輸出端放電，iLr線性減?。划?dāng)開(kāi)關(guān)管ST關(guān)斷時(shí)，電路發(fā)生頻率為fs和3fs的多級(jí)諧振，因此Lr在反向充電完畢后，經(jīng)時(shí)間t=(1-D1)Ts/3將能量傳輸給輸出端，故輸出電壓

(9)

根據(jù)上述理論設(shè)計(jì)，得到變換器的各個(gè)參數(shù)，見(jiàn)表1。

表1 VHF Boost變換器各參數(shù)設(shè)定值Tab.1 Setting values of VHF Boost converter parameters

2 基于Kalman濾波技術(shù)的建模分析

根據(jù)電路的工作過(guò)程，可以用理想的開(kāi)關(guān)函數(shù)δ(q)(t) (q=1,2)來(lái)描述ST和SD的占空比。定義開(kāi)關(guān)函數(shù)：

(10)

(11)

利用開(kāi)關(guān)函數(shù)，可將分段微分方程式(1)—(4)整理為統(tǒng)一的狀態(tài)微分方程：

(12)

矩陣A、B表達(dá)式如下:

Kalman濾波技術(shù)通過(guò)加入觀測(cè)擾動(dòng)，求得采集的信息與其真實(shí)值的誤差，利用最優(yōu)估算理論，求得誤差的最小方差來(lái)實(shí)現(xiàn)信號(hào)的有效預(yù)測(cè)，以提高建模的精確度。因此在建立等效數(shù)學(xué)模型時(shí)，還需要分析觀測(cè)值與真實(shí)值之間的關(guān)系：

Y=HX+V.

(13)

式中：H為觀測(cè)矩陣，此次需要對(duì)全部狀態(tài)變量進(jìn)行觀測(cè)，因此H為6階單位矩陣；Y為狀態(tài)變量X的觀測(cè)值，由狀態(tài)變量X與觀測(cè)誤差V組成，V一般設(shè)定為均值為0，方差為R，設(shè)R=diag[0.1 0.1 0.1 1 1 1]。

因此，式(12)、(13)共同構(gòu)成了基于Kalman濾波技術(shù)的等效微分方程組[20]。對(duì)式(12)、( 13)進(jìn)行離散化處理，得到[21]：

(14)

式中：h為步長(zhǎng)；k表示第k個(gè)采樣點(diǎn)。設(shè)步長(zhǎng)h=16.7 ps，Kalman濾波器的迭代過(guò)程如下[22-23]。

(15)

(16)

(17)

反復(fù)迭代上述計(jì)算過(guò)程，可以得到各狀態(tài)變量的數(shù)值解，利用描點(diǎn)法得到相應(yīng)波形圖。同時(shí)利用PSIM軟件進(jìn)行電路仿真，得到相應(yīng)波形圖。利用Kalman濾波技術(shù)得到的波形與仿真波形的比較如圖4所示。

利用MATLAB的擬合工具包，得到各狀態(tài)變量的表達(dá)式，如下(τ=ws(t))：

iLF=0.504 8cosτ-0.112 8sinτ-0.056 4cos 2τ+

0.009 3sin 2τ+0.091 4cos 3τ+0.038 0sin 3τ+

0.028 6cos 4τ-0.049 6sin 4τ-0.008 6cos 5τ-

0.009 3sin 5τ+0.246 5,

(18)

iLM=-0.203 5cosτ-0.025 4sinτ+0.035 2cos 2τ+

0.332 2sin 2τ+0.206 7cos 3τ+0.079 0sin 3τ+

0.052 3cos 4τ-0.097 4sin 4τ-0.014 7cos 5τ-

0.012 9sin 5τ-0.002 2,

(19)

iLr=0.504 8cosτ-0.112 8sinτ-0.056 4cos 2τ+

0.009 3sin 2τ+0.091 4cos 3τ+0.038sin 3τ+

0.028 6cos 4τ-0.049 6sin 4τ-0.008 6cos 5τ-

0.009 3sin 5τ+0.246 5,

(20)

uCF=1.173cosτ-7.758sinτ+0.041 8cos 2τ+

0.019sin 2τ+1.846cos 3τ-4.794sin 3τ-

4.142cos 4τ-2.218sin 4τ-0.757 6cos 5τ+

1.033sin 5τ+6.798,

(21)

圖4 狀態(tài)變量的波形比較Fig.4 Waveform comparisons of state variables

uCM=1.427cosτ-11.27sinτ-9.323cos 2τ+

0.986 6sin 2τ-1.434cos 3τ+3.82sin 3τ+

1.369cos 4τ+0.688 1sin 4τ+0.142 8cos 5τ-

0.173 9sin 5τ+6.248,

(22)

uCr=3.446cosτ+2.434sinτ-0.445 1cos 2τ-

2.596sin 2τ-0.595 8cos 3τ+0.673 8sin 3τ+

0.160 5cos 4τ+0.211sin 4τ+0.144 9cos 5τ-

0.062 9sin 5τ+6.404.

(23)

搭建仿真平臺(tái)如圖5所示，其中開(kāi)關(guān)管與二極管的型號(hào)分別為Si7454 與 SS3H10。驅(qū)動(dòng)方式采用諧振驅(qū)動(dòng)電路，利用晶振LTC6905發(fā)出30 MHz頻率的方波，通過(guò)電感電容諧振電路進(jìn)行電流放大。實(shí)驗(yàn)波形如圖6所示。

圖5 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.5 Experimental platform

圖6(a)給出了開(kāi)關(guān)管兩端的電壓uCF與驅(qū)動(dòng)電壓uGS的波形圖，電壓波形趨勢(shì)與理論分析及仿真結(jié)果相似，uCF的峰值電壓約為19.1 V，為輸入電壓的3.18倍，接近Kalman濾波得到的結(jié)果21.3 V，該值比仿真結(jié)果略低，主要原因可能是開(kāi)關(guān)管寄生電容的數(shù)值與器件廠家提供的數(shù)據(jù)表有一定偏差，且難以在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中測(cè)量，同時(shí)，電路中存在

圖6 實(shí)驗(yàn)波形Fig.6 Experiment waveforms

寄生電阻承擔(dān)了部分電壓，使開(kāi)關(guān)管兩端的電壓低于理論值；由于開(kāi)關(guān)管閾值電壓和密勒電容的影響，驅(qū)動(dòng)電壓波形為具有直流偏壓的類正弦波，占空比約為50%，符合理論分析的要求。同時(shí)測(cè)量的驅(qū)動(dòng)電壓波形為開(kāi)關(guān)管門(mén)極寄生電阻前的電壓，與實(shí)際的驅(qū)動(dòng)電壓存在一定的相位偏差，在示波器中具體表現(xiàn)為驅(qū)動(dòng)電壓uGS存在一定的相位滯后。

圖6(b) 給出了諧振電容電壓uCr與輸出電壓Uo的電壓波形，該波形與理論和仿真得到的結(jié)果基本相似，諧振電容電壓uCr為9.8 V，與Kalman濾波得到的9.58 V結(jié)果相近，兩者存在偏差的主要原因?yàn)殡娐分写嬖诩纳娮琛Ｇ沂芟抻趯?shí)驗(yàn)室儀器的精度與元件生產(chǎn)過(guò)程中產(chǎn)生的誤差，uCr波形與仿真存在一定的波形畸變。輸出電壓Uo為8.5 V，由于輸出整流二極管存在約0.7 V的導(dǎo)通電壓降落，因此該結(jié)果與理論和仿真得到的結(jié)果在誤差范圍內(nèi)相符合。

值得注意的是，由于工作頻率高，目前無(wú)法觀察到各支路的電流波形，且實(shí)驗(yàn)結(jié)果與所提出的方法和仿真結(jié)果之間不可避免地存在誤差。這是因?yàn)橐环矫嬗捎诩纳鷧?shù)的影響，樣機(jī)很難在最佳諧振點(diǎn)運(yùn)行；另一方面，寄生參數(shù)延遲了開(kāi)關(guān)器件的開(kāi)通和關(guān)斷動(dòng)作，因此實(shí)驗(yàn)電路實(shí)際上并沒(méi)有實(shí)現(xiàn)零電壓開(kāi)關(guān)。

3 穩(wěn)態(tài)特性分析

利用PSIM仿真軟件可以對(duì)各狀態(tài)變量進(jìn)行傅里葉變換，確定狀態(tài)變量中各諧波分量的比例，如圖7所示，各狀態(tài)變量主要由直流分量、基波分量以及5倍頻內(nèi)的高次諧波分量構(gòu)成。

圖7 各狀態(tài)變量的頻譜分析Fig.7 Spectral analysis of state variables

利用式(18)—(23)計(jì)算建模得到的狀態(tài)變量主分量的大小，與PSIM傅里葉變換結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，見(jiàn)表2與表3?？梢钥闯?，利用Kalman濾波獲得的電流電壓分量均與PSIM模擬的結(jié)果吻合得很好，這意味著利用Kalman濾波得到的近似解足夠精確。由于Kalman濾波通過(guò)迭代更新得到解，這一過(guò)程勢(shì)必導(dǎo)致一定時(shí)延，在圖4中表示為一定的相移，但由于數(shù)值精確度較高，且相移角度小，在未來(lái)閉環(huán)設(shè)計(jì)中考慮相移因素便可以進(jìn)一步縮小這一缺陷帶來(lái)的影響。

表2 電流變量的諧波比較Tab.2 Harmonic comparisons of current variables

表3 電壓變量的諧波比較Tab.3 Harmonic comparisons of voltage variables

為觀測(cè)該電路的穩(wěn)壓效果，將一個(gè)幅值為1 V、頻率為500 kHz的擾動(dòng)分量引入輸入電源中，觀測(cè)輸出電壓與開(kāi)關(guān)管兩端電壓的波形變化。圖8(a)所示為輸出電壓Uo與開(kāi)關(guān)管電壓uCF隨輸入電壓變化的波形。在不加入閉環(huán)控制時(shí)，即使在擾動(dòng)幅度占輸入電壓的16%，且電路不存在大容量的濾波電容的情況下，輸出電壓的電壓波動(dòng)Δv<0.05 V，擾動(dòng)幅度為輸入電壓的8‰，開(kāi)關(guān)管電壓uCF峰值為25 V，電壓波動(dòng)Δv<3.5 V，說(shuō)明該電路具有良好的穩(wěn)壓效果，利用本文提出Kalman濾波方法能夠?qū)崿F(xiàn)有效跟蹤電壓的變化情況。

圖8 輸入、輸出電壓波形對(duì)比Fig.8 Input and output voltage waveform comparisons

4 結(jié)束語(yǔ)

本文首先對(duì)含有寄生參數(shù)的VHF Boost諧振變換器進(jìn)行模態(tài)分析，并利用近似關(guān)系確定各個(gè)開(kāi)關(guān)的導(dǎo)通時(shí)間，同時(shí)選定主電路各儲(chǔ)能元件的參數(shù)值；其次利用Kalman濾波技術(shù)在變換器含有變化干擾參數(shù)的情況下保持較好跟蹤特性，將濾波計(jì)算應(yīng)用于VHF Boost諧振變換器的建模中，不僅能夠?qū)崿F(xiàn)良好的跟蹤特性，而且具有計(jì)算量小、操作簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)；最后對(duì)VHF Boost電路進(jìn)行穩(wěn)定性分析，證明該電路具有較好的電壓穩(wěn)定的特點(diǎn)，且利用Kalman濾波進(jìn)行建?？尚行则?yàn)證。本方法可以推廣到其他類型的VHF變換器的建模中，為VHF變換器數(shù)學(xué)建模與動(dòng)力學(xué)特性研究提供思路。