楊海龍,任歡歡,焦 麗

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 陜西 西安 710119)

三支決策理論[1]是處理決策問(wèn)題的一種新的思想方法論。 Yao利用TAO模型來(lái)描述和解釋三支決策, 其中符號(hào)“T”“A”和“O”分別指三支決策的3個(gè)層次[2]。 第1層是“三分”：將一個(gè)論域劃分為三個(gè)互不相交的部分, 即正域、負(fù)域和邊界域。 第2層是“治”：提出這3部分相對(duì)應(yīng)的策略。 第3層是“效”：對(duì)前2層給出的3分和策略的好壞進(jìn)行評(píng)價(jià)。

三支決策的研究包括理論、模型和應(yīng)用研究, 發(fā)展迅速。 在理論方面, Hu提出了三支決策空間的概念[3]；Yao從集合論的角度討論了三支決策[4]。 在模型方面, Zhang等研究了兩類(lèi)分類(lèi)錯(cuò)誤的三支決策模型[5]。Li等將單論域上的三支決策模型[6]推廣到雙論域[7]； Li等進(jìn)一步研究了0-1信息表上的三支決策模型[8]。 在應(yīng)用方面,Zhou等提出了一種基于三支決策的方法來(lái)降低垃圾郵件過(guò)濾過(guò)程中誤分類(lèi)的錯(cuò)誤率[9]；Liu等在序決策系統(tǒng)中構(gòu)建了一個(gè)三支決策模型來(lái)優(yōu)化薪酬管理方法[10]。

中智集[11-12]作為直覺(jué)模糊集[13]的推廣, 在處理不確定和不精確信息時(shí)更具有普適性。 眾多研究者在中智集理論和應(yīng)用方面做了深入研究。特別是關(guān)于中智集和三支決策的融合研究, 引起了國(guó)內(nèi)外研究者的關(guān)注。Abdel-Basset等通過(guò)使用評(píng)價(jià)函數(shù)成功地將三支決策與單值中智集結(jié)合并給出了資源選擇問(wèn)題的AHP-QFD框架[14]。Singh利用中智集研究了三支概念格的表示方法[15]。 此外,Singh研究了不同粒度下的三支n值中智概念格[16]。Jiao等在單值中智信息下基于余弦相似度和歐氏距離提出了兩種三支決策模型, 并給出了模型的應(yīng)用[17]。本文進(jìn)一步開(kāi)展此研究, 利用單值中智數(shù)的計(jì)分函數(shù)和精確度函數(shù), 基于貝葉斯決策理論提出一種新型三支決策模型。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 單值中智集與單值中智數(shù)

定義1[11-12]設(shè)U是一個(gè)論域。U上的單值中智集A由正確隸屬函數(shù)TA、不確定隸屬函數(shù)IA和錯(cuò)誤隸屬函數(shù)FA構(gòu)成,其中?x∈U,TA(x),IA(x),FA(x)∈[0,1]。U上的單值中智集A可以表示為

A={〈x,TA(x),IA(x),FA(x)〉:x∈U}。

?x∈U,稱(chēng)(TA(x),IA(x),FA(x))為一個(gè)單值中智數(shù)。 在不致混淆的情況下, 一個(gè)單值中智數(shù)n可表示為n=(Tn,In,Fn)。

常見(jiàn)的單值中智數(shù)的比較方法有以下兩種。

定義2[11]設(shè)n=(Tn,In,Fn)和m=(Tm,Im,Fm)是兩個(gè)單值中智數(shù)，若Tn≤Tm,In≥Im,Fn≥Fm，則稱(chēng)n小于等于m,記作n?m。

定義3[18]設(shè)n=(Tn,In,Fn)和m=(Tm,Im,Fm)為兩個(gè)單值中智數(shù)，若Tn≤Tm,In≤Im,Fn≥Fm，則稱(chēng)n小于等于m，記作n?m。

定義2和定義3給出的兩種排序方法的不同之處是對(duì)不確定隸屬度的處理不同,均存在一些不足。 首先,它們并不能比較任意兩個(gè)單值中智數(shù)。 例如,取n=(0.3,0.5,0.2),m=(0.5,0.7,0.9),則不論利用定義2還是定義3,n和m都不可比較。 其次,文獻(xiàn)[19]指出定義2和定義3是兩種極端情況,并通過(guò)例子闡述了這兩種排序方法都沒(méi)有充分體現(xiàn)不確定隸屬函數(shù)IA的作用。 進(jìn)一步,提出了一種新的單值中智數(shù)排序方法[19]。

為了給出單值中智數(shù)新的排序方法, 文獻(xiàn)[19]首先引入了單值中智數(shù)的計(jì)分函數(shù)和精確度函數(shù)概念。

定義4[19]設(shè)集合D*={x=(x1,x2,x3)|x1,x2,x3∈[0,1]}，定義函數(shù)s為

s:D*→[0,1],?n=(Tn,In,Fn)∈D*,

稱(chēng)s為單值中智數(shù)的計(jì)分函數(shù)。

定義函數(shù)h為

h:D*→[0,1],?n=(Tn,In,Fn)∈D*,

稱(chēng)h為單值中智數(shù)的精確度函數(shù)。

基于計(jì)分函數(shù)和精確度函數(shù),文獻(xiàn)[19]提出了一種新的單值中智數(shù)排序方法。

定義5[19]設(shè)n=(Tn,In,Fn)和m=(Tm,Im,Fm)是兩個(gè)單值中智數(shù)。

1)若s(n)

2)若s(n)=s(m),h(n)

3)若s(n)=s(m),h(n)=h(m),In

4)若s(n)=s(m),h(n)=h(m),In=Im，則稱(chēng)n等于m,記作n=m。

命題1[19]設(shè)n、m和p是3個(gè)單值中智數(shù)，則以下結(jié)論成立：

1)n?n;

2)若n?m且m?n，則n=m;

3)若n?m且m?p,則n?p;

4)若n?/m，則mn。

定義6[20]設(shè)n和m是兩個(gè)單值中智數(shù)，θ是一個(gè)實(shí)數(shù)，其中θ>0，單值中智數(shù)的加法和數(shù)乘運(yùn)算定義為

1)n⊕m=〈Tn+Tm-Tn·Tm,

In·Im,Fn·Fm〉;

2)θn=〈1-(1-Tn)θ,(In)θ,(Fn)θ〉。

1.2 三支決策

三支決策的核心思想是將論域U劃分為3個(gè)兩兩不相交的部分, 即正域、負(fù)域和邊界域。這3個(gè)域分別表示為Pos(U)、Neg(U)和Bnd(U)。正域、邊界域和負(fù)域分別確定三分類(lèi)中接受、不承諾和拒絕的決策規(guī)則。三支決策在解決問(wèn)題和處理信息方面發(fā)揮著重要作用。

下面以2個(gè)狀態(tài)來(lái)闡述基于貝葉斯決策過(guò)程的三支決策。 設(shè)Ω={X,┐X}是狀態(tài)集,A={aP,aB,aN}是行動(dòng)集,其中,狀態(tài)集Ω中的X和┐X分別表示對(duì)象x(x∈U)屬于狀態(tài)X和不屬于狀態(tài)X，行動(dòng)集A中的aP,aB,aN分別表示對(duì)x采取的3個(gè)行動(dòng)，即決定x∈Pos(X),x∈Bnd(X),x∈Neg(X)。

在表1中,λPP、λBP和λNP分別表示當(dāng)對(duì)象x屬于X時(shí)，采取aP、aB和aN這3種行動(dòng)帶來(lái)的損失。同樣地，λPN、λBN和λNN分別表示當(dāng)對(duì)象x不屬于X時(shí)，采取aP、aB和aN這3種行動(dòng)帶來(lái)的損失。

表1 損失函數(shù)

采取這3種不同行為所產(chǎn)生的期望損失可以表示為ε(a·|[x])(·=P,B,N)，具體如下：

ε(aP|[x])=λPPP(X|[x])+λPNP(┐X|[x]),

ε(aB|[x])=λBPP(X|[x])+λBNP(┐X|[x]),

ε(aN|[x])=λNPP(X|[x])+λNNP(┐X|[x])。

根據(jù)貝葉斯決策理論，得到以損失最小為依據(jù)的決策規(guī)則如下：

(P)當(dāng)ε(aP|[x])≤ε(aB|[x])且ε(aP|[x])≤ε(aN|[x])，則x∈Pos(X);

(B)當(dāng)ε(aB|[x])≤ε(aP|[x])且ε(aB|[x])≤ε(aN|[x]),則x∈Bnd(X);

(N)當(dāng)ε(aN|[x])≤ε(aP|[x])且ε(aN|[x])≤ε(aB|[x])，則x∈Neg(X)。

2 單值中智信息下基于計(jì)分函數(shù)和精確度函數(shù)的三支決策模型

Jiao等基于余弦相似度和歐氏距離給出了單值中智信息下2種三支決策模型[17],本節(jié)基于計(jì)分函數(shù)和精確度函數(shù)給出單值中智信息下的一種新型三支決策模型。

在單值中智信息下, 損失函數(shù)是單值中智數(shù)的形式, 如表2所示。對(duì)于X中的對(duì)象x,采取行動(dòng)aP、aB和aN的期望損失為

表2 帶有單值中智信息的損失函數(shù)

ε(aP|[x])=λPPP(X|[x])⊕λPNP(┐X|[x]),

ε(aB|[x])=λBPP(X|[x])⊕λBNP(┐X|[x]),

ε(aN|[x])=λNPP(X|[x])⊕λNNP(┐X|[x])。

由定義6可得

ε(aP|[x])=λPPP(X|[x])⊕λPNP(┐X|[x])=

(TλPP,IλPP,FλPP)P(X|[x])⊕

(TλPN,IλPN,FλPN)P(┐X|[x])=

(1-(1-TλPP)P(X|[x]),(IλPP)P(X|[x]),

(FλPP)P(X|[x])⊕(1-(1-TλPN)P(┐X|[x]),

(IλPN)P(┐X|[x]),(FλPN)P(┐X|[x]))=

(TεP,IεP,FεP)。

(1)

式中：

TεP=1-(1-TλPP)P(X|[x])(1-TλPP)P(┐X|[x])；

IεP=(IλPP)P(X|[x])(IλPN)P(┐X|[x])；

FεP=(FλPP)P(X|[x])(FλPN)P(┐X|[x])。

類(lèi)似地，

ε(aB|[x])=(TεB,IεB,FεB),

(2)

ε(aN|[x])=(TεN,IεN,FεN)。

(3)

式中:

TεB=1-(1-TλBP)P(X|[x])(1-TλBN)P(┐X|[x]),

IεB=(IλBP)P(X|[x])(IλBN)P(┐X|[x]),

FεB=(FλBP)P(X|[x])(FλBN)P(┐X|[x]);

TεN=1-(1-TλNP)P(X|[x])(1-TλNN)P(┐X|[x]),

IεN=(IλNP)P(X|[x])(IλNN)P(┐X|[x]),

FεN=(FλNP)P(X|[x])(FλNN)P(┐X|[x])。

顯然，ε(a·|[x])(·=P,B,N)都是單值中智數(shù)。

由定義5和決策規(guī)則(P)—(N)，可得

(P1)若s(ε(aP|[x]))

或s(ε(aP|[x]))=s(ε(aB|[x])),

h(ε(aP|[x]))

或s(ε(aP|[x]))=s(ε(aB|[x])),

h(ε(aP|[x]))=h(ε(aB|[x])),IεP≤IεB;

以及s(ε(aP|[x]))

或s(ε(aP|[x]))=s(ε(aN|[x])),

h(ε(aP|[x]))

或s(ε(aP|[x]))=s(ε(aN|[x])),

h(ε(aP|[x]))=h(ε(aN|[x])),IεP≤IεN成立；

則x∈Pos(X);

(B1)若s(ε(aB|[x]))

或s(ε(aB|[x]))=s(ε(aP|[x])),

h(ε(aB|[x]))

或s(ε(aB|[x]))=s(ε(aP|[x])),

h(ε(aB|[x]))=h(ε(aP|[x])),IεB≤IεP;

以及s(ε(aB|[x]))

或s(ε(aB|[x]))=s(ε(aN|[x])),

h(ε(aB|[x]))

或s(ε(aB|[x]))=s(ε(aN|[x])),

h(ε(aB|[x]))=h(ε(aN|[x])),IεB≤IεN成立；

則x∈Bnd(X);

(N1)若s(ε(aN|[x]))

或s(ε(aN|[x]))=s(ε(aP|[x])),

h(ε(aN|[x]))

或s(ε(aN|[x]))=s(ε(aP|[x])),

h(ε(aN|[x]))=h(ε(aP|[x])),IεN≤IεP;

以及s(ε(aN|[x]))

或s(ε(aN|[x]))=s(ε(aB|[x])),

h(ε(aN|[x]))

或s(ε(aN|[x]))=s(ε(aB|[x])),

h(ε(aN|[x]))=h(ε(aB|[x])),IεN≤IεB成立；

則x∈Neg(X)。

根據(jù)上述過(guò)程, 由給定的決策表可得對(duì)象的2個(gè)狀態(tài), 進(jìn)一步計(jì)算出條件概率。在給出損失函數(shù)的情況下, 得到期望損失。然后通過(guò)計(jì)分函數(shù)和精確度函數(shù)比較期望損失, 得到三支決策規(guī)則。 對(duì)此過(guò)程進(jìn)行總結(jié), 得到以下算法步驟。

算法1單值中智信息下基于計(jì)分函數(shù)和精確度函數(shù)的三支決策。

第一步給定決策表(U,C∪D,V)，其中對(duì)象集U={x1,x2,…,xn}，條件屬性集C={a1,a2,…,am}，決策屬性集D=syggg00，V是屬性值集。根據(jù)決策屬性得到對(duì)象的2個(gè)狀態(tài)X和┐X，及等價(jià)類(lèi)[x]C，其中[x]C是由C確定的x的等價(jià)類(lèi),[x]C={y∈U|Cai(x)=Cai(y),i=1,2,…,m}，Cai(x)是x關(guān)于屬性ai的屬性值。

第三步由式(1)～(3)計(jì)算出每個(gè)等價(jià)類(lèi)的期望損失ε(a·|[x]C)(·=P,B,N)。

第四步由定義4計(jì)算出每個(gè)期望損失對(duì)應(yīng)的計(jì)分函數(shù)和精確度函數(shù)。

第五步根據(jù)決策規(guī)則(P1)～(N1)得到?jīng)Q策結(jié)果。

3 應(yīng)用舉例及比例

下面利用一個(gè)例子來(lái)闡述所提模型的有效性和可行性。

例1近年來(lái),古董收藏越來(lái)越受大眾歡迎。 一位古董愛(ài)好者欲購(gòu)買(mǎi)一些古董, 設(shè)有15個(gè)可供選擇的古董, 4 個(gè)條件屬性, 1個(gè)決策屬性。 為方便起見(jiàn),令U={x1,x2,…,x15}表示15個(gè)可供選擇的古董之集;C={a1,a2,a3,a4}表示4個(gè)條件屬性之集, 其中a1表示市場(chǎng)價(jià)值,a2表示儲(chǔ)存要求,a3表示購(gòu)買(mǎi)價(jià)格,a4表示增值空間;D=syggg00，其中d是決策屬性,表示“是否購(gòu)買(mǎi)”。 設(shè)關(guān)于15個(gè)候選古董的決策表(U,C∪D,V)如表3所示, 每個(gè)屬性的屬性值的含義如下:

表3 15個(gè)候選古董的決策表(U,C∪D,V)

a1的屬性值α、β、γ，分別表示高、中、低；

a2的屬性值H、M、T分別表示苛刻、中等、寬松；

a3的屬性值E、S、C分別表示貴、合適、便宜；

a4的屬性值1、2、3分別表示大、一般、??；

d的屬性值Y、N分別表示購(gòu)買(mǎi)、不購(gòu)買(mǎi)。

λ·Y和λ·N(·=P,B,N)分別表示在購(gòu)買(mǎi)和不購(gòu)買(mǎi)的情況下，采取行動(dòng)aP、aB和aN造成的損失(見(jiàn)表4)。

表4 5個(gè)等價(jià)類(lèi)對(duì)應(yīng)的損失函數(shù)

由表3可以得到2個(gè)狀態(tài)集：

X={x1,x4,x5,x9,x10,x13,x14},

┐X={x2,x3,x6,x7,x8,x11,x12,x15}

和每個(gè)對(duì)象xi的等價(jià)類(lèi)為

[x1]C=[x1,x3,x7,x10,x14},

[x2]C={x2},

[x4]C={x4,x8,x11,x15},

[x5]C={x5,x9,x12},

[x6]C={x6,x13}。

表5 條件概率的值

ε(aP|[x1]C)=(0.86,0.23,0.24)。

類(lèi)似地，可得對(duì)其他等價(jià)類(lèi)中的對(duì)象采取不同行動(dòng)的期望損失，如表6所示。

表6 等價(jià)類(lèi)中的對(duì)象采取不同行動(dòng)的期望損失

根據(jù)定義5, 可分別計(jì)算出每個(gè)期望損失的計(jì)分函數(shù)和精確度函數(shù), 如表7和表8所示。

表7 期望損失的計(jì)分函數(shù)

表8 期望損失的精確度函數(shù)

顯然,對(duì)于等價(jià)類(lèi)[x1]C有s(ε(aB|[x1]C))

類(lèi)似地,可以得到其他對(duì)象的決策結(jié)果:x2∈Pos(X);x1,x3,x5,x7,x9,x10,x12,x14∈Bnd(X);x4,x6,x8,x11,x13,x15∈Neg(X)。換言之,古董x2是個(gè)不錯(cuò)的選擇, 應(yīng)購(gòu)買(mǎi);古董x1、x3、x5、x7、x9、x10、x12和x14需要進(jìn)一步考慮;古董x4、x6、x8、x11、x13和x15則不適合購(gòu)買(mǎi)。

本文利用基于計(jì)分函數(shù)和精確度函數(shù)的排序方法比較單值中智數(shù)的大小, 從而比較采取各種行動(dòng)的期望損失, 得到?jīng)Q策規(guī)則。相比于文獻(xiàn)[17]中的模型，本文的模型更突出了單值中智數(shù)中不確定隸屬度的意義。此外, 將本文提出的模型應(yīng)用于文獻(xiàn)[17]第4節(jié)中的例子, 可以發(fā)現(xiàn)所得的正域與文獻(xiàn)[17]是相同的,即所推薦的對(duì)象是一樣的。本文為單值中智信息下的三支決策問(wèn)題提供了新思路和新方法。