李金海，鄧小媛，智慧來

(1 昆明理工大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)研究中心，云南 昆明 650500； 2 昆明理工大學(xué) 理學(xué)院，云南 昆明 650500； 3 河南理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河南 焦作 454000)

形式概念分析提出的本意是希望對哲學(xué)上的抽象概念進(jìn)行數(shù)學(xué)上的形式化描述與研究，最早從事該研究的是德國數(shù)學(xué)家Wille教授[1]及其團(tuán)隊(duì)[2]。國內(nèi)于2000年左右開始關(guān)注概念格與關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘等領(lǐng)域的研究[3-5]，主要聚焦國際上比較熱門的基本問題提出新的研究方法。此后10年，國內(nèi)學(xué)者開始對概念格約簡感興趣，給出了各種概念格約簡方法[6-11]。2011年以來，許多學(xué)者圍繞決策形式背景上的概念格約簡開展研究[12-17]，這些研究主要基于張文修團(tuán)隊(duì)提出的決策形式背景[18]。與此同時(shí)，一些學(xué)者又相繼提出了若干新穎的研究課題，比如多粒度形式概念分析[19]、概念認(rèn)知學(xué)習(xí)[20-25]、粒描述[26-27]等，這些新興的研究方向大大促進(jìn)了經(jīng)典形式概念分析的發(fā)展[28]。

一方面，在研究形式概念分析時(shí)，實(shí)值是描述形式背景的對象與屬性之間關(guān)系最為復(fù)雜的數(shù)據(jù)類型之一[29]，它對應(yīng)的概念格既是區(qū)間值概念格的推廣[30-31]，又是模糊概念格的擴(kuò)展[32-34]，這種推廣或擴(kuò)展是針對取值范圍的延拓，因其應(yīng)用廣泛而受到眾多學(xué)者的關(guān)注[12,14]。此外，實(shí)值概念格的并行構(gòu)造也得到了重視，這類問題主要側(cè)重快速計(jì)算概念節(jié)點(diǎn)[35]。另一方面，粒計(jì)算與形式概念分析的結(jié)合日漸深入，從最早的粒概念及其約簡開始[8]，到隨后的概念知識粒與概念信息粒[36]，以及近期開展的一系列跨領(lǐng)域、深層次、多角度的融合研究，充分表明這兩個(gè)理論有非常好的結(jié)合性[37-38]。特別地，自從將粒計(jì)算中的多粒度思想[39-40]引入形式概念分析后，很快建立了多粒度形式概念分析理論[41-43]，并成為熱門研究話題[44-45]。為了進(jìn)一步拓寬實(shí)值概念格的應(yīng)用范圍，還需繼續(xù)研究多粒度實(shí)值形式概念分析，即如何借助多粒度思想探討實(shí)值概念知識發(fā)現(xiàn)與規(guī)則提取。

鑒于上述分析，本文基于多粒度數(shù)據(jù)或多粒度關(guān)系提出多粒度實(shí)值形式概念分析方法，旨在探究多粒度概念知識空間的概念轉(zhuǎn)移規(guī)律以及規(guī)則推理的運(yùn)算關(guān)系，具體提出了實(shí)值類屬性塊以及多粒度實(shí)值形式背景，給出了帶決策的多粒度實(shí)值形式背景的知識發(fā)現(xiàn)方法，為今后多粒度實(shí)值數(shù)據(jù)的多層次知識發(fā)現(xiàn)研究奠定了理論基礎(chǔ)。

1 實(shí)值形式背景與實(shí)值概念

(1)

Δ(A)=

是實(shí)值屬性集A上的所有實(shí)集構(gòu)成的集合，其中μt(ai)(i=1,2,…,m)是實(shí)區(qū)間集。算子↑:2U→Δ(A)和↓:Δ(A)→2U定義為

(2)

從(2)式可以看出，

(3)

2 多粒度實(shí)值形式背景

前文討論了實(shí)值形式背景和實(shí)值概念，下面再將多粒度思想引入實(shí)值形式背景中，提出多粒度實(shí)值形式背景。為此，約定來源于同一類別(類型)的實(shí)值屬性構(gòu)成的集合稱為實(shí)值類屬性塊。

(4)

需要指出的是，本文提到的粒度粗細(xì)均包含了粒度相等的情況。

實(shí)際上，多粒度實(shí)值形式背景刻畫了實(shí)區(qū)間集賦值之間的一種關(guān)系。具體地，對于描述一個(gè)對象的問題，可以選擇在粒度粗的屬性下進(jìn)行統(tǒng)一的籠統(tǒng)描述，也可以選擇在粒度細(xì)的多個(gè)分屬性下進(jìn)行具體的描述。當(dāng)然，在不同的粒度空間下描述對象，其提供的信息是不等價(jià)的，細(xì)粒度空間中的描述通常比粗粒度空間中的描述給出了更多可供參考的信息。

(5)

根據(jù)假設(shè)，{as}s∈S、{bt}t∈T均為布爾屬性集，且{as}s∈S和{bt}t∈T擁有的對象形成論域U的劃分。那么對于任意對象o∈U，由公式(4)可得fo(ai)=fo(bj1)∪fo(bj2)∪…∪fo(bjk)成立。因此，當(dāng)fo(ai)=?時(shí)，fo(bjt)(t=1,2,…,k)均為?；當(dāng)fo(ai)={1}時(shí)，fo(bjt)(t=1,2,…,k)中有一個(gè)為

性質(zhì)1表明多粒度實(shí)值形式背景是經(jīng)典多粒度形式背景的推廣。為了敘述方便，本文討論的多粒度實(shí)值形式背景均默認(rèn)形成特化全序關(guān)系，即實(shí)值類屬性塊的粒度越來越細(xì)；另外，最粗的實(shí)值類屬性塊的元素個(gè)數(shù)均設(shè)為1，這是出于畫粒度樹的需要。

由于前面已約定最粗的實(shí)值類屬性塊的元素個(gè)數(shù)均為1，那么粒度樹的根節(jié)點(diǎn)通常只有一個(gè)。此外，根據(jù)定義5，來自同一粒度空間的屬性要求排在同一層，那么每棵粒度樹的總層數(shù)均為r，即與多粒度實(shí)值形式背景的粒度層數(shù)相同。

表1 實(shí)值形式背景

表2 實(shí)值形式背景

表3 實(shí)值形式背景

圖1 屬性a1的粒度樹Ta1

圖2 屬性a2的粒度樹Ta2

容易驗(yàn)證，對表1～3的實(shí)值形式背景并置形成一個(gè)多粒度實(shí)值形式背景。具體地，由圖1可知表1的類屬性塊{a1}比表2的類屬性塊{b1,b2,b3}粒度粗，表2的類屬性塊{b1,b2,b3}與表3的類屬性塊{c1,c2,c3}粒度粗細(xì)相同；由圖2可知表1的類屬性塊{a2}比表2的類屬性塊{b4,b5}粒度粗，表2的類屬性塊{b4,b5}又比表3的類屬性塊{c4,c5,c6,c7}粒度粗。

證明設(shè)粗粒度實(shí)值形式背景的L-實(shí)概念的外延為X。一方面，在細(xì)粒度實(shí)值形式背景中X的每個(gè)對象仍屬于X對應(yīng)的誘導(dǎo)L-實(shí)概念(X↑↓,X↑)；另一方面，對于任意對象o∈U-X，它肯定不屬于X對應(yīng)的誘導(dǎo)L-實(shí)概念(X↑↓,X↑)，否則可以推出對象o在粗粒度實(shí)值形式背景中也屬于外延X，這與X是L-實(shí)概念的外延矛盾。綜上可知，X=X↑↓，即X在細(xì)粒度實(shí)值形式背景中也是某一L-實(shí)概念的外延。

性質(zhì)2表明，在多粒度實(shí)值形式背景中，細(xì)粒度實(shí)值形式背景的L-實(shí)概念的個(gè)數(shù)比粗粒度實(shí)值形式背景的L-實(shí)概念的個(gè)數(shù)多，這是因?yàn)樵诖至６葘?shí)值形式背景中滿足“主要小于”關(guān)系的對象在細(xì)粒度實(shí)值形式背景中可以不滿足“主要小于”關(guān)系。即在粗粒度實(shí)值形式背景下不能形成L-實(shí)概念的序?qū)υ诩?xì)粒度實(shí)值形式背景中有可能形成L-實(shí)概念。

即對于粗粒度實(shí)值形式背景的L-實(shí)概念，它的每個(gè)實(shí)值屬性ai的可能取值是細(xì)粒度實(shí)值形式背景中對應(yīng)的特化屬性可能取值的并。

性質(zhì)3表明，多粒度實(shí)值形式背景的各個(gè)單粒度實(shí)值形式背景的L-實(shí)概念之間可以相互轉(zhuǎn)化，即可以由粗粒度空間中的L-實(shí)概念拆分得到細(xì)粒度層的L-實(shí)概念，也可以由細(xì)粒度空間中的L-實(shí)概念合并得到粗粒度空間的L-實(shí)概念。依據(jù)上述性質(zhì)，下面給出一個(gè)由細(xì)粒度實(shí)值形式背景的L-實(shí)概念得到粗粒度實(shí)值形式背景的L-實(shí)概念的算法。

算法1 計(jì)算粗粒度實(shí)值形式背景的L-實(shí)概念

輸出：粗粒度實(shí)值形式背景的L-實(shí)概念Q。

初始化Q=?；

輸出粗粒度實(shí)值形式背景的L-實(shí)概念Q。

例2對于例1中的多粒度實(shí)值形式背景，第1和第2粒度層下的實(shí)值形式背景的概念格分別如圖3和圖4所示，其中節(jié)點(diǎn)的詳細(xì)信息見表4和表5。

圖3 表1的實(shí)值形式背景的概念格

圖4 表2的實(shí)值形式背景的概念格

表4 表1的所有L-實(shí)概念

表5 表2的所有L-實(shí)概念

3 多粒度實(shí)值決策形式背景的知識發(fā)現(xiàn)

本節(jié)進(jìn)一步將決策屬性引入多粒度實(shí)值形式背景中，討論多粒度實(shí)值決策形式背景各粒度層下決策規(guī)則之間的聯(lián)系。

表6 實(shí)值形式背景

圖5 表6的實(shí)值形式背景的概念格

表7 表6的所有L-實(shí)概念

4 結(jié)語

本文將多粒度思想引入實(shí)值形式概念分析中，提出了多粒度實(shí)值形式背景，研究了L-實(shí)概念與L-實(shí)決策規(guī)則隨著粒度空間粗細(xì)變化的轉(zhuǎn)移或演化規(guī)律。有關(guān)多粒度實(shí)值概念與決策規(guī)則的結(jié)論，既完善了實(shí)值概念格理論，又推廣了現(xiàn)有的多粒度形式概念分析方法。

一方面，在粒度空間從粗到細(xì)的變化過程中，盡管可以使得數(shù)據(jù)分析更加具體化，但是計(jì)算復(fù)雜度也會相應(yīng)增加，因此需要繼續(xù)研究L-實(shí)概念與L-實(shí)決策規(guī)則的演化效率；另一方面，在粒度空間從細(xì)到粗的變化過程中，信息會丟失，從而影響L-實(shí)概念與L-實(shí)決策規(guī)則的有效性，所以有待進(jìn)一步給出多粒度實(shí)值形式背景的信息度量方法以及L-實(shí)概念與L-實(shí)決策規(guī)則的有效性評估方法。

另外，為了進(jìn)一步對多粒度實(shí)值形式概念分析理論與方法進(jìn)行完善，仍需考慮將實(shí)值類屬性塊推廣到多粒度實(shí)值類屬性塊，即允許條件概念的實(shí)值屬性信息來源于不同的粒度空間，從而使得L-實(shí)概念與L-實(shí)決策規(guī)則的知識發(fā)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)深層次的跨粒度層組合。

最后，需要指出的是，本文的討論均針對L-實(shí)概念展開。然而，對于實(shí)值形式概念分析，除了L-實(shí)概念，還有另一種實(shí)概念(即S-實(shí)概念)，本文未考慮S-實(shí)概念的研究情況，主要原因是它將有類似的結(jié)論成立，故沒有平推式列出相應(yīng)的結(jié)論。