劉海琴， 邵燕靈

(1.山西農(nóng)業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)部， 山西 太谷， 030801； 2.中北大學(xué)大數(shù)據(jù)學(xué)院， 太原 030051；3.中北大學(xué)理學(xué)院， 太原 030051)

1特殊圖的ABC能量

定理1當(dāng)n≥3時(shí)，路圖Pn的ABC能量為：

定理2當(dāng)n≥3時(shí)，路圖Pn的ABC特征多項(xiàng)式滿足

證明當(dāng)n≥3時(shí)，由定義知路圖Pn的ABC特征多項(xiàng)式為

PABC(Pn，λ)=det(λIn-ABC(Pn))=

(1)

引理2[1]如果M是非奇異矩陣，則有

定理31) 星圖Sn=K1，n-1(n≥2)的ABC特征多項(xiàng)式為

PABC(Sn，λ)=λ2-n[λ2-(n-2)]；

2) 星圖Sn(n≥2)的ABC能量為

證明1) 星圖K1，n-1的ABC矩陣為

(2)

因此，由引理2得到星圖K1，n-1的ABC特征多項(xiàng)式為

PABC(Sn，λ)=det(λIn-ABCP(Sn))=

(3)

PABC(Sn，λ)=λ2-n[λ2-(n-2)]．

2) 根據(jù)1) 中的結(jié)論直接計(jì)算可得

定理41) 完全圖Kn(n≥2)的ABC特征多項(xiàng)式為

PABC(Kn，λ)=

2) 完全圖Kn(n≥2)的ABC能量為

證明1) 易得完全圖Kn(n≥2)的ABC矩陣為

ABC(Kn)=

(4)

于是，由引理2得到完全圖Kn(n≥2)的ABC特征多項(xiàng)式為：

PABC(Kn，λ)=det(λIn-ABCP(Kn))=

(5)

PABC(Kn，λ)=

2) 根據(jù)1) 中的結(jié)論直接計(jì)算可得

定理51) 完全二部圖Km，n(m，n≠1)的ABC特征多項(xiàng)式為

PABC(Kn，λ)=λm+n-2[λ2-(m+n-2)]；

2) 完全二部圖Km，n(m，n≠1)的ABC能量為

證明1) 由于完全二部圖Km，n(m，n≠1)的ABC矩陣為

(6)

于是，由引理2得到完全圖Km，n(m，n≠1)的ABC特征多項(xiàng)式為

PABC(Km，n，λ)=det(λIn-ABCP(Km，n))=

(7)

2) 根據(jù)1) 中的結(jié)論直接計(jì)算可得

由定理5可知，完全二部圖的ABC能量?jī)H與圖的頂點(diǎn)總數(shù)有關(guān)，而與該二部圖的結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)．

若n為任意的正整數(shù)，F(xiàn)n指的是有2n+1個(gè)頂點(diǎn)和3n條邊的友誼圖.換言之，友誼圖Fn是一種可以通過(guò)n個(gè)3長(zhǎng)的圈圖C3與一個(gè)公共頂點(diǎn)合并而形成的圖.圖1中給出了友誼圖F2，F(xiàn)3和Fn．

圖1 友誼圖F2，F(xiàn)3和FnFig.1 Friendship graphs F2，F(xiàn)3and Fn

定理6當(dāng)n≥2時(shí)，

1) 友誼圖Fn的ABC特征多項(xiàng)式為

PABC(Fn，λ)=

2) 友誼圖Fn的ABC能量為

證明1) 由于友誼圖Fn的ABC特征多項(xiàng)式為

(8)

(9)

(10)

于是，

2) 根據(jù)1) 中的結(jié)論直接計(jì)算可得

定理7當(dāng)n≥2時(shí)，

圖2 風(fēng)車(chē)圖

(11)

令

λn+1(λ2-1)n-1(λ2-1-n).

2) 根據(jù)1) 中的結(jié)論直接計(jì)算可得

定理8對(duì)于頂點(diǎn)數(shù)同為m(m-1=6k，k為整數(shù))的友誼圖Fn和風(fēng)車(chē)圖Dn，EABC(Dn)

證明當(dāng)頂點(diǎn)數(shù)為m(m-1=6k，k為整數(shù))時(shí)，可知在友誼圖中C3的個(gè)數(shù)為3k，在風(fēng)車(chē)圖中C4的個(gè)數(shù)為2k，由定理6和定理7知

易得

EABC(Dn)

2特殊圖刪邊后的ABC能量

本部分考慮幾類(lèi)特殊圖在刪去一條邊后其ABC能量的變化．

引理2[8]令G=G1∪G2∪…∪Gp，則有

EABC(G)=EABC(G1)+EABC(G2)+

…+EABC(Gp)．

定理91) 若e∈E(Pn)，則有EABC(Pn-e)=EABC(Pr)+EABC(Ps)，其中r+s=n；

2) 若Sn表示n個(gè)頂點(diǎn)的星圖，且e∈E(Sn)，當(dāng)n≥3時(shí)有

EABC(Sn-e)=EABC(Sn-1)．

定理10若e為完全圖Kn(n≥4)的一條邊，Kn-e為Kn(n≥4)刪去一條邊所得，則有

EABC(Kn-e)

證明由于圖Kn-e的ABC矩陣為

由引理2得到圖Kn-e的ABC特征多項(xiàng)式為

PABC(Kn-e，λ)=det(λIn-ABC(Kn-e))=

(12)

EABC(Kn-e)