陳智慧， 金廣輝

(延邊大學(xué) 理學(xué)院， 吉林 延吉 133002)

0 引言

本文考慮如下Chern-Simons Landau-Lifshitz模型的自對(duì)偶方程靜態(tài)解的存在性問(wèn)題：

D0φ=φ×D1D1φ-N2φ3(n×φ)-V′(τ-n·φ)(n×φ),

(1)

(2)

?0N=-〈n×φ,D1φ〉,

(3)

?1N=τ-φ3.

(4)

D1φ+Nφ×(n×φ)=0,

(5)

?1N=τ-φ3.

(6)

Landau-Lifshitz方程是一類(lèi)重要的非線性偏微分方程，由于其可描述磁性物質(zhì)動(dòng)態(tài)磁化現(xiàn)象，因此在鐵磁物質(zhì)的動(dòng)態(tài)磁化理論研究和應(yīng)用中具有重要作用[1-5].Chern-Simons Landau-Lifshitz方程(CSLL方程)在凝聚態(tài)物理、材料功能的應(yīng)用等方面具有重要應(yīng)用價(jià)值，但由于CSLL方程存在Chern-Simons規(guī)范場(chǎng)的耦合，因此對(duì)其研究存在較多困難.近年來(lái)，一些學(xué)者在適當(dāng)假設(shè)的前提下對(duì)該方程的行波解、爆破解及解的漸進(jìn)行為等問(wèn)題進(jìn)行了研究[6-10].本文基于上述研究，研究了CSLL方程自對(duì)偶情況下的靜態(tài)解，并通過(guò)計(jì)算證明了CSLL方程具有能量守恒和規(guī)范不變的性質(zhì).

1 主要結(jié)果及其證明

定理1假設(shè)A1= 0， 則自對(duì)偶方程(5)和方程(6)有顯式靜態(tài)解：

其中C、C1和C2都是常數(shù)，且滿(mǎn)足關(guān)系C1=kC2.

證明首先假設(shè)自對(duì)偶方程(5)的靜態(tài)解的形式為：

φ(t,x)=(φ1(x),φ2(x),φ3(x)),N(t,x)=N(x).

(7)

則當(dāng)A1= 0時(shí)，由式(3)有0=〈n×φ,D1φ〉=〈n×φ, ?1φ+A1(n×φ)〉=〈n×φ, ?1φ〉.將方程(5)兩端與向量n×φ做內(nèi)積可得：

0=〈n×φ, ?1φ〉+A1〈n×φ,n×φ〉+N〈n×φ,φ×(n×φ)〉=

由上式可知假設(shè)A1= 0是合理的.將A1= 0代入方程(5)可得：

D1φ+Nφ×(n×φ)= ?1φ+N(n-φ〈n,φ〉)= ?1φ+N(n-φ3φ).

根據(jù)上式可將方程(5)和方程(6)化簡(jiǎn)為如下形式：

φ′1-Nφ1φ3=0,

(8)

φ′2-Nφ2φ3=0,

(9)

(10)

N′=τ-φ3.

(11)

顯然，求解上述方程組的關(guān)鍵是求解φ3(x).假設(shè)：

(12)

(13)

(ln (1+ρ)2+(τ-1)lnρ)′.

將上式左右兩端同時(shí)積分并整理后可得：

(14)

(15)

同理可得：

由于導(dǎo)數(shù)表示變化率，因此結(jié)合上述兩個(gè)極限可知：

(16)

再由方程(8)和方程(9)可知φ1和φ2滿(mǎn)足φ1=kφ2， 因此C1=kC2.定理1得證.

定理2若A0=φ3-τ, 則方程(5)和方程(6)的靜態(tài)解φ=(φ1(x),φ2(x),φ3(x)),N=N(x)是系統(tǒng)(1)—(4)的解.

證明根據(jù)方程(5)可知D1φ=-Nφ×(n×φ)=-Nn+Nφ3φ, 由此得n×D1φ=n×(-Nn+Nφ3φ)=Nφ3(n×φ).又因?yàn)镈α(φ×ψ)=(Dαφ×ψ)+(φ×Dαψ), 所以有：

φ×D1D1φ=D1(φ×D1φ)=D1(φ×(-Nn+Nφ3φ))=D1(N(n×φ)).

2 性質(zhì)

性質(zhì)1系統(tǒng)(1)— (4)有如下守恒能量：

(17)

證明首先將方程(1)與φ做外積，然后再與D0φ做內(nèi)積，則方程(1)可化簡(jiǎn)為

0=〈φ×(φ×D1D1φ),D0φ〉-N2φ3〈φ×(n×φ),D0φ〉-

V′(τ-n·φ)〈φ×(n×φ),D0φ〉=〈φ,D0φ〉〈φ,D1D1φ〉-〈D1D1φ,D0φ〉-

根據(jù)共軛導(dǎo)數(shù)的定義可得〈n,D0φ〉=〈n, ?0φ〉+A0〈n,n×φ〉= ?0φ3， 〈φ,D0φ〉=0, 因此上式可化簡(jiǎn)為0=-〈D1D1φ,D0φ〉-N2φ3?0φ3-V′(τ-φ3)?0φ3.利用公式DαDβφ=DβDαφ+Fα β(n×φ)及?α〈φ,ψ〉=〈Dαφ,ψ〉+〈φ,Dαψ〉對(duì)上式進(jìn)行計(jì)算可得：

將上式兩端同時(shí)在R上積分可得：

因此系統(tǒng)(1)—(4)有如式(17)的守恒能量.

性質(zhì)2系統(tǒng)(1)—(4)在如下規(guī)范變化下保持不變:

(18)

其中z=φ1+iφ2， 函數(shù)χ∈C∞(R1 + 1).

再根據(jù)共變導(dǎo)數(shù)的定義可知：

D0φ= ?0φ+A0(n×φ)= ?0(z,φ3)+A0(iz, 0)=(?0z+iA0z, ?0φ3).

類(lèi)似上述方法可得：

D1D1φ= ?1(D1φ)+A1(n×D1φ)= ?1(?1z+iA1z, ?1φ3)+A1(-A1z+i ?1z, 0)=

(a,b,c).

由上式可得：

φ×D1D1φ=(cφ2-bφ3,aφ3-cφ1,bφ1-aφ2)=((cφ2-bφ3)+i(aφ3-cφ1),bφ1-aφ2).

φ3(asinχ+bcosχ)+iφ3(acosχ-bsinχ)-i(φ1cosχ-φ2sinχ)c=

-icφ1(cosχ+i sinχ)+cφ2(cosχ+i sinχ)+iaφ3(cosχ+i sinχ)-bφ3(cosχ+i sinχ)=

(cφ2-bφ3)(cosχ+i sinχ)+i(aφ3-cφ1)(cosχ+i sinχ)=

(cφ2-bφ3)ei χ+i(aφ3-cφ1)ei χ,

(acosχ-bsinχ)(φ1sinχ+φ2cosχ)=bφ1-aφ2.

再根據(jù)Fμν的定義可知F01= ?0A1-?1A0.于是由函數(shù)χ∈C∞(R1 + 1)知F01經(jīng)過(guò)變換后有

對(duì)上式進(jìn)行變換后可得：

由上式可知方程(3)滿(mǎn)足規(guī)范不變性.由上述顯然知方程(4)也滿(mǎn)足規(guī)范不變性，證畢.