楊尊凱， 顧海波， 李 寧， 孫會(huì)賢， 田春平

(新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 烏魯木齊 830017)

0 引 言

本文主要研究以下具有測(cè)度積分邊界條件的非線性Hadamard分?jǐn)?shù)階微分方程:

Dαu(t)+f1(t,u(t),v(t))=0, 1

Dαv(t)+f2(t,u(t),v(t))=0, 1

u(1)=u′(1)=0

(1)

v(1)=v′(1)=0

式中:Dα和Iα分別是α階Hadamard分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和積分,2<α≤3,1<σ≤e;A(t)是單調(diào)遞增非負(fù)的可測(cè)函數(shù)。假設(shè)以下條件成立:

H1：fi(i=1,2)在[1,e]×R+×R+上是非負(fù)連續(xù)函數(shù)；

H2：在[1,e]上,

近年來(lái),分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題得到了許多學(xué)者的關(guān)注和深度研究,并且得出了大量的關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題的結(jié)果。本文研究的 (1) 式正解,尚未有學(xué)者進(jìn)行研究,尤其是具有測(cè)度積分邊界的分?jǐn)?shù)階微分方程研究甚少，但也有學(xué)者通過(guò)使用單調(diào)迭代方法研究了分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題解的存在性和唯一性[1-5],文獻(xiàn)[1]通過(guò)混合單調(diào)算子的不動(dòng)點(diǎn)定理,研究了含積分邊界條件的奇異分?jǐn)?shù)階微分方程正解的唯一性:

[0,+∞)是連續(xù)函數(shù),a,h∈C(0,1)，A是有界變差函數(shù)。

許多學(xué)者通過(guò)運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)定理研究了Caputo 類(lèi)型的分?jǐn)?shù)階微分方程[6-9],如文獻(xiàn)[6],利用增凹算子的不動(dòng)點(diǎn)定理,研究了一個(gè)新的分?jǐn)?shù)階微分方程組正解的存在性和唯一性：

式中:cDθ10+、cDθ20+是Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù);θi∈(2,3);fi： [0,1]×(-∞,+∞)×(-∞,+∞)→(-∞,+∞)是連續(xù)函數(shù);Ai是正可測(cè)有界變差函數(shù),ai： [0,1]→[0,+∞)是連續(xù)函數(shù),此處i=1,2。近年來(lái),Hadamard類(lèi)型分?jǐn)?shù)階微分方程也備受學(xué)者關(guān)注,一些學(xué)者通過(guò)不動(dòng)點(diǎn)定理等方法研究了Hadamard類(lèi)型分?jǐn)?shù)階微分方程[10-15],文獻(xiàn)[10]通過(guò)不動(dòng)點(diǎn)定理研究了具有積分邊界條件的非線性Hadamard分?jǐn)?shù)階微分方程組的正解：

式中:Dβ是β階Hadamard分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),2<β≤3;fi(i=1,2)在[1,e]×R+×R+上是非負(fù)連續(xù)函數(shù)。

1 預(yù)備知識(shí)

定義2.1[15]函數(shù)u: [1,∞)→R的α階Hadamard分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為：

式中:n=[α]+1;[α]表示實(shí)數(shù)α的整數(shù)部分;log(·)=loge(·)。

定義2.2[15]函數(shù)u: [1,∞)→R的α階Hadamard分?jǐn)?shù)階積分定義為：

等式右部分表示積分存在。

引理2.3令x,y∈C[1,e],C[1,e]是指[1,e]上連續(xù)函數(shù)所構(gòu)成的空間,積分邊值問(wèn)題∶

(2)

可以轉(zhuǎn)換成以下Hammerstein型積分方程：

(3)

式中:

(4)

δ為大于零的常數(shù)：

證明對(duì)(2)式進(jìn)行α階積分,有：

c1i,c2i∈R,i=1,2,3,再根據(jù)u(1)=v(1)=u′(1)=v′(1)=0,所以c12,c13,c22,c23=0,因此可以得到

根據(jù)條件:

可以推導(dǎo)出:

即:

令：

那么,c11,c21表示如下：

-

類(lèi)似地,也可以得到：

證明完畢。

通過(guò)引理2.3,方程(1)等同于以下Hammerstein型積分方程:

(5)

引理2.4對(duì)任意的t,s∈[1,e],由式(4)定義的函數(shù)G1(t,s)滿(mǎn)足下列不等式:

證明根據(jù)文獻(xiàn)[8]的理論結(jié)果,令α∈(n-1,n],n∈N,3≤n,構(gòu)造函數(shù)G(z,l):

函數(shù)G(z,l)假設(shè)如下:

(R1)G(z,l)=G(1-l,1-z),對(duì)任意的z,l∈[0,1]

(R2) Γ(α)k(z)q(l)≤G(z,l)≤(α-1)q(l),對(duì)任意的z,l∈[0,1]

因此,對(duì)任意的t,s∈[1,e],有∶

Γ(α)k(logt)q(logs)≤G(logt,logs)≤(α-1)q(logs)

Γ(α)k(logt)q(logs)≤G(logt,logs)≤(α-1)k(logt)

令z=logt,l=logs,則函數(shù)G(z,l)=G1(t,s),所以I1和I2成立,證明完畢。

(6)

令E∶=C[1,e],‖u‖∶=maxt∈[1,e]|u(t)|,P∶={u∈E:u(t)≥0,?t∈[1,e]},由此可知,(E,‖·‖)是實(shí)Banach空間,P是E上的錐。通過(guò)引理2.3以及引理2.4,定義算子Ti:P×P→P：

(7)

對(duì)任意的t∈[1,e]，有:

T(u,v)(t)=(T1(u,v),T2(u,v))(t)

(8)

Ti:P×P→P,T:P×P→P×P是全連續(xù)算子,當(dāng)且僅當(dāng)(u,v)是算子T的不動(dòng)點(diǎn),因此可以通過(guò)(u,v)求解方程(1)。

證明僅證明T1(P×P)∈P0,通過(guò)引理2.4(I1)以及Γ(·)函數(shù)在[2,+∞)單調(diào)遞增,對(duì)任意的t∈[1,e]，有:

以及

因?yàn)棣?1>1,所以對(duì)任意的u,v∈P,t∈[1,e],有:

證明完畢。

ω-Tω≠λω0, ?λ≥0,ω∈?Ω∩P,那么i(T,Ω∩P,P)=1

引理2.8[16]令E為實(shí)Banach空間,P為E上的錐。假設(shè)Ω?E是一個(gè)有界開(kāi)集,并且0∈Ω,而

ω-λTω≠0,則i(T,Ω∩P,P)=1

2 主要結(jié)果

為了后文表述方便,給出如下表示和相關(guān)假設(shè)條件：

H3：存在常數(shù)a1i,b1i(i=1,2)≥0以及l(fā)1,l2>0滿(mǎn)足下式:

H4：存在常數(shù)a1i,b1i(i=1,2)≥0以及r1>0滿(mǎn)足下式:

定理 3.1假設(shè)條件H1～H4成立,則方程(1)有一個(gè)正解。

證明令S1={(u,v)∈P×P:(u,v)=T(u,v)+λ(φ1,φ1),?λ≥0},φ1是P0中一個(gè)固定元素,稱(chēng)S1是P×P中的有界集合,如果存在(u,v)∈S1使得:

u(t)=T1(u,v)(t)+λφ1(t),v(t)=T2(u,v)(t)+λφ1(t),t∈[1,e]

(9)

那么通過(guò)引理2.6,可以知道u,v∈P0。

(10)

通過(guò)式(9)對(duì)任意的t∈[1,e],有∶

u(t)≥T1(u,v)(t),v(t)≥T2(u,v)(t)

(11)

根據(jù)算子Ti(i=1,2)的定義以及引理2.4和引理2.5可以得到：

(12)

(13)

結(jié)合條件H3,有：

(14)

以及

通過(guò)進(jìn)一步計(jì)算可得：

因此,存在常數(shù)M1>0,M2>0使得：

(15)

這也就證明了S1在P×P中是有界的。如果選擇

則對(duì)任意的(u,v)∈?BR1∩P×P,?λ≥0，有：

(u,v)≠T(u,v)+λ(φ1,φ1)

(16)

成立。因此,通過(guò)引理2.7,有：

i(T,?BR1∩(P×P),P×P)=0

(17)

接下來(lái)證明

(u,v)∈?Br1∩P×P,?λ∈[0,1],(u,v)≠λT(u,v)

(18)

假設(shè)式(18)不成立,存在(u,v)∈?Br1∩(P×P),λ∈[0,1],使得(u,v)=λT(u,v),這也就意味著對(duì)任意的t∈[1,e]，有:

u(t)≤T1(u,v)(t),v(t)≤T2(u,v)(t)

(19)

通過(guò)引理2.4以及2.5可得:

將H4代入上述不等式,可得:

因此,可得：

所以,通過(guò)H4可以知道∶

i(T,?Br1∩(P×P),P×P)=1

(20)

由式(14)以及式(18)可得：

=0-1=-1

3 例 子

令a11=20,a12=700,b11=400,b12=10,a21=3,a22=5,b21=2,b22=3,那么：

a11(k1+k3δ)+a12k4≈0.232+0.595<1,b12(k1+k4δ)+b11k3≈0.039+0.252<1

a21(k2+k5δ)+a22k6≈0.429 7+0.535<1,b22(k2+k6δ)+b21k5≈0.056 4+0.016 2<1

≈1.758 5

a11(k1+k3δ)+a12k4≈0.232+0.623<1,b12(k1+k4δ)+b11k3≈0.116+0.268<1

a21(k2+k5δ)+a22k6≈0.389 7+0.064<1,b22(k2+k6δ)+b21k5≈0.390 6+0.019<1

因此,對(duì)任意的t∈[1,e],x,y∈R+,α1,α2>1。令f1(t,x,y)=(20x+400y)α1,f2(t,x,y)=(400x+10y)α2,由此可以得到：

因此條件H3和H4成立。