郝仙娟， 許有純， 舒營(yíng)

（1.西京學(xué)院，西安 710000；2.安徽理工大學(xué)，安徽 淮南 232001）

0 引言

纖維增強(qiáng)復(fù)合材料（FRP）在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用得到頗多關(guān)注，但是FRP材料在使用期間，可能會(huì)受到不同程度的沖擊荷載作用。例如，飛機(jī)在起飛或降落過(guò)程中遭受的荷載沖擊，此沖擊如同超速運(yùn)動(dòng)的石塊或是碎片撞擊機(jī)身；冰雹風(fēng)暴天氣中，飛機(jī)所受損害與受到物體沖擊帶來(lái)的傷害無(wú)區(qū)別。不同的沖擊荷載作用下，F(xiàn)RP材料不僅受到顯而易見(jiàn)的外部損傷，還有不可估量的內(nèi)部損傷。內(nèi)部損傷會(huì)嚴(yán)重影響材料的強(qiáng)度和剛度，還會(huì)導(dǎo)致材料內(nèi)部裂紋延伸。

隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展和計(jì)算機(jī)技術(shù)的日益成熟，數(shù)值分析成為較多研究者的首選方法，它不僅節(jié)約資金，還可以使物體破壞過(guò)程再現(xiàn)，以獲取在試驗(yàn)中不易獲得的相關(guān)物理量。材料的本構(gòu)模型是開(kāi)展數(shù)值分析的前提。在應(yīng)變率作用下，復(fù)合材料的破壞形態(tài)復(fù)雜多樣，本構(gòu)模型比較難以表達(dá)。為攻破這一難關(guān)，學(xué)者們紛紛開(kāi)展探討。文中從細(xì)觀力學(xué)方法和宏觀唯象方法兩個(gè)方面展開(kāi)敘述FRP材料動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型。細(xì)觀力學(xué)常用的方法有Eshelby等效夾雜理論、自洽理論、Mori-Tanaka方法等［1-3］。

1 細(xì)觀力學(xué)方法

細(xì)觀力學(xué)［4］是從微觀角度對(duì)復(fù)合材料進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，揭示宏觀材料的有效性能。研究不同材料組合產(chǎn)生不同性能的原因，才能有針對(duì)性的設(shè)計(jì)出最佳的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)，滿足實(shí)際工程需求。

1.1 粘彈性本構(gòu)模型

在動(dòng)態(tài)破壞過(guò)程中，不會(huì)看到復(fù)合材料出現(xiàn)塑性變形，也不會(huì)出現(xiàn)跟金屬材料相似的屈服強(qiáng)化過(guò)程。因此，復(fù)合材料的黏彈性本構(gòu)模型得到較多關(guān)注。

粘彈性本構(gòu)模型［6］的統(tǒng)一形式是：任意時(shí)刻t粘彈性介質(zhì)的應(yīng)變?yōu)閺椥圆糠趾土髯儾糠种?，即?/p>

Wang等［7］用1個(gè)線彈性單元與多個(gè)Maxwell體平行連接方法，創(chuàng)建了復(fù)合材料粘彈性動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型。該模型用于單向復(fù)合材料在高應(yīng)變率作用下的力學(xué)性能研究，其中的相關(guān)參數(shù)是由不同應(yīng)變率試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合而來(lái)。

式中，E0為彈性模量通常稱為松弛時(shí)間。

Karim［8］是假設(shè)碳纖維和基體分別為線彈性材料、線性粘彈性材料，并把經(jīng)典層合板理論和復(fù)合材料粘彈性動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型（1個(gè)線彈性單元與多個(gè)Maxwell體平行連接）相結(jié)合，得到復(fù)合材料動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型。

式中，Ee為平衡模量；E1和E2是與時(shí)間有關(guān)的模量；θ1和θ2是特征松弛時(shí)間；為恒定應(yīng)變率。

古興瑾在 Kairm［8，9］的動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系研究基礎(chǔ)之上，采用1個(gè)線性彈性單元與2個(gè)Maxwell體平行連接的方法，對(duì)復(fù)合材料與應(yīng)變率相關(guān)的三維本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)。

1.2 橋聯(lián)模型

橋聯(lián)模型［10-13］中的纖維組分應(yīng)力和基體組分應(yīng)力之間用一個(gè)矩陣來(lái)連接，它的纖維應(yīng)力和基體應(yīng)力是由總應(yīng)力來(lái)確定的。橋聯(lián)模型可用于分析纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的彈性和非彈性問(wèn)題。

纖維、基體以及復(fù)合材料所滿足本構(gòu)方程如式（5）所示：

橋聯(lián)矩陣中所涉及的計(jì)算參數(shù)公式如下：

式中，稱α和β為橋聯(lián)參數(shù)，它們能通過(guò)試驗(yàn)測(cè)得的橫向模量和剪切模量來(lái)調(diào)節(jié)，從而取得最佳參數(shù)值。若沒(méi)有試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，α和β可在0.3～0.5和0.35～0.5之間取值。

由以上公式可以得到單向復(fù)合材料3個(gè)基本力學(xué)性能公式：

（1）纖維中的內(nèi)應(yīng)力為：

（2）基體中的內(nèi)應(yīng)力為：

（3）單向復(fù)合材料的柔度矩陣為：

復(fù)合材料的其他一些力學(xué)參數(shù)可以根據(jù)這3個(gè)基本公式得出。由此可以導(dǎo)出的橋聯(lián)模型等效彈性常數(shù)：

劉柳假定纖維是彈性體材料，基體是均質(zhì)的各向同性材料。在動(dòng)態(tài)荷載作用下，它們表現(xiàn)出粘彈性性質(zhì)?？紤]應(yīng)變率的影響，把整體本構(gòu)模型進(jìn)行修正。CFRP材料的應(yīng)變率強(qiáng)化效應(yīng)在改進(jìn)的橋聯(lián)模型中得到了大致的體現(xiàn)。

2 宏觀唯象方法

宏觀唯象方法［15］是用宏觀上的應(yīng)力、應(yīng)變對(duì)復(fù)合材料力學(xué)性質(zhì)描述。形式簡(jiǎn)單，工程應(yīng)用十分方便。

2.1 正交各向異性材料本構(gòu)模型

參考朱濱［16］彈性力學(xué)中關(guān)于廣義Hooke定律知識(shí)，把它和宏觀唯象理論相比，最終把正交各向異性材料本構(gòu)模型用宏觀唯象方法研究。

典型的CFRP屬于正交各向異性材料，根據(jù)廣義的Hooke定律［16，17］可以知道，正交各向異性體的本構(gòu)關(guān)系可以表述為：

式中，C為剛度系數(shù)矩陣，具有對(duì)稱性，可表示為：

同樣，S為柔度矩陣具有對(duì)稱性，S=C-1。

方盈盈［18］用動(dòng)態(tài)增強(qiáng)因子修改正交各向異性材料本構(gòu)模型中的柔度矩陣和剛度矩陣，得到復(fù)合材料三維動(dòng)態(tài)連續(xù)損傷本構(gòu)模型：

2.2 含損傷率相關(guān)本構(gòu)模型

許沭華［19］在Kevlar纖維復(fù)合材料的動(dòng)態(tài)壓縮試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，列出有關(guān)含損傷率的本構(gòu)模型，并得出與應(yīng)變率相關(guān)參數(shù)n的擬合關(guān)系式。

劉明爽［21］在2D-C/Si C復(fù)合材料動(dòng)態(tài)壓縮試驗(yàn)結(jié)果的基礎(chǔ)上，對(duì)彈性模量進(jìn)行動(dòng)態(tài)修正，建立模量與應(yīng)變率的對(duì)數(shù)呈線性的關(guān)系式，并提出一種率相關(guān)的損傷本構(gòu)模型。

式中，E為彈性模量；Y為屈服強(qiáng)；e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)；n為曲線形狀的影響參數(shù)；m為應(yīng)變率系數(shù)；Es為參考彈性模量；A為待定系數(shù)為加載應(yīng)變率為參考應(yīng)變率。

Salas P A和Benson D J等［22］以力學(xué)性能參數(shù)與應(yīng)變率對(duì)數(shù)的關(guān)系表達(dá)式為基礎(chǔ)，對(duì)本構(gòu)模型中的彈性模量進(jìn)行修正：

式中，c1為縮放參數(shù)（用以控制應(yīng)變率）。

2.3 其他本構(gòu)模型

在中等應(yīng)變率作用下，材料會(huì)呈現(xiàn)應(yīng)變率強(qiáng)化效應(yīng)和溫度軟化效應(yīng)現(xiàn)象。韓小平［23］在這一現(xiàn)象基礎(chǔ)上，參考金屬材料動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型-Johnson-Cook模型［24-26］，得出具有溫度耦合效應(yīng)的復(fù)合材料率相關(guān)動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型：

式中，ε為等效塑性應(yīng)變；A、B、C為材料強(qiáng)度的相關(guān)參數(shù)；n為應(yīng)變強(qiáng)化指數(shù)為無(wú)量綱變化量；為塑性等效應(yīng)變率為參考應(yīng)變率；m為溫度軟化指數(shù)；Tmelt為材料熔化溫度，K；Tr為參考溫度，K。

TAY等［27］得出的本構(gòu)模型是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)形公式。它的待定參數(shù)少，形式簡(jiǎn)單，大致上可以描述材料的動(dòng)態(tài)特性。公式中的參數(shù)是通過(guò)動(dòng)態(tài)試驗(yàn)獲得，其中動(dòng)應(yīng)力σd確定存在諸多困難，q1的物理含義尚不確切，它只能通過(guò)擬合大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果來(lái)獲得。

Xia和Wang等［28，29］在沖擊拉伸試驗(yàn)結(jié)果和單參數(shù)的Weibull函數(shù)兩者的基礎(chǔ)上，提出強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)，與試驗(yàn)結(jié)果相比較，此應(yīng)力-應(yīng)變曲線計(jì)算結(jié)果吻合度較高，核驗(yàn)了該模型的準(zhǔn)確性。

Harding J［30，31］等提出，應(yīng)變率對(duì)單向CFRP的影響是可以忽略的。而Al-zubaidy等不認(rèn)同應(yīng)變率對(duì)CFRP材料性能無(wú)影響這一觀點(diǎn)。Al-zubaidy等［32］提出了一系列經(jīng)驗(yàn)性公式，用于評(píng)估不同應(yīng)變率下CFRP可能的響應(yīng)。該公式描述碳纖維布在不同應(yīng)變率下的抗拉強(qiáng)度、彈性模量和破壞應(yīng)變。這些方程如下：

3 模型對(duì)比

從細(xì)觀力學(xué)方法角度看，在經(jīng)典的處理法中，粘彈性本構(gòu)模型一般是由一個(gè)線彈性單元與一個(gè)Maxwell體并聯(lián)的形式組成。但復(fù)合材料采取此經(jīng)典方法需要多組線彈性單元與Maxwell體并聯(lián)的形式。Wang、Karim和古興瑾學(xué)者們采用一個(gè)線彈性單元與多個(gè)Maxwell體并聯(lián)的方式，建立復(fù)合材料粘彈性動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型。采用多個(gè)Maxwell體能得到一個(gè)更精確的模型，同時(shí)計(jì)算會(huì)變得復(fù)雜。

復(fù)合材料在外荷載作用下沒(méi)有達(dá)到破壞時(shí)，橋聯(lián)模型用一個(gè)矩陣來(lái)表達(dá)組分材料內(nèi)應(yīng)力之間的關(guān)系。但是橋聯(lián)模型中的粘結(jié)假設(shè)是復(fù)合材料只要不破壞，纖維和基體就不發(fā)生分離和位移。理想的粘結(jié)假設(shè)沒(méi)有復(fù)合材料的應(yīng)變率效應(yīng)和材料的力學(xué)性能。劉柳將應(yīng)變率考慮在橋聯(lián)模型之中，改進(jìn)的橋聯(lián)模型大致體現(xiàn)了應(yīng)變率強(qiáng)化效應(yīng)。其中一些應(yīng)變率參數(shù)是通過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合才可得出，因此修正后的橋聯(lián)模型需進(jìn)一步改進(jìn)。

從宏觀角度來(lái)闡明復(fù)合材料動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型，大多是通過(guò)宏觀的應(yīng)力應(yīng)變及大量的試驗(yàn)結(jié)果擬合得出復(fù)合材料的相關(guān)動(dòng)態(tài)本構(gòu)。這些本構(gòu)模型形式相對(duì)簡(jiǎn)單，廣泛應(yīng)用。

4 結(jié)語(yǔ)

數(shù)值結(jié)果的真實(shí)還原度取決于復(fù)合材料動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型選取的合理性。材料結(jié)構(gòu)決定材料性質(zhì)，在充分了解材料結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上所做的假設(shè)，得出的材料本構(gòu)模型才更加合理。文中通過(guò)總結(jié)FRP動(dòng)態(tài)本構(gòu)得出以下結(jié)論：

（1）從細(xì)觀力學(xué)角度看，專家學(xué)者們采用一個(gè)線彈性單元與多個(gè)Maxwell體并聯(lián)的方式，建立復(fù)合材料粘彈性動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型。采用的Maxwell體越多，得到的模型更精確，但是計(jì)算會(huì)變得復(fù)雜。復(fù)合材料中，組分材料界面之間的相互作用極其復(fù)雜且難處理，所以得出的動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型形式復(fù)雜，在工程中難以展開(kāi)應(yīng)用。

（2）從宏觀角度看，大多的復(fù)合材料相關(guān)動(dòng)態(tài)本構(gòu)是通過(guò)宏觀的應(yīng)力應(yīng)變及大量的試驗(yàn)結(jié)果擬合得出的。它的形式簡(jiǎn)單，非常適合工程應(yīng)用。