[摘? ? ? ? ? ?要]? 相關(guān)分析與回歸分析是統(tǒng)計(jì)學(xué)中重要的概念，在二者的知識(shí)體系中涉及很多關(guān)聯(lián)性問題，如相關(guān)分析與回歸分析、相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系、相關(guān)系數(shù)與估計(jì)誤差、線性回歸與曲線回歸、真實(shí)相關(guān)與虛假相關(guān)等。從上述五組關(guān)聯(lián)性問題的各自概念入手，解剖了它們之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，即內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，從數(shù)學(xué)本質(zhì)上認(rèn)識(shí)了它們之間的對(duì)立統(tǒng)一性，對(duì)深刻理解相關(guān)與回歸分析提供幫助。同時(shí)，站在課程思政角度，指出關(guān)聯(lián)性分析所蘊(yùn)含的思政價(jià)值。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 統(tǒng)計(jì);相關(guān);回歸;關(guān)聯(lián)

[中圖分類號(hào)]? C81? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2022）21-0097-03

相關(guān)與回歸分析提供了研究相關(guān)關(guān)系的方法，在相關(guān)與回歸分析知識(shí)體系中，存在很多值得研究的關(guān)聯(lián)性問題，這些關(guān)聯(lián)性問題中也不乏思政話題。

一、相關(guān)分析與回歸分析

（一）相關(guān)分析與回歸分析的概念

相關(guān)關(guān)系的分析方法主要有兩種：相關(guān)分析和回歸分析。

相關(guān)分析，是對(duì)現(xiàn)象之間數(shù)量關(guān)系的分析研究，目的在于探討變量之間相互關(guān)系的密切程度及其變化規(guī)律，以便作出準(zhǔn)確的判斷，對(duì)其進(jìn)行必要的預(yù)測(cè)和控制。

相關(guān)分析的基本步驟：（1）繪制散點(diǎn)圖。觀察變量間是否呈規(guī)律變化。（2）選擇系數(shù)類別。根據(jù)變量類型或數(shù)據(jù)的正態(tài)性檢驗(yàn)，選擇合適的相關(guān)系數(shù)公式。（3）檢驗(yàn)異常值。對(duì)于出現(xiàn)的異常值，要充分考慮它存在的合理性，如果經(jīng)分析，異常值不適合存在，檢測(cè)前應(yīng)把異常值清除，以便保證數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性。（4）計(jì)算相關(guān)系數(shù)。計(jì)算相關(guān)系數(shù)r，評(píng)估相關(guān)程度。（5）顯著性檢驗(yàn)。由于r一般是從樣本數(shù)據(jù)得來的，不保證可靠，會(huì)存在隨機(jī)性的抽樣誤差，因此對(duì)相關(guān)系數(shù)r需進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。（6）得出相關(guān)結(jié)論。根據(jù)以上分析，得出變量之間的相關(guān)程度的結(jié)論。

回歸分析就是依據(jù)相關(guān)分析得出的結(jié)論，確定回歸模型（即數(shù)學(xué)方程）描繪變量間的相關(guān)關(guān)系，以便進(jìn)行估計(jì)或預(yù)測(cè)的統(tǒng)計(jì)方法。

回歸分析的基本步驟：（1）確定變量。首先根據(jù)對(duì)問題的分析判斷，將變量分為自變量和因變量。（2）建立回歸模型。依據(jù)自變量和因變量的統(tǒng)計(jì)資料，建立數(shù)學(xué)方程式，即回歸模型，描述變量間的關(guān)系。（3）對(duì)回歸模型統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。由于涉及的變量具有不確定性，還要對(duì)回歸模型進(jìn)行檢驗(yàn)?；貧w模型只有通過各種檢驗(yàn)，且預(yù)測(cè)誤差較小，才能用回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。（4）確定預(yù)測(cè)值。對(duì)獲得檢驗(yàn)通過的回歸模型，用自變量的取值來估計(jì)或預(yù)測(cè)因變量取值。

相關(guān)分析與回歸分析的區(qū)別：相關(guān)分析側(cè)重研究變量間的相關(guān)性;回歸分析側(cè)重于研究變量間的回歸模型，以便運(yùn)用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。

（二）相關(guān)分析與回歸分析的關(guān)聯(lián)性

一般來說，相關(guān)分析與回歸分析是相關(guān)關(guān)系分析中整個(gè)完整過程的兩個(gè)階段，相關(guān)分析是回歸分析的前提和基礎(chǔ)，回歸分析則是相關(guān)分析的深入和繼續(xù)，只有當(dāng)變量之間存在高度相關(guān)時(shí)，進(jìn)行回歸分析才有意義。

相關(guān)分析中，各變量均是隨機(jī)變量，變量間處于平等地位，他們之間的關(guān)系類似于方程關(guān)系。而回歸分析中，明確了自變量和因變量，自變量可以是確定性變量，因變量處于被解釋的地位，它們之間的關(guān)系類似于函數(shù)關(guān)系。

教科書中習(xí)慣把相關(guān)分析與回歸分析分開論述，但實(shí)際上二者互相補(bǔ)充構(gòu)成了相關(guān)關(guān)系研究的一個(gè)整體。因此只有把二者結(jié)合起來，往往才能達(dá)到研究的目的。

通過相關(guān)分析與回歸分析的關(guān)聯(lián)性學(xué)習(xí)，可培育學(xué)生科學(xué)把握事物之間聯(lián)系的思維，同時(shí)堅(jiān)持一分為二看問題的思維習(xí)慣。

二、相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系

（一）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的概念

客觀現(xiàn)象之間的關(guān)系可分為兩類：一是函數(shù)關(guān)系，二是相關(guān)關(guān)系。

函數(shù)關(guān)系是指現(xiàn)象之間是一種確定性的數(shù)量依存關(guān)系，表現(xiàn)為某一變量發(fā)生變化另一變量有確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)。如，正方形的面積與邊長(zhǎng)之間就是函數(shù)關(guān)系。

相關(guān)關(guān)系是客觀現(xiàn)象存在的一種非確定的相互依存關(guān)系，表現(xiàn)為某一變量發(fā)生變化另一變量也發(fā)生變化，但變化的數(shù)值是不確定的。如價(jià)格與銷售量、廣告費(fèi)投入與廣告收益等都屬于相關(guān)關(guān)系。相關(guān)關(guān)系可分為一元相關(guān)（單相關(guān)）和多元相關(guān)（復(fù)相關(guān)）、線性相關(guān)和非線性相關(guān)、正相關(guān)和負(fù)相關(guān)。相關(guān)關(guān)系覆蓋了我們生活的全部，它符合世界是普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)。

（二）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的關(guān)聯(lián)性

相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系具有數(shù)學(xué)意義下的內(nèi)在的關(guān)聯(lián)性。看下面的多元函數(shù)：

y=f（x1，x2，…，xn），（x1，x2，…，xn）∈D? ? （1）

上面的多元函數(shù)（n≥2）中，如果某些自變量缺失，那么其余變量與y之間便構(gòu)成相關(guān)關(guān)系。（1）式中，不妨設(shè)剩余變量為x1，x2，…，xr（r<n）相關(guān)關(guān)系用f來表示，那么此時(shí)相關(guān)關(guān)系可以表示為y=f（x1，x2，…，xr），當(dāng)r=1時(shí)為一元相關(guān)，當(dāng)r≥2時(shí)為多元相關(guān)。類似地，可以定義多個(gè)因變量與自變量之間的相關(guān)關(guān)系。

從數(shù)學(xué)意義上說，相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系是一個(gè)問題的兩個(gè)方面。由于我們?nèi)狈?duì)世界的真正認(rèn)識(shí)以及研究工具的不足，客觀世界的很多現(xiàn)象之間很難確定出準(zhǔn)確的函數(shù)關(guān)系。因而函數(shù)關(guān)系往往僅是一種理想狀態(tài)，而研究變量之間的相關(guān)關(guān)系成為一種可能。隨著相關(guān)關(guān)系研究的深入，相關(guān)關(guān)系的極限目標(biāo)就是函數(shù)關(guān)系。

相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的關(guān)聯(lián)性分析，其思政價(jià)值是能讓學(xué)生進(jìn)一步理解世界是普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)，以及普遍性與特殊性、理想與現(xiàn)實(shí)等的辯證關(guān)系。

三、相關(guān)系數(shù)與估計(jì)誤差

（一）相關(guān)系數(shù)與估計(jì)誤差的概念

相關(guān)系數(shù)是用量化的方式描繪線性相關(guān)條件下變量之間相關(guān)關(guān)系密切程度的指標(biāo)。相關(guān)系數(shù)有很多種，不同的數(shù)據(jù)特征和分析需求會(huì)選擇不同的相關(guān)系數(shù)。這里所指的相關(guān)系數(shù)是應(yīng)用最廣泛的皮爾遜相關(guān)系數(shù)。

相關(guān)系數(shù)公式與方差，兩者均來自協(xié)方差。協(xié)方差用于衡量?jī)蓚€(gè)變量的總體誤差，協(xié)方差的計(jì)算公式為：

式中：σx為變量x的標(biāo)準(zhǔn)差;σy為變量y的標(biāo)準(zhǔn)差。

估計(jì)誤差，本文特指估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差。估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差，它是說明實(shí)際值與其估計(jì)值之間相對(duì)偏離程度的指標(biāo)，主要用來衡量回歸方程的代表性。

估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差可從另一角度顯示回歸模型擬合的優(yōu)劣狀況。估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差越小，表明模型擬合越好。反之，正好相反。

（二）相關(guān)系數(shù)與估計(jì)誤差的關(guān)聯(lián)性

相關(guān)系數(shù)和估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差從公式設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)及推理上，均體現(xiàn)了二者之間的關(guān)聯(lián)性。當(dāng)n充分大時(shí)，相關(guān)系數(shù)與估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差在數(shù)值上存在推理關(guān)系。即

從以上推算公式可知，相關(guān)系數(shù)越大，對(duì)應(yīng)估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差的值越小，回歸直線的代表性越好。反之，正好相反。

相關(guān)系數(shù)與估計(jì)誤差的關(guān)聯(lián)性，一方面使學(xué)生認(rèn)識(shí)到回歸分析涉及誤差問題的重要性，另一方面其思政價(jià)值在于培育學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的洞察力和科學(xué)探索精神。

四、線性回歸與曲線回歸

（一）線性回歸與曲線回歸的概念

線性回歸是當(dāng)兩變量的增量按一定比例變化，或者說兩個(gè)變量增長(zhǎng)率為常數(shù)時(shí)，就認(rèn)為兩個(gè)變量符合線性關(guān)系，可建立線性回歸方程。

曲線回歸是兩變量的增量不按一定比例變化，即兩變量屬于非線性關(guān)系的變量，這時(shí)的回歸就是曲線回歸。曲線回歸是為了彌補(bǔ)普通線性回歸不擅長(zhǎng)處理非線性問題而設(shè)計(jì)的，它給自變量加上一些適合當(dāng)前問題的非線性特征（比如指數(shù)等），讓模型可以更好地?cái)M合當(dāng)前非線性問題。

統(tǒng)計(jì)學(xué)具有過程導(dǎo)向性，需要每一步都要滿足相應(yīng)的數(shù)學(xué)邏輯。不管哪種回歸，分析的時(shí)候需要關(guān)注假設(shè)條件是否滿足、模型擬合是否達(dá)標(biāo)、參數(shù)是否顯著、自變量之間是否存在多重共線性等問題。

（二）線性回歸與曲線回歸的關(guān)聯(lián)性

在線性回歸中，數(shù)據(jù)使用線性預(yù)測(cè)函數(shù)來建模，并且未知的模型參數(shù)也是通過數(shù)據(jù)來估計(jì)，這些模型被稱為線性模型。對(duì)于一些可線性化的曲線類型，可通過變換等方法轉(zhuǎn)化為線性模型，利用線性回歸的方法求出相應(yīng)的回歸方程。

例如，經(jīng)過散點(diǎn)圖觀察，一組數(shù)據(jù)的兩個(gè)變量符合指數(shù)類函數(shù)曲線：y=aebx（a，b∈R，a>0）

對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù)，得lny=lna+bx令y′=lny？圯y′=lna+bx.即化為了一元線性方程的形式，然后利用公式計(jì)算出lna與b的值，再把最后a和b的值代入所設(shè)方程。

可見，上述幾種類型的曲線，都可通過變換將曲線回歸轉(zhuǎn)化為線性回歸來解決。

線性回歸與曲線回歸的關(guān)聯(lián)性，體現(xiàn)復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，用簡(jiǎn)單定義復(fù)雜。其思政價(jià)值在于教學(xué)中深入解讀這一科學(xué)方法，培育學(xué)生的科學(xué)思維。

五、真實(shí)相關(guān)與虛假相關(guān)

（一）真實(shí)相關(guān)與虛假相關(guān)的概念

回歸分析的目的是為了找到自變量和因變量之間的相關(guān)性，這種相關(guān)變量之間如果確實(shí)存在一定的“因果關(guān)系”，并具有研究意義，這樣的相關(guān)就是真實(shí)相關(guān)。

虛假相關(guān)，也稱偽相關(guān)，它指的是自變量和因變量之間本來沒有任何現(xiàn)實(shí)的邏輯關(guān)系，但由于某種原因，相關(guān)分析卻顯示出它們之間存在統(tǒng)計(jì)意義上的相關(guān)性，讓人錯(cuò)誤地認(rèn)為兩者之間有關(guān)聯(lián)，這種相關(guān)就是虛假相關(guān)。虛假相關(guān)，在生活中隨處可見。

例：冰淇淋銷量和溺水兒童數(shù)。某個(gè)夏天，人們發(fā)現(xiàn)鎮(zhèn)上的冰淇淋銷量和溺水兒童數(shù)量同步上升，進(jìn)而拿冰淇淋銷量對(duì)溺水兒童數(shù)量進(jìn)行相關(guān)分析，得到的結(jié)論是二者相關(guān)。但其真實(shí)的原因是夏天高溫的天氣，同時(shí)引起兩者數(shù)量的增長(zhǎng)。

虛假相關(guān)的成因一般有兩個(gè)：一個(gè)是存在第三變量（干擾因素）同時(shí)對(duì)這兩個(gè)事件造成影響。例子1中夏天炎熱的高溫是引起虛假相關(guān)的第三變量。虛假相關(guān)的另一個(gè)成因是純屬巧合，如例子2，不受第三方干預(yù)的兩個(gè)獨(dú)立個(gè)體產(chǎn)生相關(guān)巧合。

（二）真實(shí)相關(guān)與虛假相關(guān)的關(guān)聯(lián)性

真實(shí)相關(guān)與虛假相關(guān)在數(shù)據(jù)上都滿足相關(guān)的條件，而虛假相關(guān)雖有數(shù)據(jù)支撐，但缺乏數(shù)據(jù)之外的邏輯支撐。

當(dāng)變量A和B相關(guān)時(shí)，有以下三種可能：（1）A導(dǎo)致B，或B導(dǎo)致A。A和B真實(shí)相關(guān)，二者有邏輯關(guān)系;（2）C導(dǎo)致A，C導(dǎo)致B，共同干擾因素C引起A和B虛假相關(guān)，A與B沒有邏輯關(guān)系;（3）D導(dǎo)致A，E導(dǎo)致B，兩個(gè)獨(dú)立因素D和E引起A與B的虛假相關(guān)，A與B沒有邏輯關(guān)系。

虛假相關(guān)需要通過某種手段檢測(cè)分辨。如設(shè)計(jì)檢測(cè)“X→Y”的相關(guān)關(guān)系，則下列三個(gè)條件都成立，才可得出X與Y相關(guān)：（1）X發(fā)生在Y之前;（2）若X不發(fā)生則Y也不發(fā)生;（3）若X發(fā)生則Y一定發(fā)生。如“汽車行駛的速度與剎車距離”滿足上面三個(gè)條件，二者相關(guān)?！袄滹嫷匿N量與泳池溺水的人數(shù)”不滿足上面三個(gè)條件，無(wú)法確認(rèn)二者相關(guān)。

虛假相關(guān)是有危害的，但也不能一概而論，如果相關(guān)因?yàn)榈谌兞浚ǔ梢蛞唬┮?，那么這種相關(guān)可能是有用的。原因很簡(jiǎn)單，很多情況我們無(wú)法追根溯源，無(wú)法依靠純粹的“因果推斷”，這時(shí)通過間接手段獲取信息就是有價(jià)值的。還拿冰淇淋例子來說，假設(shè)我們無(wú)法得到任何季節(jié)或氣溫等信息，那么僅靠冰淇淋的銷售數(shù)同樣可以推斷溺亡人數(shù)的趨勢(shì)。

實(shí)際中，因相關(guān)與回歸分析關(guān)乎數(shù)據(jù)的來源與數(shù)量的多少、模型的選擇，以及計(jì)算的精準(zhǔn)度等因素，都可能產(chǎn)生虛假相關(guān)，因此需采取綜合方法研究。

在數(shù)據(jù)泛濫的當(dāng)今時(shí)代，真實(shí)相關(guān)與虛假相關(guān)的問題提示我們：要相信數(shù)據(jù)但不能迷信數(shù)據(jù)，特別是一些缺乏論證的數(shù)據(jù)，對(duì)其可靠性我們要善于提出質(zhì)疑。課堂上，圍繞這一點(diǎn)要啟發(fā)學(xué)生善于明辨是非，樹立嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí)的科學(xué)態(tài)度。

六、結(jié)語(yǔ)

統(tǒng)計(jì)學(xué)相關(guān)與回歸分析知識(shí)體系中，關(guān)聯(lián)性問題很多，他們具有數(shù)學(xué)本質(zhì)的一致性。關(guān)聯(lián)性問題的研究有助于發(fā)現(xiàn)事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。同時(shí)，關(guān)聯(lián)性分析，又可以為我們課程思政找到更多資源。

參考文獻(xiàn)：

[1]宋立新.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]王孝玲.教育統(tǒng)計(jì)學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2001.

[3]劉宏偉.統(tǒng)計(jì)學(xué)原理[M].北京：中國(guó)傳媒大學(xué)出版社，2008.

[4]趙海榮.統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：教育科學(xué)出版社，2018.

[5]劉澤.統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：人民郵電出版社，2017.

◎編輯 馬花萍

作者簡(jiǎn)介：宋斌（1968—），男，漢族，黑龍江五常人，教育碩士，副教授，研究方向：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)和橋牌。