鄧 健，肖鵬程，王增賢，邵光冉，盧天健

（1.南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016；2.南京航空航天大學(xué) 多功能輕量化材料與結(jié)構(gòu)工信部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016）

引言

為有效分析裂紋的萌生與擴(kuò)展過程，黏聚區(qū)模型（cohesive zone model，CZM）被廣泛應(yīng)用于纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)的分層失效與界面脫黏的模擬[1-2].相對(duì)于有限元數(shù)值方法，解析法形式簡單，且不存在數(shù)值穩(wěn)定性的問題，能夠以較低成本討論界面性能參數(shù)、本構(gòu)形式對(duì)裂紋擴(kuò)展和最終失效載荷的影響，有利于深入研究分層損傷擴(kuò)展的力學(xué)行為.此外，理論研究可為斷裂韌性試驗(yàn)的設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)處理方法的發(fā)展提供理論基礎(chǔ)，且對(duì)數(shù)值仿真結(jié)果的有效性驗(yàn)證有一定的補(bǔ)充作用，進(jìn)而促進(jìn)CZM 在復(fù)雜結(jié)構(gòu)層間損傷分析中的應(yīng)用[3-4].

端部缺口彎曲（end notched flexure，ENF）試件是評(píng)估復(fù)合材料層合板Ⅱ型（剪切型）斷裂的標(biāo)準(zhǔn)形式，國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)其裂紋擴(kuò)展過程的建模、分析和設(shè)計(jì)展開了廣泛研究.例如，Hashemi 等[5]基于修正梁理論研究了ENF試件的裂紋擴(kuò)展過程；Carlsson 等[6]討論了橫向剪切變形對(duì)能量釋放率（GⅡ）的影響；Fan 等[7]和Valvo[8]指出基于梁理論的ENF 模型忽略了裂紋尖端的塑性變形；而Whitney 等[9]將裂尖應(yīng)力奇異性引入ENF試件的剪切梁模型.隨后Whitney[10]基于Reissner 變分原理發(fā)展了Ⅱ型裂紋擴(kuò)展的高階梁模型.此外，Williams[11]在分層裂紋長度中引入與材料彈性參數(shù)有關(guān)的修正量χ，考慮了裂尖變形和轉(zhuǎn)角的影響.陳瑛和喬丕忠[12]將雙線性黏聚區(qū)本構(gòu)引入到4ENF試件中，研究了界面應(yīng)力分布情況，但并未詳細(xì)討論裂紋擴(kuò)展過程.劉偉先等[13]研究了ENF試件中的裂紋擴(kuò)展，認(rèn)為裂紋擴(kuò)展之后黏聚區(qū)長度保持定值，但僅考慮了ENF試件的裂紋長度小于試件半長的情況.

本文基于經(jīng)典層合板理論及CZM，建立了含一般分層裂紋層合板的理論模型，對(duì)純Ⅱ型斷裂ENF試件進(jìn)行裂紋擴(kuò)展理論分析.相較于傳統(tǒng)的梁理論，該模型充分考慮黏聚區(qū)的軟化過程，引入了試件發(fā)生失效前的非線性行為.將模型預(yù)測(cè)與試驗(yàn)結(jié)果及梁模型預(yù)測(cè)進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了其有效性.基于所提出的模型，研究了典型ENF試件載荷-位移曲線和黏聚區(qū)長度對(duì)界面參數(shù)、裂紋長度的響應(yīng)，并討論了裂紋長度超過試件半長時(shí)，裂紋擴(kuò)展對(duì)黏聚區(qū)長度的影響.本文研究不僅為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的分層裂紋擴(kuò)展分析提供了理論依據(jù)，還為數(shù)值仿真提供一個(gè)可靠的交叉檢驗(yàn)工具.

1 含一般分層裂紋的層合板模型

本文考慮含有一般分層裂紋的復(fù)合材料層合板，層合板長2L、寬b，分層后的上下半板的厚度分別為h1，h2，其幾何尺寸及坐標(biāo)系如圖1所示.如圖所示，貫穿層合板的寬度方向且與其長度方向平行的分層裂紋長度為a，假設(shè)該裂紋僅向?qū)雍习鍍?nèi)部并沿已有裂紋方向擴(kuò)展，潛在裂紋在圖中以虛線標(biāo)出.根據(jù)黏聚區(qū)模型，裂尖區(qū)域存在黏聚區(qū)，通過界面應(yīng)力作用于潛在裂紋的上下表面，界面應(yīng)力分布可由基于相對(duì)位移的黏聚區(qū)本構(gòu)關(guān)系確定.進(jìn)一步假設(shè)層合板為薄壁結(jié)構(gòu)，符合經(jīng)典層合板理論的應(yīng)用范圍[14]，則上下兩半板在各自局部坐標(biāo)系中的位移場可表示為

裂紋擴(kuò)展過程中，假設(shè)上下兩半板處于小變形狀態(tài).根據(jù)上下兩半板微元段的受力平衡條件（圖1），忽略高階項(xiàng)，則含一般分層裂紋的復(fù)合材料層合板（上下兩半板）的控制方程為

本文采用雙線性本構(gòu)T-S 分析圖1所示分層裂紋的擴(kuò)展，該本構(gòu)具有理論完善、簡潔高效、所需測(cè)量及擬合參數(shù)較少等特點(diǎn)，在復(fù)合材料層合板分析中得到廣泛應(yīng)用.如圖2所示，雙線性T-S 包含線彈性加載及線性軟化兩個(gè)階段，黏聚區(qū)材料點(diǎn)以零應(yīng)力對(duì)應(yīng)零相對(duì)位移起始，在損傷出現(xiàn)之前保持線彈性；假設(shè)界面初始剛度為一個(gè)適當(dāng)?shù)闹?，以保證在線彈性階段，黏聚區(qū)上下表面重合、不會(huì)相互嵌入.界面應(yīng)力滿足損傷起始條件后，材料點(diǎn)發(fā)生線性軟化；持續(xù)加載，直到應(yīng)力再次為零時(shí)，裂紋發(fā)生擴(kuò)展.定義臨界能量釋放率為本構(gòu)關(guān)系曲線與相對(duì)位移軸線圍成的面積.

圖1 層合板黏聚區(qū)微元受力分析Fig.1 Microelement stress analysis of the cohesive zone of the laminates

圖2 黏聚區(qū)雙線性本構(gòu)模型Fig.2 The bilinear constitutive model for the cohesive zone

由此，基于經(jīng)典層合板理論，本文建立了含一般分層裂紋的復(fù)合材料層合板的理論分析模型，包括三個(gè)部分：式(1)給出的變形協(xié)調(diào)條件，式(2)給出的平衡關(guān)系以及黏聚區(qū)的雙線性本構(gòu).結(jié)合具體層合板結(jié)構(gòu)及加載工況所確定的邊界條件和連續(xù)性條件，可聯(lián)立以上微分方程進(jìn)行求解.

2 ENF試件裂紋擴(kuò)展分析

為測(cè)量復(fù)合材料層合板Ⅱ型分層裂紋的臨界應(yīng)變能釋放率，通常采用三點(diǎn)彎的方式對(duì)ENF試件進(jìn)行加載和約束，如圖3所示，ENF試件兩端受簡支約束，在其中間部位施加垂直于試件表面的下壓載荷.加載過程中，預(yù)置于ENF試件中面的分層裂紋將會(huì)沿其中面持續(xù)向內(nèi)部擴(kuò)展（圖3 中虛線）.此外，為研究純Ⅱ型裂紋擴(kuò)展，試驗(yàn)過程中應(yīng)保證ENF試件的上下兩半板始終閉合且無法向相對(duì)位移，即式(3)中Δn=0.為滿足此要求，ENF試件的鋪層設(shè)計(jì)為關(guān)于中面（斷裂面）對(duì)稱，使得其上下半板的拉伸和彎曲剛度相同.因此，結(jié)合式(1)～(3)，ENF試件裂紋擴(kuò)展的控制方程可簡化為

圖3 ENF試件幾何尺寸及加載情況Fig.3 The ENF specimen geometry and loading conditions

式中，A11s，B11s，D11s為層合板半板的拉伸剛度、耦合剛度及彎曲剛度.

2.1 位移函數(shù)

2.2 求解

圖4 ENF試件加載軟化階段Fig.4 The loading softening stage of the ENF specimen

3 分析與討論

為驗(yàn)證本文基于CZM 建立的分層裂紋擴(kuò)展分析模型的有效性，選取文獻(xiàn)[16]中的復(fù)合材料層合板及界面性能參數(shù)，針對(duì)給定幾何尺寸的試件進(jìn)行分析.ENF試件為單向復(fù)合材料（HTA6376/C）層合板，相關(guān)材料力學(xué)性能參數(shù)、試件幾何尺寸分別如表1 和表2所示.

表1 ENF試件材料力學(xué)性能參數(shù)[16]Table 1 Mechanical properties of the ENF specimen[16]

表2 ENF試件幾何尺寸[16]Table 2 Geometric dimensions of the ENF specimen[16]

如圖5所示，本文提出的基于CZM 裂紋擴(kuò)展分析模型能夠有效地模擬ENF試件裂紋擴(kuò)展過程，采用該模型預(yù)測(cè)的失效載荷與試驗(yàn)結(jié)果誤差僅為5%.此外，由于考慮了黏聚區(qū)的軟化過程，本文模型預(yù)測(cè)的載荷-位移曲線在初始彈性加載段之后出現(xiàn)非線性，預(yù)測(cè)的失效載荷優(yōu)于傳統(tǒng)的梁理論預(yù)測(cè).由于梁理論僅在裂紋開始擴(kuò)展之后引入Ⅱ型臨界能量釋放率，其對(duì)ENF試件失效載荷Pc的預(yù)測(cè)值偏大.加載后期，裂紋擴(kuò)展主要受單參數(shù)影響，在加本文模型預(yù)測(cè)的載荷-位移曲線與梁理論結(jié)果基本重合（圖5）.

圖5 本文模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[16]及梁理論預(yù)測(cè)的對(duì)比Fig.5 Comparison of the proposed model with the experimental results[16]and the beam theory prediction

基于所提出的ENF試件分層裂紋擴(kuò)展模型，本文進(jìn)一步分析界面強(qiáng)度、斷裂韌性及界面初始剛度對(duì)ENF試件載荷-位移曲線的影響.首先，界面強(qiáng)度對(duì)ENF試件失效前的非線性段及最大失效載荷有一定影響，如圖6所示，隨著界面強(qiáng)度增大，失效載荷增大，本文模型預(yù)測(cè)的載荷-位移曲線不斷接近梁理論結(jié)果（后者僅考慮彈性階段，假設(shè)界面強(qiáng)度無限大）.此處，斷裂韌性是影響Ⅱ型裂紋擴(kuò)展的主要參數(shù)，隨著的增加，失效載荷增大，如圖7所示；由于梁理論未考慮黏聚區(qū)軟化，其預(yù)測(cè)的失效載荷為本文模型預(yù)測(cè)的上閾值.

圖6 界面強(qiáng)度對(duì)ENF試件載荷-位移曲線的影響Fig.6 Influences of the interfacial strength on load-displacement curves of the ENF specimen

圖7 斷裂韌性對(duì)ENF試件載荷-位移曲線的影響Fig.7 Influences of the fracture toughness on load-displacement curves of the ENF specimen

圖8 Ⅱ型界面初始剛度的影響：(a)載荷-位移曲線；(b)Ⅱ型裂紋T-S 本構(gòu)關(guān)系Fig.8 Influences of the initial stiffness of the mode Ⅱ interfaces:(a)load-displacement curves;(b)T-S constitutive relationships of the mode Ⅱ crack

圖9 展示了ENF試件Ⅱ型裂紋黏聚區(qū)長度隨裂紋擴(kuò)展的變化：裂紋擴(kuò)展過程中，當(dāng)黏聚區(qū)尖端到達(dá)試件半長處時(shí)，lCZ呈現(xiàn)一定程度的減小，這與Ⅰ型裂紋的lCZ維持不變有所不同.因此，采用基于CZM 的有限元方法對(duì)含有Ⅱ型裂紋的結(jié)構(gòu)進(jìn)行裂紋擴(kuò)展模擬時(shí)，應(yīng)充分考慮裂紋長度對(duì)黏聚區(qū)長度和界面單元尺寸的影響，以保證數(shù)值模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性.

圖9 Ⅱ型裂紋黏聚區(qū)長度隨裂紋擴(kuò)展的變化趨勢(shì)Fig.9 Variation tendencies of the cohesive zone length of the mode Ⅱ crack with the crack growth

圖10 給出界面參數(shù)對(duì)Ⅱ型裂紋黏聚區(qū)長度的影響，可見黏聚區(qū)長度隨斷裂韌性增大而增大，隨界面強(qiáng)度增大而減小，且界面強(qiáng)度相較于斷裂韌性對(duì)Ⅱ型裂紋黏聚區(qū)長度的影響更為明顯.

圖10 界面參數(shù)對(duì)Ⅱ型裂紋黏聚區(qū)長度的影響Fig.10 Influences of interface parameters on the cohesive zone length of the mode Ⅱ crack

4 結(jié)論

基于經(jīng)典層合板理論及CZM，本文建立了適用于分析純Ⅱ型斷裂ENF試件分層裂紋擴(kuò)展的理論模型，且模型預(yù)測(cè)的載荷-位移曲線與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，驗(yàn)證了其有效性和準(zhǔn)確性.隨后，本文采用該模型，量化了界面強(qiáng)度、斷裂韌性及界面初始剛度對(duì)ENF試件載荷-位移曲線的影響，發(fā)現(xiàn)界面強(qiáng)度主要影響試件失效前的力學(xué)行為，對(duì)裂紋擴(kuò)展基本無影響；斷裂韌性是影響裂紋擴(kuò)展的主要參數(shù)；界面初始剛度僅影響線彈性加載段；黏聚區(qū)長度隨斷裂韌性增大而增大，隨界面強(qiáng)度增大而減??；相較于斷裂韌性，界面強(qiáng)度對(duì)裂紋黏聚區(qū)長度影響更明顯；黏聚區(qū)尖端到達(dá)試件半長處時(shí)，純Ⅱ型裂紋黏聚區(qū)的長度有一定程度的減小.本文提出的理論模型為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的分層裂紋擴(kuò)展分析提供了理論依據(jù)，還為數(shù)值仿真提供了可靠的交叉檢驗(yàn)工具.此外，后續(xù)工作應(yīng)進(jìn)一步分析多種Ⅱ型斷裂韌性試件的裂紋擴(kuò)展，如端部加載劈裂試件等，提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性及模型的適用性.