曾偉強(qiáng)

（深圳市海灣中學(xué) 廣東·深圳 518000）

0 引言

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)，要求學(xué)生結(jié)合實(shí)際情況尋找數(shù)學(xué)問(wèn)題，再根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生產(chǎn)生模型思想意識(shí)，利用系統(tǒng)性的教學(xué)提高學(xué)生的應(yīng)用和解決問(wèn)題的水平。筆者以一道中考幾何試題的課堂教學(xué)，讓學(xué)生體驗(yàn)“問(wèn)題情境—數(shù)學(xué)模型—驗(yàn)證、使用、延伸”整體學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生加入到解決問(wèn)題的行列當(dāng)中，體驗(yàn)解決數(shù)學(xué)模型的發(fā)展過(guò)程，形成模型思維，并運(yùn)用模型提高解決問(wèn)題的能力，同時(shí)體驗(yàn)考試的價(jià)值和意義。數(shù)學(xué)教師應(yīng)善于分析和研究歷屆中考試題，對(duì)典型問(wèn)題進(jìn)行分析尋找富有代表性的模型，適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行相應(yīng)的擴(kuò)展和演化，引導(dǎo)學(xué)生充分探索，研究問(wèn)題根因，鼓勵(lì)學(xué)生借助自身能力收集和組織信息，進(jìn)行全面、深入、多角度地思考“如何解決問(wèn)題，如何學(xué)會(huì)解決問(wèn)題”的各個(gè)過(guò)程，從而提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。在下文中，筆者以一道2020年廣東省深圳市中考數(shù)學(xué)試題為例，主要針對(duì)如何建立模型，如何快速提高學(xué)生的問(wèn)題解決能力進(jìn)行簡(jiǎn)單的探索。

1 考題呈現(xiàn)

考題（2014威海）如圖1，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò) A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三點(diǎn)。

圖1

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）E為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E使以A、B、E為頂點(diǎn)的三角形與△COB相似？若存在，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若將直線BC平移，使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且與拋物線相交于點(diǎn)D，連接BD，試求出∠BDA的度數(shù)。

2 構(gòu)建基本模型，感悟解題方法

第一步：仔細(xì)審題，了解問(wèn)題。

了解問(wèn)題需要理解問(wèn)題，包括理解已知的數(shù)是什么？未知的數(shù)是什么？已知的條件是什么？未知的條件是什么？教師在講解問(wèn)題的應(yīng)用性時(shí)，應(yīng)提倡學(xué)生多次閱讀問(wèn)題，盡可能把條件的各個(gè)部分分別寫(xiě)下來(lái)，并能用自己的語(yǔ)言描述題目。比如上面的問(wèn)題，在組織學(xué)生仔細(xì)審題之后，學(xué)生應(yīng)該能夠完全準(zhǔn)確地找到每個(gè)問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的內(nèi)容，經(jīng)過(guò)認(rèn)真分析后，學(xué)生需要初步完成從實(shí)際問(wèn)題到純數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)變。

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題，這一題著重考查學(xué)生利用待定系數(shù)法對(duì)一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式的應(yīng)用情況，相似三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，矩形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用等，在解決問(wèn)題時(shí)能夠最終得出函數(shù)解析式的答案才是重點(diǎn)。

第二步：?jiǎn)栴}總體分析，制定計(jì)劃方案。

從認(rèn)識(shí)問(wèn)題到構(gòu)思方案再到解決問(wèn)題，對(duì)于大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)漫長(zhǎng)而曲折的過(guò)程，因?yàn)榧词箤W(xué)生理解和認(rèn)識(shí)到了問(wèn)題，仍然會(huì)出現(xiàn)無(wú)法找到問(wèn)題解決突破口的現(xiàn)象。大多數(shù)好的想法來(lái)自過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)和以前的知識(shí)，因此引導(dǎo)學(xué)生思考：你知道一個(gè)與它相關(guān)的問(wèn)題嗎？這種相關(guān)性不一定是一個(gè)問(wèn)題或題目，還可以是相關(guān)的知識(shí)，曾經(jīng)求解過(guò)的與當(dāng)前題目顯然相關(guān)的內(nèi)容。當(dāng)學(xué)生回憶起類(lèi)似的內(nèi)容，確定大致方向后，回歸本題擬定解題計(jì)劃。

（1）首先，運(yùn)用待定系數(shù)法對(duì)解析式進(jìn)行求解，解決第一問(wèn)較容易。本題需先根據(jù)已知條件，過(guò)C點(diǎn)，設(shè)出該拋物線的解析式為y=ax2+bx+2，再根據(jù)過(guò)A，B兩點(diǎn)，即可得出結(jié)果；

（2）由圖象可知，以A、B為直角頂點(diǎn)的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的三角形，由相似關(guān)系求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）如圖2，連結(jié)AC，作DE⊥x軸于點(diǎn)E，作BF⊥AD于點(diǎn)F，由BC∥AD設(shè)BC的解析式為y=kx+b，設(shè)AD的解析式為y=kx+n，由待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，就可以求出D坐標(biāo)，由勾股定理就可以求出BD的值，由勾股定理的逆定理就可以得出∠ACB=90°，由平行線的性質(zhì)就可以得出∠CAD=90°，就可以得出四邊形ACBF是矩形，就可以得出BF的值，由勾股定理求出DF的值，而得出DF=BF而得出結(jié)論。

第三步：實(shí)行計(jì)劃，完成解答。

第四步：總結(jié)和反思。

本文是通過(guò)精心挑選的一個(gè)中考數(shù)學(xué)題展開(kāi)的，一系列問(wèn)題得到解決有利于指引學(xué)生創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型，掌握模型的特點(diǎn)，或者讓學(xué)生在解決問(wèn)題以后形成相關(guān)的模型意識(shí)，并反思解決問(wèn)題的方法。學(xué)習(xí)最重要的渠道就是自己去發(fā)現(xiàn)。解決數(shù)學(xué)問(wèn)題需要學(xué)生做出一種創(chuàng)造性行為，教師無(wú)法把所有的問(wèn)題全都告知學(xué)生，但他們可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)有限的問(wèn)題來(lái)形成解決無(wú)限問(wèn)題的數(shù)學(xué)思維。課堂上的任何問(wèn)題都是可以在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中被完全解決的，在解題過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生回顧自己的解題活動(dòng)并進(jìn)行討論，并且進(jìn)行深入的分析和探討，這點(diǎn)非常關(guān)鍵，這是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程的最后一個(gè)階段，也是增強(qiáng)學(xué)生分析和解決問(wèn)題能力最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。

3 形成模型思想，提升解題能力

運(yùn)用以上試題可以讓學(xué)生把常量模型放在不斷變化的題目中，引導(dǎo)學(xué)生利用遷移類(lèi)比的方式，形成模型思想，學(xué)會(huì)舉一反三，利用模型的本質(zhì)特點(diǎn)，找到規(guī)律，擺脫題海戰(zhàn)術(shù)之苦。在教學(xué)中，教師需要培養(yǎng)學(xué)生靈活解題的能力，深入理解問(wèn)題的解決方式，靈活的對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解決，增強(qiáng)處理問(wèn)題的能力。假如學(xué)生擁有這種模型意識(shí)，他們就可以從一個(gè)例子中得出結(jié)論，實(shí)現(xiàn)思維的升華。因此，教師一定要結(jié)合典型模型，對(duì)解決問(wèn)題的方式進(jìn)行創(chuàng)新，對(duì)學(xué)生的思維進(jìn)行啟發(fā)，努力引導(dǎo)學(xué)生形成創(chuàng)新意識(shí)，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

4 數(shù)學(xué)思考

近年來(lái)在中考中有很多新定義問(wèn)題，包含代數(shù)概念、變換規(guī)律等，新定義的出現(xiàn)也明確了中考今后的命題方向，讓中考教學(xué)擁有了明確的參照，結(jié)合問(wèn)題分析，引導(dǎo)學(xué)生思維，是考試問(wèn)題的價(jià)值所在，以下是教學(xué)思考：

4.1 強(qiáng)化閱讀理解

數(shù)學(xué)的新定義是這類(lèi)考試題型最突出的特點(diǎn)。一般定義涵蓋了很多書(shū)面信息和重要的數(shù)學(xué)符號(hào)，利用描述的方法對(duì)數(shù)學(xué)下定義。在尋求解題方法時(shí)不應(yīng)急于思考怎么寫(xiě)解題過(guò)程，而應(yīng)對(duì)題目進(jìn)行文字提煉，并轉(zhuǎn)化為自己可以理解的簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，之后創(chuàng)建研究需要用到的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)詳細(xì)分析題目?jī)?nèi)容尋找其有價(jià)值的信息。在這個(gè)過(guò)程中，會(huì)涉及語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換、內(nèi)容的深度挖掘以及模型的構(gòu)建這三個(gè)步驟。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要加強(qiáng)學(xué)生的概念理解能力和語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)形態(tài)和組合思維相結(jié)合，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力的提高。

4.2 形成分析策略

本文分析的中考題是典型的新幾何定義試題，解決過(guò)程采用分類(lèi)討論的思想將不確定的問(wèn)題具體化，然后采用構(gòu)造思想來(lái)建立問(wèn)題研究模型，并采用數(shù)形結(jié)合來(lái)分析和解決問(wèn)題。尤其是第三個(gè)問(wèn)題的求解分別采用了不同的構(gòu)造方法，獲得了求解問(wèn)題的關(guān)鍵條件。正是由于圖形的模型構(gòu)造使問(wèn)題的思維過(guò)程更加簡(jiǎn)單，而這種解題方法是研究幾何問(wèn)題的基本對(duì)策。在教學(xué)的過(guò)程中既需要讓學(xué)生了解最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)，又需要教授學(xué)生解題思路，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深入分析，在今后遇到相似問(wèn)題時(shí)有能力進(jìn)行解決，形成自我解決意識(shí)，獲得問(wèn)題解決思維。

5 結(jié)語(yǔ)

所有解決問(wèn)題都有相應(yīng)的規(guī)律，每種問(wèn)題的解題思路存在很多共同之處，想要集中展現(xiàn)出這一思想就需要?jiǎng)?chuàng)建模型。模型有形式、神似和融合的區(qū)別，難度由淺入深，它可以通過(guò)多次總結(jié)、多次應(yīng)用和深入思考，掌握不同模型的解題思路和方式，之后結(jié)合模型特征參照?qǐng)D形特征尋找具體的解題思路和方法。因此，在教學(xué)中，教師要通過(guò)一題多解、讓學(xué)生了解不同模型的關(guān)系，這樣可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)同類(lèi)模型的理解，提高幾何學(xué)習(xí)和應(yīng)用的效率。