趙 旗， 張軍輝， 唐 玲， 張小龍， 徐 兵， 張紅娟， 雷 鵬

(1.浙江大學 流體動力與機電系統(tǒng)國家重點實驗室， 浙江 杭州 310027；2.內蒙古北方重工業(yè)集團有限公司，內蒙古 包頭 014000； 3.寧波斯達弗液壓傳動有限公司， 浙江 寧波 315808)

引言

擺線液壓馬達是一種鑲齒定轉子副式的小型中速中扭矩液壓馬達，具有體積小、重量輕、結構緊湊、扭矩密度比較高等優(yōu)點。擺線液壓馬達用途廣泛，主要用于工程機械、農業(yè)機械、塑料機械、煤礦機械、起重運輸機械、漁業(yè)機械等。

擺線轉子嚙合副是擺線液壓馬達的動力轉換部分，該部分包含Za個齒的擺線輪和Zb個滾柱的鑲柱定子，共同形成了Zb個封閉容腔。擺線轉子嚙合副的原理是行星齒輪傳動，使得擺線液壓馬達機構緊湊，同時又可以實現(xiàn)較大的輸出扭矩；然而擺線馬達的劣勢也很明顯，嚙合副磨損之后無法補償，導致效率隨使用逐漸降低[1]。所以為了改善擺線轉子嚙合副的磨損與潤滑， 需要對擺線輪進行修型優(yōu)化， 以降低接觸應力、增大油膜厚度，從而提高擺線液壓馬達的性能。

對于擺線轉子嚙合副，黃忠華等[1]、吳方文等[2]通過優(yōu)化算法以流量脈動率和總效率為目標對嚙合副基本參數和擺線輪修型參數進行優(yōu)化。陳菲[3]通過嚙合副接觸應力分析，對擺線輪等應力修型，目標函數采用應力均方差，使得應力集中現(xiàn)象有所改善。NAG A等[4]基于遺傳算法優(yōu)化干涉參數消除接觸點泄漏。ROY D等[5]通過有限元方法對于嚙合副接觸應力和間隙估算。MANNE V H B等[6]考慮變形效應和摩擦損失對轉矩效率進行估算。

目前，國內外對于擺線液壓馬達嚙合副研究比較有限，很少關注擺線液壓馬達嚙合副接觸點油膜厚度以及修型對接觸應力的影響[7-9]。同時，國內對于擺線液壓馬達的研究局限于理論分析，缺乏試驗研究。本研究建立了擺線轉子嚙合副的力學和潤滑模型，通過該模型，計算接觸點接觸應力及油膜厚度，分析擺線輪多種修型方法對接觸點接觸應力及油膜厚度的影響，選取最優(yōu)修型組合來補償潤滑油膜，降低接觸應力。

1 擺線轉子嚙合副力學模型

1.1 擺線輪和定子參數方程

擺線轉子嚙合副的轉子為擺線輪，其齒廓曲線是短幅外擺線的內等距曲線，定子針輪齒廓是等間距分布的圓弧，如圖1所示。

圖1 擺線轉子嚙合副Fig.1 Meshing pair of orbit motor

本研究以Rz=40，rz=9，e=3.2，Za=8為例，對擺線轉子嚙合副分析。擺線輪齒廓參數方程[10]為：

(1)

定子針輪齒廓參數方程為:

(2)

式中，Rz—— 定子針輪分布圓半徑

rz—— 定子針輪半徑

e—— 偏心距

Za—— 擺線輪齒數

Zb—— 定子針輪個數，Zb=Za+1

φ—— 擺線輪角度，φ=[0,2π]

k—— 針輪編號，k=1，…，Zb

1.2 擺線轉子嚙合副靜力學分析

擺線轉子嚙合副在某一瞬時位置的靜平衡受力分析如圖2所示。此時高壓腔與低壓腔的臨界過渡接觸點為J1和J6。低壓腔為C1至C5，處于壓縮狀態(tài)，高壓腔為C6至C9，處于膨脹狀態(tài)。高壓區(qū)和低壓區(qū)可用1個假想平面L×B分開，L是2個過渡接觸點間的距離，B是擺線轉子嚙合副的齒寬，此處取19 mm。高壓區(qū)和低壓區(qū)壓差(Δp=10 MPa)的作用可以看成作用在L×B平面上的均勻載荷，因此液壓力的大小可表示為[5]：

Ff=LBΔp

(3)

其中，F(xiàn)f作用于L直線的中點Lo，方向垂直于L直線。由于L長度不斷變化，所以液壓力也在不斷變化中。

圖2 嚙合副受力分析Fig.2 Force analysis of meshing pair

擺線輪與定子針輪接觸點的力Fn作用于接觸點Jn，方向指向嚙合副節(jié)點I。由嚙合副靜平衡可知，液壓力與接觸點的合力構成一對平衡力偶，產生的扭矩M與輸出軸的阻力矩Mr大小相等。所以，在這一時刻力的平衡方程為：

(4)

式中，r—— 由I點指向Lo的向量。

其中，n=1,2,…,Zb。

在液壓力的作用下，會使擺線輪產生偏移，這意味著Jn中的某些接觸點會產生間隙，相應位置的接觸力為0。由于未知力的個數大于平衡方程個數，為了解決該超靜定問題需引入變形幾何方程。由于阻力矩的存在，嚙合點會產生彈性變形，擺線輪會繞O1點順時針轉過微小角度Δα，嚙合點法向方向的位移為xn，即：

xn=Δαlnsinθn

(5)

將定子針輪看作彈簧模型，嚙合點接觸力的大小與嚙合點在法向方向的位移成正比，結合式(5)可知：

Fn∝lnsinθn

(6)

由于液壓力的存在，擺線輪會產生微小偏置，變形幾何方程未考慮偏置位移，會導致接觸力合力的方向與液壓力的方向不同，有一個微小的夾角。將接觸力合力向液壓力方向和液壓力垂直方向分解，使液壓力方向的分力等于液壓力，即：

(7)

經過計算可知液壓力與接觸力合力誤差在3%以下，可以忽略不計。

1.3 擺線輪轉動分析

擺線輪公轉一周時，輸出軸自轉1/Za周，本節(jié)研究擺線輪轉過一齒時，即輸出軸轉過360°/(ZaZb)時擺線輪的受力變化。

如圖3所示，以θ=0°時為初始位置，擺線輪轉動一齒時θ=40°，此時輸出軸轉角為φ=θ/Za=5°。當0°<φ<2.5°時，過渡接觸點位于針輪1和6上，當2.5°<φ<5°時過渡觸點變化到針輪2和6上。

如圖3a所示，O，A2，I的坐標確定I′的坐標，可由θ表示，各接觸點力的方向向量可表示為：

(8)

圖3 不同旋轉位置擺線輪受力情況Fig.3 Force of cycloidal gear at differentrotation positions

液壓力的方向向量可表示為：

(9)

式中，i，j—— 過渡接觸點編號

T —— 向量轉置符號

2 接觸應力與油膜厚度計算

上一節(jié)對擺線轉子嚙合副的受力進行分析，本節(jié)計算擺線轉子嚙合副在擺線輪轉過一齒時各接觸點的接觸應力與油膜厚度，計算流程圖如圖4所示。

圖4 計算流程圖Fig.4 Calculation flow chart

2.1 接觸應力計算

擺線輪與針齒的接觸，可以認為是2個瞬時圓柱體的接觸，因此，其接觸點的接觸應力可根據赫茲公式[10]計算：

(10)

式中，Ec—— 當量彈性模量，為常數

R—— 不同齒上接觸點的當量曲率半徑

由式(5)～式(9)，通過MATLAB軟件計算求解輸出軸轉動5°時，各擺線齒上嚙合點的接觸力。

根據微分公式，可求得擺線輪理論齒廓曲線的曲率半徑ρ0，擺線輪實際齒廓曲線的曲率半徑為ρ=ρ0+rz，即：

(11)

(12)

由圖3a可知，φ值計算公式如下：

(13)

計算每個齒上接觸點的φ值，帶入式(11)和式(12)，從而計算出R值。

將接觸力和當量曲率半徑帶入式(10)，求得擺線輪各個齒上嚙合點的接觸應力變化如圖5所示。從圖可以看出在輸出軸轉角為2.5°時，接觸應力發(fā)生波動，原因是此時，過渡觸點從針輪1轉到針輪2，液壓力發(fā)生突變。

圖5 各個齒上嚙合點的接觸應力Fig.5 Contact stress of meshing points on each tooth

2.2 油膜厚度計算

擺線輪與針輪嚙合點的潤滑狀態(tài)可看作等溫線接觸彈流潤滑[11-12]。楊沛然和溫詩鑄根據Roelands黏壓關系，采用復合直接迭代解法，對較廣泛的速度和載荷變化范圍內的線接觸彈流潤滑問題求得收斂解，并回歸出如下的最小油膜厚度和中心油膜厚度公式[13]：

(14)

式中，hm—— 最小油膜厚度

ho—— 中心油膜厚度

α—— 黏壓系數

η0—— 潤滑油的動力黏度

u—— 嚙合點卷吸速度

從圖中可以看出，隨著擺線輪齒編號的增大，油膜厚度逐漸增大。

2.3 結果討論

上兩節(jié)計算了不同齒上接觸應力和油膜厚度的變化，每個齒上嚙合點的運動區(qū)間相對于擺線輪的1個齒各不相同，然而，所有齒上嚙合點的運動區(qū)間剛好構成擺線輪半個齒廓。

圖6 不同齒上油膜厚度變化Fig.6 Variation of oil film thickness on different teeth

因此將上一節(jié)每個齒的結果整合到擺線輪1個齒上分析接觸應力和油膜厚度的變化，如圖7和圖8所示。從圖7可以看出最大接觸應力為1497 MPa，發(fā)生在擺線輪31.98°位置，具體位置如圖9中黑點所示。

圖7 半齒上的接觸應力Fig.7 Contact stress on half tooth

圖8 半齒上的油膜厚度Fig.8 Oil film thickness on half teeth

3 擺線輪修型分析

擺線輪實際使用時需要修型磨削，這是為了使得擺線輪與定子針輪形成一定間隙，以便于拆裝方便和補償制造誤差，并形成潤滑油膜[8]。

3.1 移距和等距修型法

圖10a為移距修型法，是指磨削擺線輪齒廓時，將砂輪相對擺線輪移動微小距離ΔRz，砂輪向擺線輪靠近定義為正移距，反之為負移距；圖10b為等距修型法，是指磨削擺線輪齒廓時，將砂輪半徑增大或減小Δrz，增大定義為正等距，反之為負等距。這2種方法可單獨使用，也可聯(lián)合使用[10]。

圖10 2種修型方法Fig.10 Two modification methods

3.2 修型對擺線副的影響

1) 對潤滑油膜的影響

修型產生的間隙用于補償潤滑油膜。采用移距加等距的組合修型方法，討論幾種不同組合對潤滑油膜的影響。如圖11所示，外輪廓為標準齒形，內輪廓為修型后齒形，標準齒形上任一點法向間隙為ΔL，即：

(15)

圖11 擺線輪修型前后Fig.11 Before and after cycloidal gear modification

經過分析可知，采取以下3種組合方式會產生間隙： “正移距+正等距”；“正移距+負等距”，且|ΔRz|>|Δrz|；“負移距+正等距”，且|Δrz|>|ΔRz|。根據3種組合方式，選取合適修型量，計算修型產生的間隙，并與上一節(jié)得到的油膜厚度放到一個坐標軸下比較，如圖12所示。

圖12 油膜厚度與修型產生的間隙對比圖Fig.12 Comparison between oil film thickness and clearance generated by modification

從圖中可以看出，修型量大小相同的3種修型方式產生的間隙均大于上節(jié)得到的油膜厚度，滿足補償潤滑油膜的要求。“正移距+正等距”的組合產生的間隙比“正移距+負等距”與“負移距+正等距”的組合要大3倍左右。由于間隙過大，會造成較大的泄漏，降低馬達的容積效率，所以采取“正移距+負等距”組合與“負移距+正等距”組合比“正移距+正等距”組合合理。從圖中還可以看出“正移距+負等距”組合對擺線輪齒廓齒頂和齒根修行量大，對擺線輪32°左右位置修型量小，而“負移距+正等距”組合完全相反。根據前面章節(jié)接觸應力的分析，在擺線輪32°左右位置處接觸應力最大，磨損較大，所以對此位置修型量較大的“負移距+正等距”組合不合理，“正移距+負等距”組合合理。

2) 對接觸應力的影響

修型改變了擺線輪的曲率半徑，因此當量曲率半徑也發(fā)生改變。圖13所示為不同修型組合對當量曲率半徑的影響，從圖中可以看出“正移距+正等距”和“負移距+正等距”這2個組合會使最小曲率半徑減小，從而使得接觸應力變大，而“正移距+負等距”組合會使最小曲率半徑增大，從而使得接觸應力減小。因此，選擇“正移距+負等距”的修型組合，這與上一小節(jié)得到的結果一致。

圖13 不同修型組合對當量曲率半徑的影響Fig.13 Effect of different modification combinations on equivalent radius of curvature

在不同修型量的組合下，擺線輪上最大接觸應力σmax,如圖14所示。從圖中可以看出，“正移距+正等距”和“負移距+正等距”組合會使接觸應力變大，“正移距+負等距”組合使接觸應力減小。因此， 選擇“正移距+負等距”的修型方式，這與上一小節(jié)得到的結果一致。

圖14 最大接觸應力圖Fig.14 Maximum contact stress diagram

4 結論

為了提高擺線液壓馬達性能，分析擺線轉子嚙合副并進行修型優(yōu)化，本研究建立了擺線轉子嚙合副力學和潤滑模型，計算嚙合副各接觸點接觸應力及油膜厚度的變化，分析修型對油膜和接觸應力的影響，得到以下結論：

(1) 擺線馬達工作時最大接觸應力發(fā)生在擺線輪31.98°位置；

(2) “正移距+負等距”的修型組合，可以有效補償油膜厚度，同時產生的間隙比“正移距+正等距”的修型組合小，可以減小泄漏，提高容積效率；

(3) “正移距+負等距”的修型組合使最大接觸應力減小，“正移距+正等距”和“負移距+正等距”的2種組合使最大接觸應力增大。