李 苗 ，尚賢洪 ，李 鐵 ,2，陳曉昊 ，羅世輝 ，馬衛(wèi)華 ，雷 成

（1.西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031；2.中車大連機(jī)車車輛有限公司，遼寧 大連116022；3.鄭州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院河南省軌道交通智能安全工程技術(shù)研究中心，河南 鄭州 451460）

為緩解由于城市化進(jìn)程的提速帶來(lái)的日益嚴(yán)重的交通擁堵問(wèn)題，我國(guó)聚焦于多樣化的城市軌道交通發(fā)展，并取得了顯著成效[1].其中，中低速磁浮交通具有運(yùn)行安全性高、選線靈活、對(duì)環(huán)境友好等優(yōu)點(diǎn)，近年來(lái)在國(guó)內(nèi)的發(fā)展獲得了廣泛關(guān)注[2]，廣東清遠(yuǎn)和湖南鳳凰的中低速磁浮線路也正在如火如荼地建設(shè)和試運(yùn)行中.然而，中低速磁浮車輛的導(dǎo)向功能主要依靠懸浮力的橫向分力被動(dòng)提供，這給車輛通過(guò)平曲線實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定懸浮、導(dǎo)向和保障良好的動(dòng)力學(xué)性能帶來(lái)了挑戰(zhàn).

中低速磁浮車輛的電磁力具有固有的開環(huán)不穩(wěn)定特性，車輛與橋梁是一個(gè)典型的強(qiáng)耦合非線性系統(tǒng)[3-5]，懸浮控制與車輛-橋梁耦合動(dòng)力學(xué)研究獲得了研究人員的大量關(guān)注.在懸浮控制方面，眾多學(xué)者基于自適應(yīng)控制、滑模控制、模糊控制、卡爾曼濾波器、非線性理論等方法研究了車輛的懸浮穩(wěn)定性及車輛-橋梁耦合系統(tǒng)的分岔特征[6-10].此外，輪軌交通中車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)理論的日臻完善[11]，也促進(jìn)了磁浮交通在該領(lǐng)域的發(fā)展和應(yīng)用.基于車輛-橋梁系統(tǒng)耦合振動(dòng)模型，車速、軌道不平順、軌道結(jié)構(gòu)、橋梁高度、撓跨比等因素對(duì)耦合系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響研究取得了積極的進(jìn)展[12-17].而在曲線通過(guò)研究方面，Yim等[18]利用車輛多體動(dòng)力學(xué)模型評(píng)估了曲線通過(guò)性能，并研究了使橫向偏移變化最小的懸浮架設(shè)計(jì)方向.趙春發(fā)等[19-20]研究了低速磁浮車輛以不同速度通過(guò)不同半徑曲線時(shí)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，并分析了被動(dòng)、主動(dòng)導(dǎo)向方式對(duì)懸浮模塊橫向動(dòng)態(tài)特性的影響.Cui等[21]推導(dǎo)了低速磁浮車輛在直線上和曲線上時(shí)的最大承載能力公式，分析了曲線半徑、橫坡角、車輛重心高度等因素對(duì)車輛承載能力的影響.曾佑文等[22]基于導(dǎo)向力平衡分析了三懸浮架磁浮車輛通過(guò)曲線時(shí)的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律.

盡管取得了上述進(jìn)展，但橋梁柔性對(duì)中低速磁浮車輛通過(guò)平曲線的影響還鮮有報(bào)道.當(dāng)前，針對(duì)車輛通過(guò)平曲線的研究通常不考慮橋梁結(jié)構(gòu)的柔性變形，主要基于剛性軌道模型研究車輛系統(tǒng)的曲線通過(guò)能力.鑒于此，本文建立考慮橋梁柔性影響的車輛-橋梁系統(tǒng)耦合動(dòng)力學(xué)模型，模型中采用二維磁軌關(guān)系，將車輛視為多剛體系統(tǒng)，研究車輛通過(guò)小半徑平曲線時(shí)橋梁的柔性變形對(duì)車輛系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響.

1 耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

1.1 車輛模型

以作者所在團(tuán)隊(duì)提出的應(yīng)用（懸掛）中置式懸浮架技術(shù)方案的中低速磁浮車輛為例（該懸浮架的結(jié)構(gòu)組成見圖1）[2]，考慮車體、懸浮模塊、防側(cè)滾梁、吊桿、移動(dòng)滑臺(tái)、固定滑臺(tái)、牽引桿等部件，建立具有如下微分代數(shù)方程形式的車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型[23]：

圖1 （懸掛）中置式懸浮架Fig.1 Levitation frame with mid-set air spring (suspension)

式中：q為各剛體的廣義坐標(biāo)；M為各剛體的質(zhì)量矩陣；S為廣義慣量；Q為作用在各剛體上的廣義力矩陣；λ為拉格朗日乘子；Ф為約束雅克比矩陣；η為約束條件的加速度矢量；t為時(shí)間.

車輛空間動(dòng)力學(xué)模型的拓?fù)潢P(guān)系如圖2所示，圖中各剛體的自由度說(shuō)明見表1，車輛系統(tǒng)共有122個(gè)自由度.表2為車輛的主要計(jì)算參數(shù)，車輛總重為30 t.

表1 車輛系統(tǒng)自由度Tab.1 Degrees of freedom of vehicle system

表2 主要計(jì)算參數(shù)Tab.2 Main calculation parameters

圖2 車輛拓?fù)潢P(guān)系Fig.2 Topological relationships of vehicle

1.2 懸浮控制模型

根據(jù)中低速磁浮交通系統(tǒng)的懸浮原理，懸浮電磁鐵位于軌道下方，可在一定范圍內(nèi)進(jìn)行垂向和橫向運(yùn)動(dòng)，懸浮力F為線圈電流i和懸浮間隙δ的函數(shù)[10]，如式（2）.

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率；A為磁極正對(duì)面積；N為線圈匝數(shù).

根據(jù)基爾霍夫定律，線圈電流i與控制電壓V的關(guān)系可寫為

式中：R為線圈電阻.

在實(shí)際的工程應(yīng)用中，傳感器可同時(shí)獲得懸浮間隙和加速度信號(hào)，但缺少速度信號(hào)，一般還需要引入狀態(tài)觀測(cè)器來(lái)重構(gòu)速度信號(hào)[15]：

式中：a為傳感器測(cè)得的垂向加速度； ξ0和ω0分別為觀測(cè)器的阻尼比和特征頻率； δ? 和 θ? 分別為觀測(cè)的間隙和速度.

通過(guò)對(duì)懸浮間隙和垂向速度進(jìn)行反饋得到目標(biāo)懸浮電流ie，并進(jìn)一步采用比例反饋控制確定控制電壓V，如式（6）、（7）.

式中：kp、ki、kd、ke、i0、δ0分別為間隙反饋系數(shù)、積分系數(shù)、速度反饋系數(shù)、電流反饋系數(shù)、額定懸浮電流、額定懸浮間隙.相關(guān)參數(shù)的取值可參考文獻(xiàn)[24].

中低速磁浮車輛的運(yùn)行速度相對(duì)較低，沒(méi)有像上海高速磁浮車輛那樣配置專門的導(dǎo)向電磁鐵，而是采用了U型電磁鐵的設(shè)計(jì)方案，該方案可使車輛具有被動(dòng)導(dǎo)向能力.當(dāng)懸浮電磁鐵與F軌存在橫向錯(cuò)位時(shí)，懸浮力在垂向和橫向方向上的分力Fz、Fy可分別表示為[25]

式中：wm和y分別為磁極寬度和電磁鐵橫向偏移.

由式（2） ～ （9）可搭建出系統(tǒng)的控制邏輯框圖，如圖3所示.

圖3 控制邏輯框圖Fig.3 Block diagram of control logic

1.3 橋梁模型

采用文獻(xiàn)[26]給出的三維鐵木辛柯梁參數(shù)化建立方法，搭建包含直線、緩和曲線和圓曲線的柔性橋梁（均為簡(jiǎn)支梁）有限元模型，橋梁的彈性模量和泊松比分別取36.5 GPa和0.2，其中圓曲線半徑為70.0 m，最大橫坡角為 6°，如圖4（a）所示.跨徑為17.0 m的曲線橋梁前二階橫向和垂向彎曲模態(tài)如圖4（b）所示，13.20 Hz顯然大于 90/L（L為跨徑），滿足《磁浮鐵路技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)（試行）》（TB 10630—2019）[27]對(duì)橋梁垂向一階固有頻率的要求.

圖4 柔性橋梁組成及圓曲線橋梁模態(tài)Fig.4 Composition of flexible bridge and modal of circle curved bridge

1.4 模型耦合及求解

通過(guò)車輛-橋梁耦合系統(tǒng)之間力的平衡及變形協(xié)調(diào)關(guān)系，耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程可表示為

式中：下標(biāo)v、b分別表示車輛和橋梁；C、K分別為阻尼、剛度矩陣；、X分別為加速度、速度、位移向量；Fbv、Fvb分別為橋梁作用于車輛和車輛作用于橋梁的載荷向量.

建立的車輛-曲線橋梁耦合系統(tǒng)可視化動(dòng)力學(xué)模型如圖5所示，并在UM （universal mechanism）中采用基于二階變步長(zhǎng)隱式求解器進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，該方法對(duì)剛?cè)狁詈夏Ｐ椭邪瑒傂晕⒎执鷶?shù)方程的求解十分有效[28].

圖5 可視化的車輛-曲線橋梁耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.5 Visualized dynamic model of vehicle-curve bridge coupled system

2 仿真計(jì)算結(jié)果及討論

2.1 工況設(shè)置

為滿足車輛通過(guò)平曲線時(shí)的安全性和平穩(wěn)性要求，《磁浮鐵路技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)（試行）》（TB 10630—2019）[27]還指出：車輛通過(guò)曲線時(shí)的未平衡離心加速度不超過(guò)0.59 m/s2.綜合考慮橫坡角和未平衡離心加速度的影響，車輛運(yùn)行速度取30 km/h，對(duì)車輛通過(guò)剛性軌道和柔性橋梁2種模型進(jìn)行對(duì)比計(jì)算，并采用文獻(xiàn)[16]提到的軌道不平順譜（見式（11））生成本文仿真計(jì)算所需的軌道不平順樣本，如圖6所示，高低不平順?lè)挡怀^(guò)3.5 mm.

圖6 軌道不平順Fig.6 Track irregularity

式中： Ω 、Ar、n分別為空間波數(shù)、表面粗糙度系數(shù)、頻率特征參數(shù)，本文中分別取為3 000 rad/m、8 × 10-7m、2.波長(zhǎng)范圍設(shè)定為0.5～50.0 m.

2.2 結(jié)果與討論

為探究圓曲線橋梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，圖7給出了車輛以30 km/h的速度運(yùn)行時(shí)，17.0 m跨徑圓曲線橋梁跨中的動(dòng)位移、加速度響應(yīng)時(shí)間歷程以及加速度頻譜計(jì)算結(jié)果.

從圖7中可知：橋梁跨中在垂向上的動(dòng)位移和加速度響應(yīng)幅值均比橫向的更高（垂向動(dòng)位移和加速度幅值分別不超過(guò)0.8 mm、0.16 m/s2），這主要是因?yàn)檐囕v通過(guò)圓曲線時(shí)在垂向方向上分解的載荷更大；橋梁跨中的橫向、垂向加速度優(yōu)勢(shì)頻率集中在11.00～15.00 Hz區(qū)間，且兩個(gè)方向的優(yōu)勢(shì)頻率相同，這是因?yàn)殡姶盆F和F軌之間的懸浮力和導(dǎo)向力具有強(qiáng)耦合關(guān)系.由前述分析，17.0 m跨徑圓曲線橋梁的動(dòng)位移滿足2.1節(jié)提到的標(biāo)準(zhǔn)和《中低速磁浮交通設(shè)計(jì)規(guī)范》（CJJ/T 262—2017 ）[29]中的相關(guān)要求，該柔性橋梁模型可以進(jìn)一步用于與車輛通過(guò)剛性軌道（不考慮線路上彈性體的參振作用）模型的對(duì)比分析.

圖7 圓曲線橋梁跨中的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.7 Dynamic response of mid-span at circular-curve bridge

圖8所示為車輛在剛性軌道和柔性橋梁上運(yùn)行時(shí)電磁鐵的橫向位移和懸浮間隙響應(yīng)時(shí)程曲線.圖中：#11_f 為控制點(diǎn)#11前端線圈對(duì)應(yīng)位置（即懸浮模塊 5第3個(gè)線圈對(duì)應(yīng)位置）；#15_r 為控制點(diǎn)#15后端線圈對(duì)應(yīng)位置（即懸浮模塊7第4個(gè)線圈對(duì)應(yīng)位置）.

圖8 電磁鐵動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.8 Dynamic response of electromagnet

計(jì)算結(jié)果表明，該工況下這兩處位置的橫向偏移最大，為避免贅述，其余觀測(cè)點(diǎn)的響應(yīng)不再給出.從圖8（a）可以看出：車輛在通過(guò)緩和曲線和圓曲線的過(guò)程中，第3個(gè)線圈向曲線內(nèi)側(cè)偏移，第4個(gè)線圈則與之相反，且這兩個(gè)位置偏移的最大幅值基本相等；觀測(cè)點(diǎn)的橫向位移最大值不超過(guò)6.0 mm，電磁鐵與F軌不會(huì)發(fā)生機(jī)械碰撞；車輛處在緩和曲線及圓曲線上時(shí)，柔性橋梁下的電磁鐵橫向位移波動(dòng)比剛性軌道下的計(jì)算結(jié)果更為劇烈，且懸浮模塊 5比懸浮模塊 7存在更明顯的波動(dòng)變化差異，這一方面與懸浮模塊 5采用移動(dòng)滑臺(tái)（懸浮模塊 7為固定滑臺(tái)）多出的橫向移動(dòng)自由度有關(guān)，移動(dòng)滑臺(tái)處的空氣彈簧在橫向方向上的阻尼效果相對(duì)較弱；另一方面與被動(dòng)導(dǎo)向方案下控制算法無(wú)法提供橫向阻尼效果有關(guān).從圖8（b）可以看出：柔性橋梁比剛性軌道作用下的懸浮間隙響應(yīng)略大，但兩者相差較小，這與懸浮控制的主動(dòng)調(diào)節(jié)影響有關(guān)；懸浮間隙波動(dòng)范圍在± 4.0 mm以內(nèi)，表明車輛通過(guò)剛性軌道和柔性橋梁的曲線線路時(shí)具有良好的懸浮穩(wěn)定性.

圖9所示為懸浮模塊 1上方的移動(dòng)滑臺(tái)相對(duì)車體和懸浮模塊 3、7上的空氣彈簧橫向位移響應(yīng)時(shí)間歷程曲線.

圖9 移動(dòng)滑臺(tái)和空氣彈簧的橫向位移Fig.9 Lateral displacement of sliding table and air spring

計(jì)算結(jié)果表明移動(dòng)滑臺(tái)相對(duì)車體向曲線內(nèi)側(cè)滑動(dòng)，柔性橋梁和剛性軌道作用下的最大滑動(dòng)量分別為190.4、188.2 mm；空氣彈簧的橫向位移響應(yīng)在-6.0～5.0 mm之間變化，且車輛在緩和曲線上的空氣彈簧橫向位移比在圓曲線上更大，這是因?yàn)檐囕v以30.0 km/h的速度通過(guò)圓曲線時(shí)，車輛的未平衡離心加速度很小.相比于在剛性軌道上運(yùn)行，柔性橋梁作用下移動(dòng)滑臺(tái)和空氣彈簧的橫向位移波動(dòng)更大，且這種差異主要體現(xiàn)在緩和曲線和圓曲線的交界處與前半段圓曲線上.

圖10所示為車輛通過(guò)圓曲線階段時(shí)的車體地板中心振動(dòng)加速度時(shí)間歷程曲線.整體上看，車輛通過(guò)剛性軌道和柔性橋梁的圓曲線時(shí)，車體的橫向、垂向振動(dòng)加速度響應(yīng)幅值均較小，表明車輛在圓曲線上運(yùn)行時(shí)具有較好的平穩(wěn)性.此外，從圖10中也可以觀察出一些區(qū)別，柔性橋梁模型下計(jì)算得到的車體橫向加速度響應(yīng)波動(dòng)比剛性軌道模型對(duì)應(yīng)的結(jié)果更為劇烈，而在垂向方向上的振動(dòng)加速度差異并不明顯（整體上看，仍然是考慮了柔性橋梁時(shí)略大）.

圖10 車體振動(dòng)加速度Fig.10 Vibration acceleration of car body

進(jìn)一步地，綜合圖8 ～ 10的結(jié)果可知：車輛通過(guò)由柔性橋梁組成的平曲線線路時(shí)，電磁鐵、移動(dòng)滑臺(tái)和空氣彈簧等的橫向位移均相比剛性軌道模型對(duì)應(yīng)的結(jié)果有所加劇，相對(duì)而言，懸浮間隙和車體垂向加速度的響應(yīng)波動(dòng)的差異較小.造成這些結(jié)果差異的原因主要與磁軌關(guān)系和懸浮控制特性有關(guān).一方面，橋梁在橫向和垂向兩個(gè)方向上的柔性變形將使軌道不平順相對(duì)更加惡劣，而中低速磁浮車輛的導(dǎo)向能力主要依靠電磁鐵相對(duì)F軌的自動(dòng)對(duì)中效應(yīng)被動(dòng)提供，因此盡管橋梁的橫向動(dòng)位移比垂向動(dòng)位移小，但電磁鐵、移動(dòng)滑臺(tái)和空氣彈簧的橫向位移響應(yīng)在柔性橋梁影響下相比剛性軌道時(shí)更大，這也意味著采用剛性軌道模型將高估車輛的曲線通過(guò)性能.另一方面，懸浮控制系統(tǒng)在垂向方向上有主動(dòng)調(diào)節(jié)作用，對(duì)橋梁的小變形和正常的軌道不平順具有較好的適應(yīng)性，故在兩種計(jì)算模型下車輛系統(tǒng)的垂向響應(yīng)差異相對(duì)較小.

3 結(jié) 論

1） 車輛以30 km/h的速度通過(guò)圓曲線半徑為70.0 m的平曲線時(shí)，17.0 m跨徑圓曲線橋梁的振動(dòng)加速度優(yōu)勢(shì)頻率集中在11.00～15.00 Hz，其自振頻率和跨中動(dòng)位移響應(yīng)滿足相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)要求.電磁鐵相對(duì)F軌的橫向位移幅值小于6.0 mm，車輛具備足夠的橫向安全間隙通過(guò)該曲線線路.

2） 相比于剛性軌道線路模型，考慮柔性橋梁作用時(shí)，電磁鐵、移動(dòng)滑臺(tái)、空氣彈簧的橫向位移以及車體的橫向加速度響應(yīng)更加劇烈，而由于懸浮控制器的主動(dòng)調(diào)節(jié)影響，懸浮間隙和車體垂向加速度波動(dòng)僅略有增大，兩種模型所得結(jié)果差異較小.

3） 在評(píng)估中低速磁浮車輛的平曲線通過(guò)能力時(shí)，建議在未來(lái)的數(shù)值計(jì)算中考慮柔性橋梁對(duì)車輛系統(tǒng)橫向動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響，從而避免高估車輛的曲線通過(guò)能力.

致謝：感謝牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室自主研究課題（2020TPL-T01，2020TPL-T04）、河南省軌道交通智能安全工程技術(shù)研究中心開放基金（2019KFJJ001）的資助.