焦阿允，馬新謀，李魁武

(1.中北大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，山西 太原 030051；2.中北大學(xué) 軍民融合協(xié)同創(chuàng)新研究院，山西 太原 030051)

防空火箭炮具有靈活機(jī)動(dòng)、成本低廉、火力猛烈的特點(diǎn)，可有效地填補(bǔ)防空導(dǎo)彈和防空高炮的火力間隙，對(duì)低空目標(biāo)實(shí)施有效毀殲[1]?；鸺诘准苁怯杀『癫煌陌鍓K焊接而成的梁結(jié)構(gòu)，是回轉(zhuǎn)部分與車體大梁之間的過渡件，質(zhì)量占比大，在保證底架剛度和強(qiáng)度的前提下，通過科學(xué)有效的方法對(duì)底架結(jié)構(gòu)進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)，對(duì)提升全炮的靈活機(jī)動(dòng)性有著重要的意義[2]。對(duì)于單目標(biāo)優(yōu)化問題，當(dāng)前已有諸多學(xué)者運(yùn)用結(jié)構(gòu)優(yōu)化技術(shù)對(duì)火炮炮塔[3-4]、火箭炮基座[5]等關(guān)鍵部件進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)，并取得了良好的減重效果。對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問題，張?chǎng)蔚萚6]運(yùn)用有限元仿真技術(shù)和響應(yīng)面法相結(jié)合的優(yōu)化技術(shù)，構(gòu)建了響應(yīng)面多項(xiàng)式函數(shù)近似模型，利用多目標(biāo)遺傳算法進(jìn)行全局尋優(yōu)，實(shí)現(xiàn)了火炮身管膛線的結(jié)構(gòu)優(yōu)化；朱孫科等[7]建立了復(fù)合材料定向管的多目標(biāo)優(yōu)化模型，并通過NSGA-Ⅱ遺傳算法進(jìn)行尋優(yōu)，確定了復(fù)合材料的關(guān)鍵參數(shù)；蕭輝等[8]提出了一種基于自適應(yīng)徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法來解決火炮多學(xué)科多目標(biāo)結(jié)構(gòu)優(yōu)化中計(jì)算冗長(zhǎng)、收斂緩慢等問題，并通過實(shí)例證明了優(yōu)化方法的可行性；葛堯等[9]采用了多島遺傳算法和非線性二次規(guī)劃算法相組合對(duì)炮塔進(jìn)行優(yōu)化，并比較了不同算法的優(yōu)化效率。

筆者先通過拓?fù)鋬?yōu)化確定合理的底架結(jié)構(gòu)材料布局，將基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建的代理模型引入到火箭炮底架多目標(biāo)尺寸優(yōu)化問題中，建立了較高精度的預(yù)測(cè)模型，大大降低計(jì)算時(shí)間；并在此基礎(chǔ)上采用全局-梯度組合算法進(jìn)行優(yōu)化求解，即先采用多目標(biāo)遺傳算法進(jìn)行全局尋優(yōu)，通過得到的Pareto前沿解來指導(dǎo)二次尋優(yōu)，再通過序列二次規(guī)劃法在最優(yōu)解附近進(jìn)行二次梯度尋優(yōu)，得到最優(yōu)解。

1 底架結(jié)構(gòu)與有限元建模

根據(jù)底架與下方車體及上方基座的連接關(guān)系，選取底架的最大外形輪廓建立如圖1所示的初始幾何模型。底架通過前后固定座與車體連接，基座連接法蘭用于連接底架主體及基座。

基于有限元前處理HyperMesh模塊建立底架有限元模型，采用六面體實(shí)體單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分。底架材料的彈性模量為210 GPa、泊松比為0.3，密度為7 850 kg/m3。底架有限元模型如圖2所示。

分別選擇火箭炮在發(fā)射及行軍過程中的4種工況：0°方位射角、56°高低射角4發(fā)齊射；45°方位射角、45°高低射角4發(fā)齊射；x正方向過載1g加速度；z負(fù)方向過載1g加速度。將4種工況依次命名為S1、S2、S3、S4。

為使底架施加載荷更接近實(shí)際工況，底架上端支撐各部件用施加質(zhì)量點(diǎn)代替，同時(shí)重力加速度方向沿著z軸負(fù)方向。在有限元模型中，固定座與車架之間的螺栓連接采用剛性(RBE2)單元模擬。S1和S2工況下，底架所受載荷以最大靜載方式施加，將基座連接法蘭上表面各節(jié)點(diǎn)作為受力點(diǎn)，采用柔性(RBE3)單元連接，其中主節(jié)點(diǎn)為基座連接法蘭上表面所有網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，從節(jié)點(diǎn)為雙儲(chǔ)運(yùn)發(fā)箱4發(fā)齊射時(shí)火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃?xì)饬髯饔命c(diǎn)。底架各工況下載荷施加情況如表1所示。

表1 底架各工況下載荷施加情況

2 底架結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化

2.1 拓?fù)鋬?yōu)化模型

拓?fù)鋬?yōu)化的主要思路是通過傳力路徑，尋求設(shè)計(jì)空間內(nèi)最優(yōu)材料布局，從而得到性能最佳的結(jié)構(gòu)形式。以體積為約束條件，柔度最小(即剛度最大化)為目標(biāo)函數(shù)，建立數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，有:

(1)

式中：xi為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量；xmin為設(shè)計(jì)變量最小值；c為平均應(yīng)變能；f為體積分?jǐn)?shù)；v0為初始體積；u為位移矢量；N為單元總數(shù)；k和k0分別為優(yōu)化前后的剛度矩陣。

采用變密度法，底架主體作為拓?fù)鋬?yōu)化空間，每個(gè)單元的相對(duì)密度作為設(shè)計(jì)變量。以體積分?jǐn)?shù)、基座連接法蘭中心位移、柔度作為響應(yīng)；以位移(不超過0.4 mm)和體積分?jǐn)?shù)(不超過0.2)作為約束條件；以最小化柔度作為目標(biāo)條件。在優(yōu)化過程中，為防止出現(xiàn)棋盤格現(xiàn)象，設(shè)置最小成員尺寸(25 mm)，同時(shí)考慮到優(yōu)化模型的可制造加工性，設(shè)置左右對(duì)稱模式的約束。

2.2 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

采用OptisTruct求解器對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行計(jì)算，經(jīng)33次迭代后收斂，取密度閾值為0.505，優(yōu)化結(jié)果如圖3所示。

從圖3可以看出，基座連接法蘭左右兩側(cè)出現(xiàn)了較多的空心，材料布局形態(tài)接近梁結(jié)構(gòu)，為便于生產(chǎn)制造可采用矩形梁作為底架主要承力部件，其余連接部位采用多薄板焊接結(jié)構(gòu)。結(jié)合設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，底架改進(jìn)后模型如圖4所示。

3 多目標(biāo)尺寸優(yōu)化

3.1 有限元分析與設(shè)計(jì)變量選擇

3.1.1 新底架剛強(qiáng)度分析

在有限元前處理軟件Hypermesh中采用殼單元對(duì)新底架結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化，各部件采用焊縫(seam)單元進(jìn)行模擬連接，邊界條件與載荷的施加與拓?fù)鋬?yōu)化部分相同。通過OptiStruct對(duì)上述有限元模型進(jìn)行求解，結(jié)果如表2所示。

表2 新底架剛強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果

計(jì)算結(jié)果表明，各工況下最大位移滿足小于0.4 mm的設(shè)計(jì)要求且最大應(yīng)力遠(yuǎn)小于材料屈服極限345 MPa，說明新底架結(jié)構(gòu)在剛強(qiáng)度上留有較大余量，可進(jìn)一步進(jìn)行尺寸優(yōu)化。

3.1.2 設(shè)計(jì)變量的選擇

由表2看出，S1工況下對(duì)新底架剛強(qiáng)度要求較高；同時(shí)作為火箭炮支撐件的底架，其低階振型對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的貢獻(xiàn)值大，即固有頻率越低，越容易受到外界激勵(lì)影響，因此同時(shí)在S1工況和自由模態(tài)兩種工況下對(duì)新底架結(jié)構(gòu)進(jìn)行尺寸優(yōu)化以使其結(jié)構(gòu)性能達(dá)到最優(yōu)。各優(yōu)化部件如圖5所示。

在優(yōu)化過程中，將矩形梁、薄板、基座連接法蘭等零件厚度作為設(shè)計(jì)變量，為保證得到較為合理的最優(yōu)解集，選擇各設(shè)計(jì)變量的最大范圍來進(jìn)行尺寸優(yōu)化，如表3所示。

表3 各變量尺寸變化范圍

3.2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

3.2.1 哈默斯雷實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

優(yōu)化過程中不斷進(jìn)行迭代，需要進(jìn)行大量的有限元計(jì)算，用時(shí)較長(zhǎng)，為更好地提升求解效率，通過實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)獲取合理采樣點(diǎn)以準(zhǔn)確地建立底架質(zhì)量、比剛度結(jié)構(gòu)效能和一階模態(tài)頻率的近似模型。在基于有限元法的設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)中，常見的采樣方法有拉丁超立方采樣和哈默斯雷采樣，二者均適用于響應(yīng)面為高度非線性的情況。相比于拉丁超立方采樣點(diǎn)僅在一維問題上有可靠的均勻性，哈默斯雷采樣點(diǎn)能夠在K維超立方體上有更可靠的均勻分布，基于哈默斯雷點(diǎn)，采用偽隨機(jī)數(shù)值發(fā)生器，試圖讓落在每一個(gè)單位空間的點(diǎn)更平均。

在優(yōu)化軟件中，以表3所列7個(gè)關(guān)鍵零部件厚度作為設(shè)計(jì)變量，以底架質(zhì)量m、比剛度結(jié)構(gòu)效能β、一階模態(tài)頻率f1為響應(yīng)，采用哈默斯雷實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，其中因素為7個(gè)，得到40組樣本數(shù)據(jù)，圖6中僅列舉了x1和x2采樣點(diǎn)分布。

3.2.2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)建

徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型是一種采用多元離散數(shù)據(jù)擬合未知函數(shù)的策略，具有較好的非線性逼近能力，可以更好地平衡求解效率和模型精度[10]。在聯(lián)合仿真平臺(tái)中采用了含有低階多項(xiàng)式擴(kuò)展項(xiàng)的RBF模型，輸入層為7個(gè)設(shè)計(jì)變量，輸出層為底架質(zhì)量、比剛度結(jié)構(gòu)效能和一階模態(tài)。輸出層與輸入層之間的關(guān)系表達(dá)式為

(2)

基于哈默斯雷實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)得到40組樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)，通過RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型擬合底架質(zhì)量、比剛度結(jié)構(gòu)效能、一階固有頻率的近似模型，其中x1和x2的底架上比剛度結(jié)構(gòu)效能β的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型如圖7所示。

近似模型的精度對(duì)優(yōu)化結(jié)果的可靠性有很大影響，因此筆者采用決定系數(shù)R2來診斷擬合模型。

(3)

在設(shè)計(jì)空間中采用哈默斯雷實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法隨機(jī)抽取10個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)近似模型進(jìn)行診斷，評(píng)價(jià)結(jié)果如表4所示。由表4可以看出，各響應(yīng)的近似模型的決定系數(shù)R2均大于工程上要求的0.9且很接近1，說明采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建的近似模型滿足精度要求，可進(jìn)一步進(jìn)行優(yōu)化求解。

表4 RBF擬合模型精度評(píng)價(jià)

3.3 基于組合算法的優(yōu)化設(shè)計(jì)

底架的優(yōu)化問題中包含了7個(gè)設(shè)計(jì)變量，為解決在優(yōu)化過程中尋求最優(yōu)解困難的問題，采用了一種全局-梯度組合算法的優(yōu)化策略來解決該類問題。先采用多目標(biāo)遺傳算法(MOGA)進(jìn)行全局尋優(yōu)，然后通過序列二次規(guī)劃(SQP)在最優(yōu)解附近進(jìn)行二次梯度尋優(yōu)，得到最優(yōu)解。

3.3.1 基于多目標(biāo)遺傳算法的全局優(yōu)化

底架的優(yōu)化問題滿足如下幾方面條件：各設(shè)計(jì)變量在給定的上下限范圍內(nèi)取值；優(yōu)化后底架在發(fā)射過程中產(chǎn)生的最大應(yīng)力σmax小于材料的許用應(yīng)力[σ]，選擇安全系數(shù)n=2，則許用應(yīng)力[σ]=117.5 MPa；優(yōu)化后的底架一階頻率f1大于86 Hz。優(yōu)化目標(biāo)為底架質(zhì)量最小和比剛度結(jié)構(gòu)效能最大，引用比剛度結(jié)構(gòu)效能β來作為底架優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)[11]：

β=(E/s)/m，

(4)

式中：E為材料的彈性模量；s為結(jié)構(gòu)變形；m為底架質(zhì)量。比剛度結(jié)構(gòu)效能值β越高，說明單位質(zhì)量剛度越大。

基于上述分析，底架結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型表達(dá)式如下：

設(shè)計(jì)變量：X=[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7],

(5)

(6)

(7)

多目標(biāo)遺傳算法(MOGA)[12]全局搜索能力強(qiáng)，收斂速度快，可提供一系列的帕雷托解，并非是單一解，用來處理有約束或無約束的多目標(biāo)優(yōu)化問題，其計(jì)算流程如圖8所示。

考慮到目標(biāo)函數(shù)的收斂特性，將最大迭代次數(shù)調(diào)整為50，目標(biāo)種群設(shè)置為114，通過迭代計(jì)算得到Pareto前沿解集如圖9所示。由于MOGA并不存在全局最優(yōu)解，而是不同子目標(biāo)在不同的權(quán)重因子之下的一系列解集。不同子目標(biāo)在理論情況下能夠達(dá)到最優(yōu)，但各目標(biāo)不能同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，底架的質(zhì)量減小必然導(dǎo)致比剛度結(jié)構(gòu)效能的降低，無法令兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)。為找到局部最優(yōu)解，采用序列二次規(guī)劃法在上述最優(yōu)解附近進(jìn)行二次梯度尋優(yōu)。

3.3.2 基于序列二次規(guī)劃法的梯度優(yōu)化

為使優(yōu)化后的底架結(jié)構(gòu)剛強(qiáng)度得到改善，應(yīng)保證優(yōu)化后底架結(jié)構(gòu)的比剛度結(jié)構(gòu)效能大于初始值2 558，由圖9看出，比剛度結(jié)構(gòu)效能β達(dá)到2 600左右時(shí)，質(zhì)量約為225 kg，減重效果明顯。為序列二次規(guī)劃法重新設(shè)置約束條件，設(shè)計(jì)變量不變，優(yōu)化目標(biāo)僅為底架質(zhì)量最小，約束條件表達(dá)式為

(8)

序列二次規(guī)劃法是求解帶約束優(yōu)化問題的典型方法，思路是在原模型上構(gòu)建拉格朗日二階近似模型并進(jìn)行求解以判斷下一步搜索方向，不斷進(jìn)行該步驟的迭代直到收斂至最優(yōu)解：

x(k)=x(k-1)+aq，

(9)

式中：a代表尋優(yōu)過程中確立的步長(zhǎng)；q是求解二次規(guī)劃子問題確定下一步搜索方向。確定q的過程中應(yīng)使其滿足約束條件并不斷達(dá)到最優(yōu)，搜索過程中的約束被線性化表述為

(10)

式中：C(k)代表目標(biāo)函數(shù)f在點(diǎn)x(k)的Hessian矩陣正定的一階近似；gi為約束條件。

二次梯度尋優(yōu)迭代曲線如圖10所示，可看出局部搜索速度加快，在多目標(biāo)遺傳算法求解的基礎(chǔ)上，得到了局部最優(yōu)解。優(yōu)化后質(zhì)量為230 kg，較優(yōu)化前的280.1 kg降低了50.1 kg，優(yōu)化后各參數(shù)如表5所示。

表5 底架優(yōu)化前后性能參數(shù)

4 優(yōu)化結(jié)果及分析

該防空火箭炮為雙儲(chǔ)運(yùn)發(fā)箱發(fā)射結(jié)構(gòu)，底架為左右對(duì)稱結(jié)構(gòu)，考慮到生產(chǎn)制造，對(duì)優(yōu)化值進(jìn)行圓整，并在有限元模型中對(duì)圓整后的結(jié)果進(jìn)行校驗(yàn)，底架優(yōu)化前后性能參數(shù)如表5所示。優(yōu)化后的底架結(jié)構(gòu)一階模態(tài)得到改善；雖然最大應(yīng)力和最大形變有所增加，但都在設(shè)計(jì)范圍之內(nèi)且分布情況與優(yōu)化前相比無明顯變化；底架比剛度結(jié)構(gòu)效能得到提升，說明單位質(zhì)量的剛度裕度得到改善；優(yōu)化后底架質(zhì)量為238.3 kg，較優(yōu)化前底架質(zhì)量280.1 kg減少了42.7 kg，減少了15.2%，減重效果明顯。

5 結(jié)論

1)基于多工況拓?fù)鋬?yōu)化尋找出底架在設(shè)計(jì)空間中的最佳材料布局。

2)采用哈默斯雷實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法減少了實(shí)驗(yàn)次數(shù)，基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建了高精度的底架質(zhì)量、比剛度結(jié)構(gòu)效能、一階模態(tài)近似模型，實(shí)現(xiàn)了底架關(guān)鍵零部件尺寸與結(jié)構(gòu)性能的關(guān)系從隱式到顯式的可視化。

3)基于近似模型，采用多目標(biāo)遺傳算法和序列二次規(guī)劃法的組合優(yōu)化策略，先通過多目標(biāo)遺傳算法進(jìn)行全局尋優(yōu)，再采用序列二次規(guī)劃法進(jìn)行二次梯度尋優(yōu)，逐步逼近尋得全局最優(yōu)解。

4)最終優(yōu)化結(jié)果表明，優(yōu)化后底架結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)和比剛度結(jié)構(gòu)效能得到改善，底架質(zhì)量減小15.2%，達(dá)到輕量化目標(biāo)，優(yōu)化方法可供類似結(jié)構(gòu)參考。