丁洪

[摘 要]“解決問題的策略”是蘇教版教材對課程標準有關“問題解決”要求提出的一種思考樣式。文章基于“解決問題的策略”的內涵界定、價值探尋、內容編排，以及對課程標準要求的深度理解，提出以“問題鏈”的方式引領學生經(jīng)歷探、說、做、省和聯(lián)的完整過程，推動策略教學的數(shù)學化進程，建構“解決問題的策略”的學習路徑和提升師生對“解決問題的策略”的認知水平。

[關鍵詞]解決問題的策略;深度理解;問題鏈;數(shù)學化路徑

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）11-0001-04

“解決問題的策略”是蘇教版教材的特色編排。別出心裁的單元設置和獨具匠心的內容安排，旨在引領學生感悟策略、遷移策略和內化策略。那么，對于“解決問題的策略”的內涵怎樣界定？價值怎樣探尋？內容安排怎樣評價？課程標準要求怎樣理解？數(shù)學化路徑怎樣建構？等問題的深度思考、精準定位和合理研判，是策略教學的前提。

一、“解決問題的策略”的內涵與價值

簡單地說，“是什么？”指向策略的內涵，“有什么用？”指向策略的價值。只有感知“解決問題的策略”的內涵與外延的呼應，體驗適用與適度的對比，對于“解決問題的策略”的理解，才能更真切、更充分和更深刻。

1.“解決問題的策略”的內涵界定

數(shù)學知識一般可以分成三類，即陳述性知識、程序性知識和策略性知識。其中，陳述性知識主要考慮與數(shù)學相關的事實、定義、規(guī)則、原理等“怎么說”，描述得“清楚、簡潔和邏輯自洽”是其標準;程序性知識主要涉及與數(shù)學相關的步驟、環(huán)節(jié)和流程，主要解決“怎么做”的問題，“先做什么，再做什么”是其要義;策略性知識主要統(tǒng)籌與數(shù)學相關的陳述性知識和程序性知識，是學習主體解決具體問題的一般方法和技巧，主要演繹“怎么想”，“如何思維及如何優(yōu)化思維和高效思維”是其追求。顯然，“解決問題的策略”屬于策略性知識，它是在陳述性知識和程序性知識基礎上的內驅發(fā)展和有序建構。

“解決問題的策略”具體有哪些呢？不同的分類，結果自然不盡相同。從認知心理學角度看，可以分成兩大類，即“運算法”與“啟發(fā)法”。其中，前者側重解題規(guī)則，主要是對運算問題的客觀性把握;后者側重經(jīng)驗規(guī)則，主要是對多種方法的主觀性選擇。從數(shù)學問題角度看，“解決問題的策略”可以分成四個層次，即“數(shù)學的解題技巧”“數(shù)學的思想方法”“一般的探索策略”“一般的思維方法”，越往后的越具有基礎性，適用范圍更廣，比如“一般的思維方法”就包括比較與概括、分析與綜合、一般化與具體化等;與之相反，越往前的越具有針對性，適用范圍變窄。從功能定位角度看，“解決問題的策略”可以分成兩大類，即綜合策略與一般策略。其中，綜合策略是指解決問題過程中常態(tài)化使用的基礎策略，如綜合法、分析法等，情境雖有不同，策略需求卻一致;一般策略是指解決問題中的具體策略，如畫圖、制表、實際操作、找規(guī)律，以及從簡單情況入手、列方程、邏輯推理、改變觀點等，情境不同時，策略需求各異。顯然，“解決問題的策略”的外延相當豐富。透視這些具體表述，可以清楚地看出“策略”與“經(jīng)驗、方法、思想”的區(qū)別與聯(lián)系。

基于以上認識，可以初步判斷“解決問題的策略”是學生在學習過程中所嘗試、選擇、采用的解決問題的思想、方法、步驟，是對問題解決的手段、路徑和規(guī)則的概括性認識 。也就是說，“解決問題的策略”本質上是一種認知策略，它具有主體性感知、過程性感受和反思性感悟的鮮明特征。

2.“解決問題的策略”的價值探尋

“解決問題的策略”至少有三個方面的優(yōu)勢。一是有利于優(yōu)化教學過程，使學習從“題海跳入”的戰(zhàn)術轉變?yōu)椤八季S卷入”的戰(zhàn)略，從“囫圇吞棗”的苦干變?yōu)椤俺榻z剝繭”的巧干，減少了嘗試與錯誤的任意性，節(jié)約了解決問題所需要的時間，使得數(shù)學學習的“減負增效”從外在形式走向思維實質。二是有利于提升數(shù)學素養(yǎng)，因為策略學習聚焦數(shù)學表征與變換能力、數(shù)學交流能力、數(shù)學推理能力和數(shù)學問題解決能力，盡管策略學習是一個“慢”的過程，但是有了“量”的積累，學生提出問題、分析問題和解決問題的關鍵能力得以滋養(yǎng)，就使得數(shù)學學習的“育人品質”變得真切。三是有利于培養(yǎng)創(chuàng)造精神，因為策略學習需要在三種知識之間不斷轉換，因此“識文斷句、程序關注和特征洞察”的注意力得到培育;需要在三種知識之間有效聯(lián)結，因此“策略選擇、策略優(yōu)化和策略組合”的判斷力得到訓練;還需要在三種知識之間縱橫交錯，因此“點突破、線串聯(lián)和面覆蓋”的反思力得到提升。當然，因個人經(jīng)驗、學習習慣和認知風格等存在差異，學習主體的注意點、判斷點和反思點也就不完全相同，這樣帶來的結果是，具體問題雖然被解決，但過程的精彩程度可能不一樣。換個角度來說，這樣的生態(tài)課堂和生動演繹，為積極的對話、碰撞和內省搭建了平臺，為建構策略的“元認知”提供了保障，更為學生后續(xù)學習、工作和生活埋下了一顆“創(chuàng)新的種子”。顯然，這些就是“解決問題的策略”的職責擔當、價值意蘊和獨特魅力。

二、“解決問題的策略”的內容與要求

在把握了“解決問題的策略”的內涵和外延，以及進行了基于核心素養(yǎng)視角的價值分析后，就需要梳理教材的內容編排，剖析邏輯架構和知識定位，弄清楚 “學什么”和“什么時候學”，想明白“怎么學”和“學到什么程度”。

1.“解決問題的策略”的內容編排

蘇教版教材從三年級上冊開始安排了相關的專題學習（見表1）。

從表1中可以看出，策略的專題學習可以分為兩個板塊。具體來說，第一個板塊包含“從條件出發(fā)的策略”“從問題出發(fā)的策略”和“靈活運用從條件和問題出發(fā)的策略”，這些都是解決問題的基礎策略;第二個板塊包含“列表策略”“畫圖策略”“列舉策略”“轉化策略”“假設策略”和“選擇和運用適當策略”，這些都是解決問題的一般策略?？偟膩碚f，板塊內部呈現(xiàn)“先逐個學習，再靈活運用”的編排特點，板塊之間凸顯“先下位策略，再上位策略”的邏輯建構。

換個角度來看，策略的專題學習還可以分為四種類型。具體來說，第一種類型指向“基本思考方法”，包含“從條件出發(fā)的策略”和“從問題出發(fā)的策略”，前者是從條件到問題的思考，是一種“順勢而為、由因導果”的綜合法，后者是從問題到條件的思考，是一種“逆流而上、執(zhí)果索因”的分析法，兩者都是解決問題的關鍵策略和“地基工程”，滲透了“合情推理”的數(shù)學思想。第二種類型指向“問題表征方法”，包含“列表策略”和“畫圖策略”，它們是在基本思考的基礎上，對條件和問題進行簡潔化、可視化和結構化的處理，滲透了“合理簡化”的數(shù)學思想。第三種類型指向“特殊思考方法”，包含“列舉策略”和“假設策略”，前者通過不重復、不遺漏地列舉的方式，有序逼近結論，滲透了“有序分類”的數(shù)學思想，后者通過“將兩個未知量變?yōu)橐粋€未知量”的方法，簡化求解模型，滲透了“等量代換”的數(shù)學思想。第四種類型指向“常用思考方法”，它就是小學數(shù)學解決問題“出鏡率”非常高的轉化策略，雖然轉化是有方向和有方法的，但是它并不拘泥于某個知識板塊、某種問題類型和某些特定對象，始終努力“將未知的問題已知化，將復雜的問題簡單化”，體現(xiàn)了精神實質和實施目標的步調一致，滲透了“變與不變”的數(shù)學思想。

另外，蘇教版教材還會不時補充一些“非典型”的策略，如“折一折”，這也是策略學習的有機組成部分，教師需要對其進行適度開發(fā)和合理使用。

2.“解決問題的策略”的要求透視

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在課程總目標的“問題解決”方面明確指出，要讓學生“獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識” ;在實施建議的“教學建議”部分特別提出，在教學活動中“要鼓勵與提倡解決問題策略的多樣化，恰當評價學生在解決問題過程中所表現(xiàn)出的不同水平;問題情境的設計、教學過程的展開、練習的安排等要盡可能地讓所有學生都能主動參與，提出各自解決問題的策略，并引導學生通過與他人的交流選擇合適的策略，豐富數(shù)學活動的經(jīng)驗，提高思維水平” ?？梢钥闯觯瑥目偰繕说綄嵤┙ㄗh，有關策略定位和教學要求清晰明了。首先，策略學習是一個“從無到有”的生長過程，它需要知識技能的輔助、已有概念的調用和碎片經(jīng)驗的整合，它離不開學生的自覺、自悟和自得，是一種由個體內部滋生的具有鮮明個性的認知取向;其次，策略學習是一個“從多到優(yōu)”的對比過程，它提倡學生運用個性化策略先行解決問題，然后進行深度的交流碰撞，在感受策略多樣化的同時，對比得出優(yōu)秀的方案和方法，驅動體驗從“能行”走向“善思”;最后，策略學習是一個“從近到遠”的發(fā)展過程，它可以幫助學生積累解決問題的活動經(jīng)驗，促進學生數(shù)學思維的良性發(fā)展，使學生更好地感悟數(shù)學思想，有看得見的學習習慣，還有帶得走的數(shù)學素養(yǎng)。當然，策略本身并無優(yōu)劣，教學重點不在于取舍，而在于引導學生真切感知策略的價值，并能根據(jù)需要對策略進行甄別、選擇和組合。

三、“解決問題的策略”的數(shù)學化路徑

基于以上理解，回到課堂教學，當務之急就是考慮教學的謀篇布局。對此，筆者以“問題鏈”的方式引領學生經(jīng)歷探、說、做、省和聯(lián)的完整過程，推動策略教學的數(shù)學化進程。

1.創(chuàng)設問題情境，激發(fā)“探”的需求

策略學習需要創(chuàng)設問題情境，它可以是生活味濃郁的場景引入，也可以是數(shù)學味偏重的問題環(huán)境。但是，判定一個情境好壞的標準并不在于此，關鍵要看這個情境是否激發(fā)了學生的學習欲望和引發(fā)了學生探究策略的實際需求。如四年級上冊的“列表策略”的教學中，可以設計雜亂、多組和錯位的條件問題，以引發(fā)學生有序整理信息和聯(lián)結數(shù)量關系的內需;六年級上冊“假設策略”的教學中，可以設計情境呈現(xiàn)具有倍數(shù)關系或相差關系的兩個未知量，并增加情境的復雜程度使得問題的解決無法一步到位，由此引發(fā)學生尋求等量代換變式和簡化數(shù)量關系的途徑，等等。顯然，適時、適度和應景的“小情境”和“小麻煩”，能夠激發(fā)學生的好勝心和求知欲，實現(xiàn)“人在課中央”和“心往一處想”的“小美好”。

2.鼓勵表達交流，提升“說”的能力

策略學習需要鼓勵表達和交流，它既可以是傾聽自我基礎上的經(jīng)驗梳理，也可以是傾聽他人基礎上的碰撞生成。“能說會練真把式”，學生能夠主動表達、自信表達和準確表達，是策略學習的基本要求和素養(yǎng)指標。如三年級上冊的“從條件出發(fā)的策略”的教學中，先通過問題“題中有哪些已知條件？要求什么問題？”和“你知道‘以后每天都比前一天多摘 5 個’是什么意思嗎？”驅動學生利用文字、圖式、算式等描述方式，弄清楚相鄰兩天之間的數(shù)量關系，這里的“說”指向單個信息的理解突破和多個信息的有效聯(lián)結;再通過問題“根據(jù)題中數(shù)量之間的關系，你打算怎樣解答？”引導學生進行諸如“先算第二天摘了多少個，再算第三天摘了多少個……”和“可以依次寫出每天摘的個數(shù)：30、35、40……”的個性表達，這里的“說”蘊含數(shù)量關系的具體運用和心智推演的合理規(guī)劃。顯然，同樣是動嘴說，思維層次卻不一樣，有“眼見為實”地說條件問題，有“動腦聯(lián)結”地說數(shù)量關系，還有“用心推算”地說解答思路，學生的表達能力在這樣有梯度的歷練中悄然提升。

3.提倡策略多樣，驅動“做”的對比

策略學習需要提倡策略多樣，它既可以是不同學生的不同思維角度，也可以是相同學生的先后不同思考?！昂投煌?，美美與共”，策略多樣化演繹了個性生動與共性深刻的辯證統(tǒng)一。如五年級上冊的“列舉策略”的教學中，面對問題“王大叔用22根1米長的木條圍一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？”，學生獨立思考后提出“擺圖形”“畫圖形”和“算出長和寬的和”的策略，雖然這些策略形式略有差異，但是列舉傾向意圖明顯。接著，學生進行實踐，一方面透過具體的策略，對比感知到解決問題的著眼點相同，即需要知道長和寬的具體長度，鎖定了列舉是解決問題的關鍵;另一方面通過繼續(xù)觀察和對比思考“做”的過程，發(fā)現(xiàn)“有序”和“無序”對結果的影響巨大，感悟到列舉的策略。最后，教師順勢提出問題“你能先列舉出長方形的長和寬，再找出面積最大的長方形嗎？”，驅動學生聚焦和運用之前對比得到的成果，以表格的形式將關鍵信息一一呈現(xiàn)，“怎樣圍面積最大？”的問題就此迎刃而解。當然，如果接著比較長和寬的相差關系，還能獲得“周長一定時，長和寬相差越小，面積越大”的規(guī)律，這個“副產(chǎn)品”進一步凸顯了列舉的價值和魅力。顯然，策略多樣促成了思維的發(fā)散，為共性認知的凝練提供了寶貴素材和翔實案例，但要注意實踐的重點是求同存異，并非標新立異。

4.引導積極反思，促成“省”的自覺

策略學習需要積極反思，既可以是問題解決中成功的經(jīng)驗分享，也可以是理解欠缺、探究不足等的“幡然醒悟”。反思是策略學習從外在把握到內在理解的重要環(huán)節(jié)和必要通道。如四年級上冊的“靈活運用從條件和問題出發(fā)分析和解決實際問題”，通過問題“分析數(shù)量關系，你有哪些體會？”的驅動，學生獲得了“可以從條件出發(fā)，也可以從問題出發(fā)”和“可以通過列表、畫線段圖等方法進行分析”的反思結果，有效內化了分析數(shù)量關系的思維方式和表征形式;又如六年級下冊的“選擇和運用適當策略解決實際問題”，通過問題“解決上面的問題，你選擇了什么策略？是怎樣想的？”的驅動，學生感受到“選擇畫圖的策略，能使數(shù)量關系更直觀、更清楚”“把分數(shù)轉化成比，更容易理解數(shù)量之間的關系”……有效內化了具體策略的個性特征和價值體現(xiàn)。顯然，反思不是不假思索地隨意一瞥，也不是不明就里地高談闊論，它需要對已有認識進行有機整合，以收獲對策略的深度理解和間接認識，實現(xiàn)“自我喚醒自我”的意識自覺、行為自動和結論自明。

5.注重典型梳理，感悟“聯(lián)”的通透

策略學習需要注重典型梳理，它可以是同一問題的不同方法對比，也可以是不同問題的相同方法歸類?！安磺笕?，但求聯(lián)”，必要的回顧與整理，能夠驅動經(jīng)驗的調用、對接和反思，為經(jīng)驗的“華麗轉身”積蓄能量。如五年級下冊“轉化策略”的教學中，可以從圖形面積、各類計算等方面進行梳理。其中，圖形面積分為三個層次，第一層次是將平行四邊形和圓轉化成長方形，屬于等面積轉化;第二層次是將三角形和梯形轉化成平行四邊形，屬于非等面積轉化;把第一層次和第二層次梳理成“樹形結構”，以長方形的面積計算為“根”，引導學生連續(xù)觀察，凸顯“化未知為已知”的轉換方向;第三層次為“穿越時空”情境——走近古代數(shù)學家劉徽，了解“以盈補虛”的方法，見證三角形和梯形可以等面積轉化，感知轉化的方向相同和策略多樣。顯然，典型梳理實現(xiàn)了隱藏方法的顯性化、同類方法的模式化和不同方法的結構化，厚積薄發(fā)、舉三反一，有效推動了“方法的感性識別”向“策略的理性通透”的認知進階。

綜上所述，“解決問題的策略”是蘇教版教材對課程標準有關“問題解決”要求提出的一種思考樣式。從宏觀上看，它依據(jù)前期鋪墊、專題學習和后續(xù)強化的路徑規(guī)劃，演繹了核心素養(yǎng)視域下學生問題解決能力提升的全局思考、系統(tǒng)推進和單元突破;從微觀上看，它依據(jù)情境適切、功能適度和策略適用的基本原則，架構了“探、說、做、省、聯(lián)”的教學主線，驅動學生的經(jīng)驗提煉、方法沉淀和情感共鳴。有趣的是，如果跳出問題再看問題，策略學習的本身也是一種充滿智慧的學習策略。

[本文系江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃重點課題《基于問題鏈驅動的小學生數(shù)學化學習的研究》（課題批準文號：C-b/2020/02/26）和江蘇省中小學教學研究第十三期重點課題《深度學習下小學數(shù)學游戲的開發(fā)與應用研究》（課題批準文號：2019JK13-ZB48）的階段性成果。]

（責編 金 鈴）