于洪杰

(齊齊哈爾工程學(xué)院基礎(chǔ)部,黑龍江 齊齊哈爾 161005)

0 引 言

機(jī)械振動(dòng)現(xiàn)象在自然界、工程技術(shù)和日常生活中普遍存在,如機(jī)器開動(dòng)時(shí)各部分的微小顫動(dòng)、心臟的跳動(dòng)等現(xiàn)象都具有明顯的振動(dòng)特性[1]。機(jī)械振動(dòng)也為學(xué)生學(xué)習(xí)地震學(xué)、建筑力學(xué)等后續(xù)專業(yè)課程提供必要的基礎(chǔ)知識(shí)。而簡諧振動(dòng)可以說是機(jī)械振動(dòng)中最基本的振動(dòng),其他復(fù)雜的機(jī)械振動(dòng)可以視為多個(gè)簡諧振動(dòng)的合成[2]。為了研究機(jī)械振動(dòng)現(xiàn)象的基本機(jī)理,闡明機(jī)械振動(dòng)的一般規(guī)律,需要應(yīng)用簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程,進(jìn)一步分析和求解相關(guān)問題,將振動(dòng)現(xiàn)象及機(jī)理應(yīng)用到專業(yè)學(xué)習(xí)過程中,而在教育教學(xué)過程中,各類教材中對(duì)于簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)較少,導(dǎo)致學(xué)生只知道方程的形式,不能很好的理解方程的推導(dǎo)過程。本文采用三種方法對(duì)簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行推導(dǎo),同時(shí)結(jié)合實(shí)際問題闡述簡諧運(yùn)動(dòng)方程的簡單應(yīng)用,對(duì)各高校教師教育教學(xué)及大學(xué)生自主學(xué)習(xí)具有一定指導(dǎo)及借鑒作用。

1 簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)

1.1 根據(jù)牛頓第二定律推導(dǎo)簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程

以彈簧振子系統(tǒng)為例,根據(jù)胡克定律,物體所受的彈性力F 與物體相對(duì)平衡位置的位移成正比[3],比例系數(shù)k 為彈簧勁度系數(shù)F =-kx ,由牛頓第二定律F =ma ,可得ma=-kx

方程中x 表示簡諧振動(dòng)過程中物體離開平衡位置的位移,A 代表簡諧振動(dòng)物體離開平衡位置的最大距離,稱為振幅,ωt+φ表征任意時(shí)刻物體振動(dòng)狀態(tài),稱為相位,φ為t=0時(shí)刻物體振動(dòng)狀態(tài),稱為初相。

1.2 根據(jù)機(jī)械能守恒定律推導(dǎo)簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程

利用 “機(jī)械能守恒定律”對(duì)簡諧振動(dòng)方程進(jìn)行推導(dǎo)時(shí),可以將小球與彈簧作為研究的對(duì)象[4]。該模型中除了彈簧彈力外,其他的力都不做功,可以通過機(jī)械能守恒定律對(duì)簡諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行推導(dǎo)。

對(duì)于簡諧振動(dòng),取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),如果從平衡位置開始計(jì)時(shí),則振動(dòng)位移方程為x =Asinωt;如果從振動(dòng)端點(diǎn)開始計(jì)時(shí),則振動(dòng)位移方程為x=Acosωt[5]。實(shí)際應(yīng)用過程中,可以根據(jù)實(shí)際需要來選擇合適的位移方程進(jìn)行解決問題。

1.3 根據(jù)簡諧振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程的解推導(dǎo)簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程

則x=A(cosφcosωt+sinφsinωt),即得簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程x=Acos(ωt+φ)

從推導(dǎo)中可以分析出,簡諧振動(dòng)的位移是時(shí)間的余弦函數(shù),簡諧振動(dòng)物體的速度和加速度也是按正弦或余弦函數(shù)隨時(shí)間變化;在LC 振蕩回路的中,電容器電量、儲(chǔ)存的電場能等物理量也是按正弦函數(shù)隨時(shí)間作周期性變化的[6]。

2 簡諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程的應(yīng)用

2.1 已知簡諧振動(dòng)參量求受力問題

在實(shí)際工程中,經(jīng)常會(huì)涉及到如圖1 所示模型:輕彈簧上端與木板相連,木板上安裝質(zhì)量為m=1.0kg的物體,設(shè)木板沿豎直方向作簡諧振動(dòng),其振動(dòng)的周期T =0.5s,振動(dòng)幅度A =3.0×10-2m 。求:當(dāng)木板運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí),物體對(duì)木板的作用力大小。

圖1 簡諧振動(dòng)模型實(shí)際應(yīng)用I

受力分析如圖1所示,根據(jù)牛頓第二定律可得

由于物體是隨板一起作簡諧運(yùn)動(dòng),根據(jù)前面推導(dǎo)的簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程x=Acos(ωt+φ),對(duì)方程求二階導(dǎo)數(shù)可得加速度

則FN =mg+mgω2cos(ωt+φ),重物在最低點(diǎn)時(shí),相位ωt+φ=0

2.2 已知運(yùn)動(dòng)情況求簡諧振動(dòng)參量

輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)為k,上端與質(zhì)量為m的平板相連?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m的物體由平板上方h高自由下落,同時(shí)與平板發(fā)生非彈性碰撞。求振動(dòng)的振幅、周期及初相。(以平板開始運(yùn)動(dòng)時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn),向下為正方向)

圖2 簡諧振動(dòng)模型實(shí)際應(yīng)用II

平板和物體做簡諧振動(dòng),以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),向下為正方向,初始條件

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)論

大學(xué)物理教材中一般采用動(dòng)力學(xué)方程直接給出簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程,學(xué)生知其然而不知其所以然。通過3種方法求解簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程,不同方法在求解過程中循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力。根據(jù)求解的簡諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程,結(jié)合實(shí)際工程問題模型,從已知簡諧振動(dòng)參量求受力問題和已知運(yùn)動(dòng)情況求簡諧振動(dòng)參量兩個(gè)角度對(duì)簡諧振動(dòng)方程進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用,提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力,對(duì)后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)起到很好的作用。