董江，于浩，文敏，張強波，郭海東

（中國飛行試驗研究院，西安 710089）

0 引言

機械結構或部件因承受交變載荷而導致疲勞是其最常見的失效原因。因此，在設計過程中采取快速、有效的方法預估疲勞壽命是至關重要的。目前關于隨機振動疲勞與常規(guī)循環(huán)疲勞的本質區(qū)別的研究較少,關于振動疲勞的定義尚不明確。振動載荷下的結構應力/應變量值及循環(huán)次數(shù)與外載荷量值、作用時長及結構動態(tài)特性有關。

關于隨機振動載荷下的構件疲勞壽命預測，其關鍵在于確定加載歷程、載荷循環(huán)數(shù)及統(tǒng)計各循環(huán)損傷分布以評估總的疲勞損傷。隨機振動疲勞壽命預估方法主要分為時域法和頻域法。Mrsnik等研究對比了Wirsching-Light、Gao-Moan 以及Dirlik 等頻域法估算壽命時的優(yōu)缺點。Pothula 等分別運用Dirlik、Narrow-band、Tunna 及Steinberg等頻域方法預估了不同功率譜密度下的試件疲勞壽命，結果表明Dirlik 法更接近試驗值。張煒等對車載電子設備進行了隨機振動和疲勞損傷分析，采用頻域方法分析了電子設備故障機理并對其使用壽命進行了預估。Eldoan 等采用Dirlik 法及雨流計數(shù)法預估了變頻恒幅振動載荷下的懸臂梁構件疲勞壽命，二者結果較為相近。陳華等采用時域法預估了某結構的疲勞損傷。Sobczyk 等對時域法進行了研究，并預估結構的疲勞壽命。頻域法預估壽命時，將疲勞壽命表示為激勵譜特征的函數(shù)，但目前沒有一個通用的解析解。時域法預估壽命時，主要依賴于時間歷程上的應力或應變幅值，但若無實測數(shù)據(jù)，采用計算機模擬所有可能的應力?時間歷程樣本耗時較大，在結構設計階段無法獲取完整的載荷歷程。工程使用中，若能夠獲得結構時域內(nèi)的應力?時間數(shù)據(jù)，則通過雨流計數(shù)法預估隨機振動疲勞壽命是普遍接受的。

針對時域法應力?時間歷程模擬耗時較長的問題，本文開展基于實測應力歷程數(shù)據(jù)的試件隨機振動疲勞壽命預估方法研究。首先進行3 個振動量級下的試件隨機振動疲勞試驗，獲取試件危險點的應變響應歷程；然后基于雨流計數(shù)法進行載荷循環(huán)計數(shù)，統(tǒng)計載荷幅值及均值分布；最后結合線性累積損傷理論預估試件疲勞壽命，并與試驗值進行對比，以驗證該疲勞壽命預測方法的可行性與有效性。

1 隨機振動壽命計算理論

隨機振動不能用確定的函數(shù)關系式來表達，是一種只能在統(tǒng)計意義下描述的振動。隨機過程()的任一樣本函數(shù)()的功率譜密度函數(shù)S()與自相關函數(shù)R()是一傅里葉變換對：

其中，

隨機過程的時域特性由相關函數(shù)進行描述，由功率譜密度函數(shù)描述其頻域特性。雙邊功率譜密度函數(shù)可由式(1)定義，考慮到實際工程中的頻率均≥0，單邊功率譜密度函數(shù)()為

構件的隨機振動過程的激勵和響應均為隨機過程，在頻域中表述更為方便，對于具體構件而言，隨機振動載荷造成的損傷效果是在時域內(nèi)逐步累積的，且經(jīng)典疲勞評估方法也是建立在應力的時域分析基礎上。因此若有構件時域內(nèi)的載荷實測數(shù)據(jù)，則可采用時域法對疲勞壽命進行預估。時域法預估壽命的基礎是損傷累積，即每個載荷子步下的損傷因子累積。隨機振動的時域應力幅值是隨機的，但在統(tǒng)計意義下是規(guī)律的，可采用循環(huán)計數(shù)原理統(tǒng)計載荷幅值信息。

1.1 累積損傷理論

工程上廣泛應用的線性累積損傷理論為Palmaram-Miner 理論，即認為級交變應力引起的疲勞損傷相互獨立，可線性累加，且當損傷累積達到某一特定數(shù)值時，結構將發(fā)生破壞。結構累積損傷值可以表示為

式中：(S)為疲勞曲線上應力水平S時的壽命循環(huán)數(shù)；(S)為應力水平S時1s 內(nèi)實際作用的循環(huán)數(shù)。

Miner 通過引入臨界損傷值來判定結構疲勞失效，則結構的疲勞壽命為

通常認為=1，載荷加載次序影響下會導致偏離1 很大，但是對于隨機載荷作用下，載荷加載次序效應不明顯，在1 附近。

1.2 雨流循環(huán)計數(shù)法

雨流循環(huán)計數(shù)法是一種二參數(shù)循環(huán)計數(shù)法，主要功能是將經(jīng)過偽讀數(shù)去除、峰谷值檢測、無效幅值去除后的實時載荷歷程簡化為若干載荷循環(huán)，以供疲勞壽命估算。雨流計數(shù)法是基于材料的應力?應變遲滯回線進行循環(huán)計數(shù)的，較好地反映了隨機加載的全過程。

雨流計數(shù)法將應力?時間歷程順時針旋轉90°，使時間坐標軸豎直向下（如圖1 所示），其基本原則如下：

圖1 雨流計數(shù)原理Fig.1 The principle of rain flow counting

1）雨流的起點依次在每個峰值（或谷值）的內(nèi)側，即“屋頂”；

2）雨流流到下一個峰值處（或谷值）豎直下落，直到遇到一個比其更大的峰（或更小的谷）為止；

3）當雨流遇到來自上面屋頂流下的雨流時，就停止流動，并構成一個循環(huán)；

4）根據(jù)雨流的起點和終點，得到各個循環(huán)，并逐一提取出來，記錄下各自的幅值或均值。

在應用雨流計數(shù)法進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計之前，通常對數(shù)據(jù)序列進行調整，減少載荷循環(huán)的缺失，形成完全雨流計數(shù)法。基于MATLAB 開發(fā)相應的雨流計數(shù)法程序，具體流程如圖2 所示。

圖2 雨流計數(shù)法程序框圖Fig.2 Flow chart of the rain flow counting method

2 隨機振動疲勞試驗

2.1 試驗方案

參考文獻[19-20]中的振動疲勞試件設計，疲勞試件尺寸如圖3 所示，材料為1Cr18Ni9Ti 不銹鋼，試件固有頻率為80.1Hz。采用DC-1000 振動臺進行隨機振動疲勞試驗。

圖3 疲勞試件尺寸Fig.3 The dimensions of specimen for random vibration fatigue test

疲勞加載條件下，構件的裂紋形成包括裂紋孕育、萌生、擴展和瞬斷等階段，而前三個階段構成構件的疲勞裂紋萌生期。有學者認為裂紋萌生期約占整個疲勞壽命期的80%。試件振動疲勞過程中以試件表面出現(xiàn)明顯裂紋時所對應的循環(huán)數(shù)為當前載荷下的模擬試件振動疲勞壽命，即裂紋萌生壽命。試件萌生裂紋后，裂紋迅速擴展，由文獻[2]可知，試件出現(xiàn)裂紋后其固有頻率將發(fā)生變化，同一振動量級下振動微應變將發(fā)生變化，因此在振動疲勞試驗中可通過對試件進行應變計改裝來監(jiān)測其疲勞過程中的應變歷程及固有頻率變化，以確定其疲勞壽命，具體如圖4 所示。另外，為準確獲得各振動量級下危險點的振動應變也需要進行應變計改裝。本文采用虛擬載荷校準技術確定應變計改裝位置與裂紋萌生點的應力比關系，圖5為試件有限元分析應力云圖與試驗中裂紋萌生位置對比，裂紋萌生位置即對應仿真應力最大位置。

圖4 振動應變監(jiān)視Fig.4 Vibration strain monitoring

圖5 試件應力的有限元模擬結果與試驗結果比較Fig.5 Comparison of finite element simulation and experiment result

具體試驗方法及流程如下：

1）每10 個試件為一組，將其安裝于夾具上，每個試件完成應變計改裝并進行振動應力的實時監(jiān)測，如圖6 所示；

圖6 試件隨機振動疲勞試驗Fig.6 Random vibration fatigue test of the specimens

2）采用圖7 所示譜圖（寬帶基礎激勵為0.03/Hz）開展隨機振動疲勞試驗，其中=3.5/Hz；

圖7 隨機振動疲勞試驗施加的功率譜密度Fig.7 The power spectral density(PSD) load in the random vibration fatigue test

3）實時監(jiān)測試件表面振動應變直至試件產(chǎn)生裂紋，記錄失效時間；

4）若存在少量超過已疲勞試件平均壽命的3 倍分散帶仍未產(chǎn)生裂紋，則停止試驗；

5）重新設定振動量級=5.5/Hz 及=7.5/Hz，重復上述1）～4），完成不同量級下的試件隨機振動疲勞試驗。

2.2 試驗結果

圖8 給出了振動量級為7.5/Hz 時3#試件產(chǎn)生裂紋失效過程的振動應變數(shù)據(jù)，可以看出：當試件尚未失效時振動應變處于較高水平；在某一時刻試件孔邊萌生裂紋時，振動應變明顯下降（降低約50%）；而后振動應變保持在低水平不變。統(tǒng)計多種振動量級下的試件失效情況，振動應變的變化情況均與此相同，因此通過應變實時監(jiān)測的方法可以判斷試件失效的時刻。

圖8 振動應變監(jiān)測下的試件失效過程Fig.8 Failure process of specimens under vibration strain monitoring

3 種振動量級下試件的隨機振動疲勞失效時間見表1。其中：3.5/Hz 下，試件平均疲勞壽命為21.74h，6#及10#試件的試驗時間遠大于平均壽命而未失效，停止試驗；5.5/Hz 下，試件平均疲勞壽命為7.64h，2#及4#試件的試驗時間遠大于平均壽命而未失效，停止試驗；7.5/Hz 下，試件平均疲勞壽命為4.28h，9#試件的試驗時間遠大于平均壽命而未失效，停止試驗。

表1 各振動量級下的試件疲勞失效時間Table 1 Fatigue failure time of specimens in different vibration levels

3 隨機振動壽命預估

隨機振動載荷作用下的結構應變響應為隨機過程，其在時域中需使用無窮多組時間無限長的樣本曲線來描述，歷經(jīng)隨機過程的任意一條樣本曲線上包含了該隨機過程的所有統(tǒng)計特性。一般工程實際中，隨機振動載荷都可以假設為各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程，即可以抽取任意一條樣本曲線進行壽命估算，本文各試件選取4 段時域響應數(shù)據(jù)估算壽命進行平均。

圖9 為7.5/Hz 振動量級下某試件危險點應變時域值，數(shù)據(jù)時長=3min（采樣率f=4800Hz）。根據(jù)試件材料屬性將圖9 中時域應變轉化為時域應力值并進行雨流計數(shù)處理后，由Goodman 平均應力模型修正后得到的應力幅值概率分布模型，及應力幅值的正態(tài)分布、Reyleigh 分布及Weibull 分布擬合，結果如圖10 所示。由圖可見：相比于Reyleigh 分布模型，正態(tài)分布模型及Weibull 分布模型均能較好地描述其概率密度，但正態(tài)分布模型在中小應力區(qū)擬合程度不如Weibull 分布模型。因此綜合考慮，認為Weibull 分布模型能夠較好描述雨流幅值概率分布。相關文獻也表明，大多數(shù)情況下載荷幅值服從Weibull 分布。

圖9 試件應變時域響應Fig.9 Time-domain response of specimen strain

圖10 應力幅值概率模型對比Fig.10 Comparison of probability models for expressing the stress amplitude

隨機振動疲勞的載荷具有不確定性，若統(tǒng)計時間足夠長的話，其載荷是有一定的周期性。選取時域響應樣本進行疲勞壽命預估時，需考慮所選時間段長度，因為過短的時間段無法代表整個隨機過程，而過長的時間段則會增加計算量。為確定所選取樣本長度，分別選取10s、30s、40s 及60s 時域數(shù)據(jù)進行雨流計數(shù)處理，統(tǒng)計其雨流幅值概率分布及累積概率密度，確定合適樣本長度，具體如圖11、12所示。由圖11 可知，4 種時間段下應力幅值均符合Weibull 分布模型，且隨著時間段增加，擬合效果更好。由圖12 可知，當時間段大于40s 時，應力幅值的累積概率密度分布幾乎重合，即該時間段內(nèi)各應力幅值的占比相等，因此可選取40s 時間段代替無限長時間時域響應信號。

圖11 應力幅值概率模型Fig.11 The probability models of stress amplitude

圖12 4種時間段的應力幅值累積概率密度分布Fig.12 Cumulative probability density distributions of stress amplitude in different time durations

基于試驗中試件的時域應變響應信號，再經(jīng)雨流計數(shù)法處理后，應用Miner 線性累積損傷理論結合圖13 中材料S-N 曲線對試件在3 種振動量級下的隨機振動壽命進行預估，結果如表2、表3 及表4所示，由于應變計零漂、毛刺信號等問題會影響試件真實載荷歷程，所以各組選取的預估試件少于10 件，共18 件。

圖13 1Cr18Ni9Ti 材料S-N 曲線Fig.13 The S-Ncurve of 1Cr18Ni9Ti

表2 3.5g2/Hz 時試件疲勞壽命對比Table2 Comparison of specimens’fatigue life at 3.5g2/Hz

表3 5.5g2/Hz 時試件疲勞壽命對比Table3 Comparison of specimens' fatigue life at 5.5g2/Hz

表4 7.5g2/Hz 時試件疲勞壽命對比Table4 Comparison of specimens' fatigue life at7.5g2/Hz

圖14 為3 種振動量級下18 件試件的預估壽命在試驗壽命3 倍分散帶內(nèi)的分布，其中，試件編號根據(jù)試驗壽命按升序排列后重新定義。由圖可知：18 件試件的預估疲勞壽命均在試驗疲勞壽命3 倍分散帶內(nèi)，屬工程誤差范圍內(nèi)；另外大多數(shù)試件的預估壽命小于試驗值，表明由基于實測載荷的雨流計數(shù)法預估構件隨機振動壽命具有更高的保守性。造成誤差的原因可能有：1）試件加工尺寸精度與模型設計尺寸存在差異；2）未考慮尺寸效應影響，僅采用危險點的最大應變進行疲勞壽命估算。

圖14試件預估壽命3 倍分散帶分布Fig.14 Triploid dispersion band distribution of predicted life of the specimens

4 結論

本文采用振動臺開展了3 種量級下的試件隨機振動疲勞試驗，對試驗過程中的振動載荷進行了實測，基于實測時域數(shù)據(jù)預估了試件的隨機振動疲勞壽命，得出結論如下：

1）通過改裝應變計采集試驗中的試件應變響應歷程，可實現(xiàn)對隨機振動疲勞試驗過程中試件破壞瞬間的監(jiān)測；

2）對實測載荷數(shù)據(jù)進行雨流循環(huán)計數(shù)統(tǒng)計獲得其應力幅值概率分布模型，可由Weibull 分布模型最優(yōu)擬合；

3）開展3 種量級下的試件隨機振動疲勞試驗，獲得試件危險點的時域應變響應歷程，基于雨流計數(shù)法及線性累積損傷理論預估的疲勞壽命與試驗值對比均在3 倍分散帶內(nèi)；

4）試驗結果驗證了基于實測時域數(shù)據(jù)的結構件隨機振動疲勞壽命預測方法的可行性及有效性，后續(xù)可通過載荷數(shù)據(jù)的實測開展危險結構件的疲勞失效監(jiān)測及壽命預測。