李銀山 劉燦昌 王新筑 李欣業(yè)

1河北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 天津 300401 2山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院 淄博 255000 3重慶大學(xué)航空航天學(xué)院 重慶 400044

0 引言

梁的變形計(jì)算是現(xiàn)代設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容之一，其計(jì)算方法有解析法和數(shù)值法2種，但其均存在解的結(jié)構(gòu)復(fù)雜、計(jì)算量大等問(wèn)題，增加了工程計(jì)算成本[1-4]。能量法和力矩—面積法能較快計(jì)算梁特定點(diǎn)的變形, 但該方法計(jì)算量大，難以應(yīng)用到復(fù)雜載荷作用的梁變形計(jì)算，限制了其在復(fù)雜載荷環(huán)境的工程應(yīng)用。共軛梁法避免了積分的計(jì)算, 但卻無(wú)法適用于載荷復(fù)雜的問(wèn)題。喻曉今[5]利用置換法求解一端外伸梁變形，提出一種基于疊加無(wú)需積分的變形計(jì)算方法；彭如海[6]研究了梁上特殊點(diǎn)的位移置換函數(shù)，提出一種求解梁的變形位移置換方法。

計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)在工程計(jì)算和計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[7-16]；高云峰、李銀山、阿鮑夫斯基 H Π等[17-20]利用連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法得到位移置換函數(shù)，通過(guò)計(jì)算機(jī)軟件符號(hào)計(jì)算得到解析解，發(fā)展了一種計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算方法；王小明[21]以加筋板中板與筋的耦合力和力矩為中間未知量，提出了一種板筋分離法的計(jì)算方法。

本文利用位移置換法求解了復(fù)雜載荷作用下超靜定梁任意一點(diǎn)的撓度、轉(zhuǎn)角和彎矩，利用位移互等定理求解了單位力作用下的互等位移，通過(guò)變形疊加方法計(jì)算復(fù)雜載荷作用下超靜定梁任意一點(diǎn)變形，推導(dǎo)多邊界、多載荷作用下的超靜定梁位移置換函數(shù)，通過(guò)位移置換法給出梁變形解析解，利用Maple程序計(jì)算任意節(jié)點(diǎn)位移數(shù)值，得到超靜定梁變形曲線。

1 位移置換法

1.1 位移置換法

由位移互等定理可知，若分別在橫坐標(biāo)ξ和x處作用單位力F0＝1 (見(jiàn)圖1a)，則在ξ處的單位力引起x處的位移δq（x；ξ）與在x處的單位力引起ξ處的位移δq（ξ；x）應(yīng)相等，即

圖1 位移互等定理

設(shè)梁上作用分布力q（x），分布彎矩m（x），在ai處的集中力Fi，在bi處的集中力偶矩Mei。則點(diǎn)ξ的撓度v（ξ）為

1.2 超靜定梁的位移置換函數(shù)

由圖2可知，給出超靜定梁的3種情況下δq（x；ξ）的表達(dá)式。

圖2 超靜定梁位移置換函數(shù)計(jì)算示意圖

1）固定-鉸支梁

3）固定-鉸支-外伸梁

當(dāng)載荷在0≤ξ≤l時(shí)，即有

綜上所述，位移置換函數(shù)可采用連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法快速得到。

2 工程實(shí)例

1）實(shí)例1

如圖3所示，受均布載荷的固支-鉸支梁，試求B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。已知梁彎曲剛度EI為常數(shù)，用位移置換法求解。

圖3 固支-鉸支梁受力簡(jiǎn)圖

圖4 轉(zhuǎn)角圖

2）實(shí)例2

如圖5所示，受復(fù)雜載荷三鉸梁，試求D點(diǎn)的撓度。已知梁各段彎曲剛度EI為常數(shù)。已知：L=8 m，q=4 kN/m，F(xiàn)=qL/4，a=L/2，用位移置換法求解。

圖5 受復(fù)雜載荷三鉸

①載荷函數(shù)

②求單位力作用下的撓度

③求外載荷作用下的撓度函數(shù)

撓度函數(shù)(見(jiàn)圖6)為

圖6 撓度圖

④求D點(diǎn)的撓度

3）實(shí)例3

如圖7所示，受復(fù)雜載荷的固定-鉸支-外伸梁，試求A點(diǎn)和D點(diǎn)的彎矩。已知梁各段彎曲剛度EI為常數(shù)。已知：L=6 m，q=3 kN/m，F(xiàn)=（5/9）qL，a=L/2，用位移置換法求解。

圖7 固支-鉸支外伸梁

圖8 彎矩圖

3 求超靜定梁的位移置換函數(shù)

以固支-鉸支梁為例，介紹連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法求位移置換函數(shù)的步驟如下：

1）本題分為2段，即n=2，各段的撓曲線近似微分方程為

2）積分1次得剪力方程的通解；

3）積分2次得彎矩方程的通解；

4）積分3次得轉(zhuǎn)角方程的通解；

5）積分4次得撓度方程的通解；

6）根據(jù)邊界條件和連續(xù)光滑條件確定積分常數(shù)為

7）求撓度函數(shù)

4 結(jié)論

本文將位移置換法由求解梁特定點(diǎn)變形計(jì)算推廣到一般點(diǎn)的變形計(jì)算，發(fā)展了梁變形計(jì)算方法，給出了一種超靜定梁變形計(jì)算的簡(jiǎn)化方法。同時(shí)，研究了位移置換函數(shù)確定方法，給出了各種邊界超靜定梁在復(fù)雜載荷作用下位移置換函數(shù)，利用位移置換法給出梁變形解析解，并利用Maple程序計(jì)算任意節(jié)點(diǎn)位移數(shù)值，得到超靜定梁變形曲線。