萬 鵬，李迎光，華家玘，劉長青

（南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，南京 210016）

航空航天制造是一個國家科技水平的重要標(biāo)志，因其高精度和高性能要求而備受行業(yè)關(guān)注。為保證航空航天產(chǎn)品綜合性能及其在極端環(huán)境下能夠正常工作，鈦合金、高溫合金等難加工材料廣泛應(yīng)用于航空航天零部件的制造。在零件的數(shù)控加工過程中，由于難加工材料強(qiáng)度大、硬度高和熱傳導(dǎo)系數(shù)低，切削刀具刀尖應(yīng)力大，導(dǎo)致切削刃局部溫度較高，刀具更容易發(fā)生失效［1-2］。研究表明，在實(shí)際加工中，更換刀具的停機(jī)時間占機(jī)床總停機(jī)時間的20%以上［3］，刀具和刀具更換的成本占總加工成本的3%～12%［4］，傳統(tǒng)依靠人工經(jīng)驗(yàn)確定更換刀具的時間節(jié)點(diǎn)導(dǎo)致刀具的使用壽命被嚴(yán)重浪費(fèi)。準(zhǔn)確可靠的刀具狀態(tài)監(jiān)測系統(tǒng)可通過減少機(jī)床停機(jī)時間和最大程度利用刀具使用壽命的方式降低10%～40%的生產(chǎn)成本［5］。因此，刀具磨損預(yù)測對保證零件加工質(zhì)量和效率、降低加工成本具有重要作用。

同時，為了滿足航空航天產(chǎn)品優(yōu)良的氣動外形和輕質(zhì)的要求，航空航天零件結(jié)構(gòu)往往較為復(fù)雜，外形多由復(fù)雜曲面組成，并存在較多槽腔結(jié)構(gòu)。這些因素使得此類零件加工工藝復(fù)雜，加工時切削參數(shù)、刀具材料和刀具尺寸等加工工況頻繁變化［6］，這對刀具磨損的精確預(yù)測提出了更為嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。因此實(shí)現(xiàn)變工況的刀具磨損精確預(yù)測具有重要的實(shí)際意義。除此之外，刀具磨損預(yù)測在制造系統(tǒng)中屬于風(fēng)險敏感的任務(wù)，這意味著預(yù)測結(jié)果與真實(shí)結(jié)果之間不容許出現(xiàn)較大的偏差，尤其在面對航空航天領(lǐng)域的高附加值零件時［7］。預(yù)測磨損量遠(yuǎn)高于真實(shí)磨損量將導(dǎo)致刀具的頻繁更換，造成刀具使用壽命的浪費(fèi)以及加工效率的降低。而預(yù)測磨損量遠(yuǎn)低于真實(shí)磨損量將出現(xiàn)使用失效刀具加工零件的情況，損害零件尺寸精度和表面質(zhì)量，甚至造成零件報廢。因此，有效的刀具磨損預(yù)測模型不僅需要保證預(yù)測的平均精度，還需要保證預(yù)測的穩(wěn)定性，避免在加工過程中出現(xiàn)較大的預(yù)測偏差。

1 現(xiàn)有刀具磨損預(yù)測方法

現(xiàn)有的刀具磨損預(yù)測方法大多僅通過磨損機(jī)理或監(jiān)測數(shù)據(jù)建立模型，受制于磨損過程的復(fù)雜性和模型訓(xùn)練數(shù)據(jù)獲取困難等問題，難以實(shí)現(xiàn)變工況刀具磨損的精確穩(wěn)定預(yù)測。數(shù)據(jù)與機(jī)理融合模型具備機(jī)理模型和數(shù)據(jù)驅(qū)動模型的優(yōu)勢，是實(shí)現(xiàn)刀具磨損預(yù)測的有效手段，然而現(xiàn)有的融合方法在模型訓(xùn)練過程中難以有效平衡對數(shù)據(jù)和機(jī)理的利用，導(dǎo)致融合效果不理想，因此亟需一種新的融合模型以滿足精度高、穩(wěn)定性好的預(yù)測要求。

現(xiàn)有的刀具磨損預(yù)測研究主要分為3 個方面：基于磨損機(jī)理的預(yù)測方法、數(shù)據(jù)驅(qū)動的預(yù)測方法和數(shù)據(jù)與機(jī)理融合的預(yù)測方法。

（1）基于磨損機(jī)理的刀具磨損預(yù)測方法

基于機(jī)理的刀具磨損預(yù)測方法通過分析刀具在切削過程中發(fā)生的物理變化（磨粒磨損和粘結(jié)磨損）和化學(xué)變化（擴(kuò)散磨損和氧化磨損），構(gòu)建刀具磨損量與各物理變量之間的關(guān)系公式。Takeyama和Murata［8］介紹了一個通用表達(dá)式，用于描述刀具磨損隨時間變化的復(fù)雜過程。Pálmai［9］在建立機(jī)理模型過程中同時將機(jī)械磨損與化學(xué)磨損納入考慮，提出一種刀具后刀面磨損速率的數(shù)學(xué)模型。Rech 等［10］使用摩擦計模擬在刀具-工件界面上的相關(guān)摩擦條件（壓力，速度），改善了有限元分析刀具磨損的數(shù)值模型。機(jī)理模型可以很好地反映刀具磨損的規(guī)律，對于不同的切削過程具有較高的物理一致性，因此泛化性和穩(wěn)定性較好。但機(jī)理模型的建立基于大量的假設(shè)和簡化，對于復(fù)雜的切削過程，其難以實(shí)現(xiàn)刀具磨損的實(shí)時精確預(yù)測。

（2）數(shù)據(jù)驅(qū)動的刀具磨損預(yù)測方法

數(shù)據(jù)驅(qū)動的刀具磨損預(yù)測方法通過監(jiān)測信號（如切削力信號，振動信號，聲發(fā)射信號、主軸電流信號以及主軸功率信號等）間接反映刀具磨損狀態(tài)［11］。近年來，隨著數(shù)據(jù)獲取成本和計算成本的降低，深度學(xué)習(xí)得到了快速的發(fā)展。在制造領(lǐng)域，深度學(xué)習(xí)為解決實(shí)際生產(chǎn)制造中的各種復(fù)雜問題提供了高效的解決方案［12-13］。Cai 等［14］利用深度長短時記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Deep long short-term memory network，DLSTM）提取監(jiān)測信號中包含的深層特征，并與加工信息結(jié)合形成新的輸入進(jìn)行刀具磨損預(yù)測。Huang 等［15］通過對刀具磨損原始監(jiān)測信號進(jìn)行時間序列重構(gòu)，利用深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Deep convolution neural network，DCNN）實(shí)現(xiàn)了刀具磨損量端到端的預(yù)測。Yuan 等［16］提出了一個通用的、端到端的制造系統(tǒng)監(jiān)測框架，通過融合多傳感器監(jiān)測信號實(shí)現(xiàn)了刀具磨損預(yù)測。深度學(xué)習(xí)方法直接利用原始監(jiān)測信號預(yù)測刀具磨損量，這使得其能夠更全面、深入地挖掘監(jiān)測信號中的信息。但受限于制造系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)稀疏，難以剔除環(huán)境噪聲的影響和訓(xùn)練困難等缺點(diǎn)，深度學(xué)習(xí)模型的泛化能力和預(yù)測精度仍有待提高。

（3）數(shù)據(jù)與機(jī)理融合的刀具磨損預(yù)測方法

數(shù)據(jù)驅(qū)動模型和機(jī)理模型具有很高的互補(bǔ)性，將監(jiān)測數(shù)據(jù)與磨損機(jī)理融合建模可在一定程度上避免二者單獨(dú)建模的缺點(diǎn)而發(fā)揮二者的優(yōu)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)刀具磨損預(yù)測。Wang 等［17］通過使用經(jīng)驗(yàn)公式Δθ=CNm構(gòu)建物理模型并與數(shù)據(jù)驅(qū)動模型共同訓(xùn)練，將二者的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行回歸訓(xùn)練以獲得最終的預(yù)測結(jié)果。Hanachi 等［18］將自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)與經(jīng)驗(yàn)公式x(t)=texp(A+Bt+Ct2)相結(jié)合，通過粒子濾波以概率的形式表示預(yù)測結(jié)果。數(shù)據(jù)與機(jī)理融合的方式是影響融合模型性能的重要因素，而現(xiàn)有的方法大多是將機(jī)理模型與數(shù)據(jù)驅(qū)動模型疊加構(gòu)成一個新的預(yù)測模型，數(shù)據(jù)與機(jī)理之間關(guān)聯(lián)較弱，難以有效整合各自的優(yōu)勢，因此預(yù)測精度較低，特別是在變工況預(yù)測的情況下。

由于刀具切削過程的不確定性和磨損過程的復(fù)雜性，現(xiàn)存的磨損機(jī)理僅能近似表達(dá)刀具磨損的規(guī)律。因此對于刀具磨損融合預(yù)測模型，數(shù)據(jù)與機(jī)理的融合不應(yīng)過于簡單直接。一種較為可行的方法是以數(shù)據(jù)驅(qū)動模型為主體，通過將含有物理知識的懲罰項引入模型損失函數(shù)以約束模型的求解空間，如圖1 所示。圖中：hstart表示模型的初始狀態(tài)，hI表示模型通過經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險最小化獲得的解（在有限的數(shù)據(jù)下獲得的最優(yōu)解），h*表示模型通過期望風(fēng)險最小化獲得的解（在無限的數(shù)據(jù)下獲得的最優(yōu)解），H表示模型的解空間，H′表示在磨損機(jī)理約束下模型解空間，Eest表示模型hI與h*預(yù)測誤差的差值。

圖1 機(jī)理約束數(shù)據(jù)驅(qū)動模型解空間Fig.1 Solution space of data-driven model constrained by mechanism

Raissi 等［19］提出一套模型融合框架，被稱作Physics-informed neural networks（PINNs），用于求解偏微分方程的正問題和逆問題。在這套框架中，微分方程的解被表示成一個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，將微分方程及其初始條件和邊界條件引入網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的損失函數(shù)，從而約束網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的搜索空間。受此方法的啟發(fā)，利用刀具磨損機(jī)理來約束數(shù)據(jù)驅(qū)動模型的解空間是一種有效手段。然而在構(gòu)建PINN 融合預(yù)測模型時，數(shù)據(jù)驅(qū)動模型受到變工況下數(shù)據(jù)分布變化的影響，磨損機(jī)理也由于存在大量的近似簡化，不能精確描述刀具磨損過程，這意味著并非所有的監(jiān)測數(shù)據(jù)和磨損機(jī)理對建立準(zhǔn)確的刀具磨損預(yù)測模型都能起到積極作用。而現(xiàn)有基于PINN 的數(shù)據(jù)與機(jī)理融合預(yù)測模型難以有效區(qū)別利用二者所提供的信息以實(shí)現(xiàn)監(jiān)測數(shù)據(jù)與磨損機(jī)理的有效融合，因此難以實(shí)現(xiàn)變工況下刀具磨損的精確穩(wěn)定預(yù)測。

針對上述問題，為了提高變工況下刀具磨損預(yù)測的精度和穩(wěn)定性，本文在建立基于PINN 的刀具磨損融合預(yù)測模型的基礎(chǔ)上，提出了一種基于元學(xué)習(xí)的模型優(yōu)化方法，以實(shí)現(xiàn)變工況下的刀具磨損精確穩(wěn)定預(yù)測。

2 基于元PINN 的數(shù)據(jù)與機(jī)理融合刀具磨損預(yù)測方法

2.1 方法介紹

數(shù)據(jù)驅(qū)動的和基于機(jī)理的刀具磨損預(yù)測方法均有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，數(shù)據(jù)與機(jī)理融合方法是整合二者優(yōu)點(diǎn)同時避免二者缺點(diǎn)的潛在方案。針對在刀具磨損預(yù)測中數(shù)據(jù)與機(jī)理難以有效融合的問題，本文在建立了基于PINN 的刀具磨損融合預(yù)測模型的基礎(chǔ)上，提出了基于元學(xué)習(xí)的刀具磨損融合預(yù)測模型優(yōu)化方法，通過魯棒性損失函數(shù)和極大似然估計推導(dǎo)出融合模型損失函數(shù)的加權(quán)形式以更合理地利用數(shù)據(jù)和機(jī)理，進(jìn)而使用元學(xué)習(xí)算法學(xué)習(xí)損失函數(shù)參數(shù)和模型參數(shù)，讓模型整合從不同工況數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)到的知識，提高模型的泛化性能，從而獲得一個能夠快速適應(yīng)新工況的預(yù)測模型。

2.2 基于PINN 的刀具磨損預(yù)測模型

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具備強(qiáng)大的擬合能力，可以擬合任何非線性函數(shù)［20］，但同時也意味著其龐大的搜索空間容易導(dǎo)致尋優(yōu)困難。因此，為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)置合理的約束是有效利用其擬合能力的有效手段。為了解決利用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合監(jiān)測信號與刀具磨損量之間復(fù)雜映射關(guān)系過程中的尋優(yōu)困難、訓(xùn)練樣本需求大的問題，本文將刀具磨損過程的物理變化規(guī)律作為先驗(yàn)知識，利用其約束預(yù)測網(wǎng)絡(luò)的求解空間。對于磨損機(jī)理的研究，相關(guān)研究人員已總結(jié)了大量經(jīng)驗(yàn)公式和領(lǐng)域知識，式（1）是對刀具磨損階段劃分規(guī)律的最佳匹配模型［9］。

式中：VB 表示刀具后刀面B區(qū)域最大磨損帶寬；t表示磨損時間；a、b、c1、c2均為常數(shù)。

圖2 基于PINN 的監(jiān)測數(shù)據(jù)與磨損機(jī)理融合預(yù)測模型Fig.2 Prediction model of monitoring data and wear mechanism fusion based on PINN

為了將刀具磨損機(jī)理公式與現(xiàn)有刀具磨損數(shù)據(jù)集中的數(shù)據(jù)相匹配，本文將磨損機(jī)理式（1）作為與監(jiān)測數(shù)據(jù)融合的磨損機(jī)理，提出基于PINN 的監(jiān)測數(shù)據(jù)與磨損機(jī)理融合模型，如圖2 所示，將機(jī)理公式作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)損失函數(shù)的正則化項，約束模型的解空間，從而提高模型的預(yù)測精度和穩(wěn)定性。圖2 中：θ為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)；t為切削時間輸入；xi為監(jiān)測信號輸入；a為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中間狀態(tài)值；θ*為優(yōu)化獲得的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)。

將磨損機(jī)理式（1）作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的正則化項加入模型的損失函數(shù)中以構(gòu)成物理約束，視為物理損失，有

式中：θ表示模型參數(shù)；λ表示微分方程式（1）的參數(shù)，即λ={a，b，c1，c2}。?y? ?t表示模型預(yù)測的刀具磨損量y?對磨損時間t的偏微分。物理損失的構(gòu)建基于以微分方程形式表達(dá)的磨損機(jī)理公式，由于機(jī)理式（1）只與磨損時間相關(guān)，因此無邊界條件用于構(gòu)建物理約束，而磨損機(jī)理的初始條件為：磨損時間為零，刀具磨損量為零，這可以體現(xiàn)在數(shù)據(jù)部分的損失項中，因此無須再構(gòu)建初始條件的物理約束。將刀具磨損量預(yù)測誤差視為數(shù)據(jù)損失，有

式中：y表示刀具磨損量標(biāo)簽值，物理損失和數(shù)據(jù)損失共同構(gòu)建模型總的目標(biāo)函數(shù)

2.3 基于元學(xué)習(xí)的刀具磨損融合預(yù)測模型優(yōu)化方法

融合模型的求解問題屬于多目標(biāo)優(yōu)化問題。大量研究表明，對于多目標(biāo)優(yōu)化模型，模型訓(xùn)練過程中對各個目標(biāo)的平衡直接影響著模型的收斂速度和整體性能［21］，特別是當(dāng)各個目標(biāo)對模型整體性能貢獻(xiàn)不確定時。因此本節(jié)考慮通過為融合模型損失函數(shù)加權(quán)的方式來合理利用監(jiān)測數(shù)據(jù)與磨損機(jī)理，以最大化它們對模型性能的貢獻(xiàn)。簡單的做法是將損失函數(shù)的多個組分進(jìn)行加權(quán)求和，通過手動試錯的方式尋找各組分權(quán)重的最佳組合，即

式中：Ltotal為模型總的損失函數(shù)；Li為模型各部分損失；λi為各部分損失的權(quán)重系數(shù)。

然而這種做法明顯的缺陷在于各組分權(quán)重的組合數(shù)量十分龐大，并且權(quán)重變化與模型性能之間的關(guān)系不一定是線性單調(diào)，因此難以尋找到最優(yōu)的權(quán)重組合。特別是當(dāng)損失函數(shù)組分較多或權(quán)重調(diào)整劃分的粒度較小時，使用這種方法需要消耗大量時間和計算資源。基于以上認(rèn)識，本節(jié)考慮讓模型自適應(yīng)優(yōu)化各部分損失的權(quán)重參數(shù)，即

式中：λD、λP分別為數(shù)據(jù)部分損失和機(jī)理部分損失的加權(quán)參數(shù)，r(λD，λP)表示針對參數(shù)λD、λP的正則化項。引入可訓(xùn)練變量λD、λP對模型兩項損失進(jìn)行加權(quán)是平衡損失，區(qū)別利用兩部分信息的初步設(shè)想，但簡單引入可訓(xùn)練變量λD、λP訓(xùn)練模型缺乏理論依據(jù)，可能導(dǎo)致模型在訓(xùn)練過程中不收斂，從而無法達(dá)到預(yù)期效果。因此，文中基于一種魯棒性損失以及極大似然估計推導(dǎo)給出融合模型損失函數(shù)合理的加權(quán)形式。而后針對變工況環(huán)境下預(yù)測模型的泛化性問題，對現(xiàn)有的元學(xué)習(xí)算法進(jìn)行了適當(dāng)?shù)母倪M(jìn)，使模型能夠從不同工況數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)到更準(zhǔn)確的融合規(guī)律，提高模型的預(yù)測精度和穩(wěn)定性，其思路如圖3 所示。圖3中參數(shù)含義同圖2。

圖3 基于元學(xué)習(xí)的刀具磨損預(yù)測模型優(yōu)化思路Fig.3 Optimization method of tool wear prediction model based on ML

2.3.1 融合模型損失函數(shù)設(shè)計

對于損失函數(shù)加權(quán)問題，Barron 在文獻(xiàn)［22］中提出的自適應(yīng)魯棒損失函數(shù)具有一定的參考意義，有

該損失函數(shù)由a、c兩個主要參數(shù)控制，其中a∈R，控制損失函數(shù)對監(jiān)測數(shù)據(jù)中離群樣本的魯棒性，c＞0 控制了預(yù)測殘差ε在零附近的聚集程度。當(dāng)參數(shù)a為特定值時，式（7）所展示的損失函數(shù)將退化為或逼近特定的損失函數(shù)，如均方根誤差損失函數(shù)，平均絕對誤差損失函數(shù)等。

自適應(yīng)魯棒損失具有較好的性質(zhì)，其對殘差ε、參數(shù)a、參數(shù)c均是可導(dǎo)的，并且損失函數(shù)對殘差ε的偏導(dǎo)數(shù)恒大于等于零。因此使用梯度下降算法對使用該魯棒損失的模型進(jìn)行優(yōu)化是一種合理的手段。另外，由于損失函數(shù)對參數(shù)a的偏導(dǎo)數(shù)恒大于等于零，因此模型如果單純使用式（7）所表示的損失函數(shù)將會使得參數(shù)a不斷減小以降低損失值，這會導(dǎo)致模型不能專注于降低預(yù)測誤差。針對以上問題，可以從極大似然的角度給出模型損失函數(shù)更為完善的形式［22］。式（7）所表示的損失函數(shù)對應(yīng)的概率密度函數(shù)為

通過負(fù)對數(shù)極大似然變換，可以得到自適應(yīng)魯棒損失函數(shù)的完善形式為

式中ε=y-f(θ，X)。因此損失函數(shù)可改寫為

本文提出監(jiān)測數(shù)據(jù)與磨損機(jī)理融合的刀具磨損預(yù)測模型為一個多目標(biāo)優(yōu)化模型，用f1(θ，X，t)表示模型輸出的磨損量，f2(θ，X，t)表示輸出對時間輸入t的導(dǎo)數(shù)，即

由于f2(θ，X，t)表示模型輸出f1(θ，X，t)對時間輸入t的導(dǎo)數(shù)，f2(θ，X，t)僅與輸入（X，t）相關(guān)，與輸出f1(θ，X，t)無關(guān)，因此，可以將多目標(biāo)似然函數(shù)進(jìn)行分解為

因此，模型總的損失函數(shù)可以表示為

通過最小化模型的損失函數(shù)來訓(xùn)練模型來獲得模型的參數(shù)。在訓(xùn)練過程中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)θ，以及損失函數(shù)參數(shù)λ={λD，λP}={{a1，c1}，{a2，c2}}均由網(wǎng)絡(luò)從數(shù)據(jù)中自適應(yīng)學(xué)習(xí)獲得。由上文所述，參數(shù)a的變化可以調(diào)控模型對離群樣本的敏感性，保證模型的魯棒性。而參數(shù)c則可看作損失項的加權(quán)參數(shù)，當(dāng)依賴監(jiān)測數(shù)據(jù)的預(yù)測結(jié)果中存在大量噪聲，即c1增大時，1c21減小，說明監(jiān)測數(shù)據(jù)對模型準(zhǔn)確預(yù)測刀具磨損貢獻(xiàn)不大，此時模型對數(shù)據(jù)驅(qū)動部分損失的注意力降低，即降低對監(jiān)測數(shù)據(jù)的置信度，這對于機(jī)理損失同理。損失函數(shù)的后兩項則充當(dāng)正則化項防止模型在訓(xùn)練過程中為了減小整體損失值而使損失函數(shù)參數(shù)單調(diào)變化，使模型忽略輸入的作用，從而導(dǎo)致模型訓(xùn)練的結(jié)果不理想。

2.3.2 基于元學(xué)習(xí)的損失函數(shù)優(yōu)化方法

由于本文方法旨在變工況場景下實(shí)現(xiàn)監(jiān)測數(shù)據(jù)與磨損機(jī)理有效融合，從而達(dá)到刀具磨損精確穩(wěn)定預(yù)測，因此為了讓模型整合從不同工況數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)到的知識，提高模型的泛化性能，從而獲得一個能夠快速適應(yīng)新工況數(shù)據(jù)的模型。本節(jié)在無模型元學(xué)習(xí)算法［23］的基礎(chǔ)上做出針對融合模型的改進(jìn)，通過內(nèi)外循環(huán)交替訓(xùn)練模型。在外層循環(huán)中，模型學(xué)習(xí)損失參數(shù)λ以及元模型參數(shù)θ。在內(nèi)層循環(huán)中，模型以元模型參數(shù)θ作為每個基模型參數(shù)θi的初始值，固定損失參數(shù)λ，通過若干次迭代更新基模型參數(shù)θi。

根據(jù)元學(xué)習(xí)算法的雙層優(yōu)化問題框架［24］，首先給出了針對本文問題的求解表達(dá)形式，有

基于元學(xué)習(xí)的融合模型訓(xùn)練算法如下：

對于內(nèi)循環(huán)優(yōu)化基模型參數(shù)θ′i，由于式（14）表示的損失函數(shù)對基模型參數(shù)可微，因此使用梯度下降更新基模型參數(shù)θ′i，當(dāng)內(nèi)循環(huán)迭代次數(shù)為1時，θ′i只將元模型參數(shù)θ作為初始值進(jìn)行1 次更新獲得，而當(dāng)內(nèi)循環(huán)次數(shù)大于1 時，θ′i作1 次更新后將其上一次更新結(jié)果作為下一次更新的初始值。對于外循環(huán)優(yōu)化損失參數(shù)λ與元模型參數(shù)θ，式（14）表示的損失函數(shù)對λ、θ均可微，因此可同時使用梯度下降算法進(jìn)行更新。

以上算法詳細(xì)描述了融合模型的訓(xùn)練過程，當(dāng)模型訓(xùn)練完成后，可以獲得在所有訓(xùn)練工況數(shù)據(jù)上表現(xiàn)良好的模型初始化參數(shù)θ以及損失函數(shù)參數(shù)λ。當(dāng)面對新工況的樣本數(shù)據(jù)Tnew時，可以直接使用訓(xùn)練好的模型進(jìn)行磨損預(yù)測，即

式中y?表示刀具磨損預(yù)測值。而當(dāng)新工況中有少量帶標(biāo)簽樣本時，還可以使用這些樣本對模型參數(shù)θ使用少量步驟的梯度下降進(jìn)行微調(diào)，從而提高模型對新工況數(shù)據(jù)的適應(yīng)性，即為元測試過程，基于元學(xué)習(xí)的融合模型測試算法如下：

3 實(shí)例驗(yàn)證與分析

3.1 驗(yàn)證設(shè)計

本文設(shè)計多組鈦合金銑削實(shí)驗(yàn)采集銑削過程中產(chǎn)生的信號以及刀具磨損量標(biāo)簽。在此基礎(chǔ)上對比融合模型和優(yōu)化后的融合模型的預(yù)測精度和預(yù)測穩(wěn)定性，以此驗(yàn)證本文所提出的數(shù)據(jù)與機(jī)理融合的刀具磨損預(yù)測方法的有效性。本文以通過域?qū)狗绞接?xùn)練的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為數(shù)據(jù)驅(qū)動模型［25］，將源工況由一個擴(kuò)展到多個，在此基礎(chǔ)上融合磨損機(jī)理進(jìn)行對比驗(yàn)證。域?qū)股窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)可以從原始監(jiān)測信號中提取與刀具磨損量相關(guān)性強(qiáng)，與工況信息相關(guān)性弱的信號特征，更好地實(shí)現(xiàn)變工況刀具磨損預(yù)測。

3.1.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)備與數(shù)據(jù)

圖4 實(shí)驗(yàn)設(shè)備Fig.4 Experimental device

本文加工實(shí)驗(yàn)全程在DMG 80P 數(shù)控加工中心上完成，實(shí)驗(yàn)過程中使用傳感器采集力信號、振動信號及主軸功率信號，整體實(shí)驗(yàn)設(shè)備及裝置如圖4 所示。力信號由Pro-micron 公司的Spike 測力刀柄進(jìn)行采集，采集信號包括刀具主軸繞x軸的彎矩Mx、繞y軸的彎矩My和繞z軸的扭矩Tz。振動信號由KSI-108M500 加速度傳感器進(jìn)行采集，采集信號包括水平2 個方向的振動。力信號和振動信號通過NI-PXIe-1073 數(shù)據(jù)采集平臺進(jìn)行匯集。主軸功率信號作為機(jī)床內(nèi)部PLC（Programmable logic controller）寄存器中的數(shù)據(jù)通過OPC-UA（OLE for process control-unified architecture）通信協(xié)議實(shí)時讀取。上述幾種信號數(shù)據(jù)通過1 套基于Lab-VIEW 開發(fā)的軟件系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)時同步［26］，采樣頻率為300 Hz。因此，本文使用的監(jiān)測信號數(shù)據(jù)為包含3 個通道力信號（主軸繞x軸的彎矩、繞y軸的彎矩和繞z軸的扭矩）、2 個通道振動信號（水平2 個方向的振動）和1 個通道主軸功率信號在內(nèi)的6 個通道信號。刀具磨損標(biāo)簽值通過采用西尼科XK-T600V 工業(yè)無線顯微鏡（測量精度0.01 mm）進(jìn)行測量，磨損值范圍為0～0.3 mm［27］。將監(jiān)測信號和磨損時間作為模型的輸入，以刀具磨損作為輸出進(jìn)行訓(xùn)練，訓(xùn)練數(shù)據(jù)只需滿足以上輸入輸出形式即可。為了使模型適用于目標(biāo)工況刀具的全磨損周期，源工況的監(jiān)測數(shù)據(jù)需要包含刀具的全生命周期的磨損數(shù)據(jù)。

為了驗(yàn)證本文所提出的方法在實(shí)際加工過程中應(yīng)對多種工況變化的有效性，設(shè)計了包括切削參數(shù)變化、刀具直徑變化和刀具材料變化在內(nèi)的4 組銑削實(shí)驗(yàn)，銑削類型為型腔銑削，型腔的大小為60 mm×50 mm×20 mm（長×寬×深）。4 組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對應(yīng)的切削參數(shù)與刀具參數(shù)如表1 所示，工件材料均為TC4 鈦合金。值得注意的是，在實(shí)際生產(chǎn)加工中，不同直徑的刀具所適用的切削參數(shù)一般不同，所以刀具直徑變化的同時往往也伴隨著切削參數(shù)的變化。刀具材料變化在實(shí)際加工中也十分常見，相比于整體硬質(zhì)合金刀具，高速鋼刀具切削刃硬度和強(qiáng)度都更低，適用的切削參數(shù)就更小一些。

表1 切削參數(shù)與刀具參數(shù)Table 1 Cutting parameters and tool parameters

通過對監(jiān)測信號進(jìn)行時序采樣，以576 個采樣點(diǎn)為1 個采樣周期獲得1 個樣本，樣本的標(biāo)簽值通過線性插值獲取。各個加工工況的樣本數(shù)量如表2 所示。為了評估和優(yōu)化模型的性能，每個工況都隨機(jī)抽取60%的樣本作為訓(xùn)練集，20%的樣本作為驗(yàn)證集，20%的樣本作為測試集。

表2 各工況樣本數(shù)量Table 2 Number of samples of each cutting condition

3.1.2 模型訓(xùn)練設(shè)置

模型采用3 種工況數(shù)據(jù)進(jìn)行作為源工況數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，1 種工況數(shù)據(jù)作為目標(biāo)工況數(shù)據(jù)進(jìn)行測試。數(shù)據(jù)驅(qū)動模型輸入僅為從監(jiān)測信號中提取的特征，融合模型在信號特征的基礎(chǔ)上加入磨損時間以便融入磨損機(jī)理。通過手動試錯的方式多次調(diào)整超參數(shù)，最終確定使網(wǎng)絡(luò)性能達(dá)到最優(yōu)的超參數(shù)為：梯度下降算法為Adam，每次迭代的樣本批次大小為128，學(xué)習(xí)率為0.001，網(wǎng)絡(luò)迭代次數(shù)為2 000次。模型只有在離線訓(xùn)練過程中需要耗費(fèi)一定的計算資源和計算時間，在測試以及實(shí)際應(yīng)用時效率較高。在加工過程中，模型能夠保證刀具磨損量的在線實(shí)時預(yù)測。

3.2 驗(yàn)證結(jié)果與分析

3.2.1 性能評價指標(biāo)

本文分別從預(yù)測精度和預(yù)測穩(wěn)定性兩方面驗(yàn)證所提出的方法的有效性，采用平均絕對誤差（Mean absolute error，MAE）作為量化評價預(yù)測精度的指標(biāo)

采用誤差的標(biāo)準(zhǔn)差（Standard deviation，STD）作為量化評價預(yù)測穩(wěn)定性的指標(biāo)

式中εi=?-yi表示預(yù)測誤差。

3.2.2 融合模型優(yōu)化驗(yàn)證

在PINN 的基礎(chǔ)上，本文對模型的損失函數(shù)進(jìn)行了合理的改進(jìn)，采用元學(xué)習(xí)算法優(yōu)化模型訓(xùn)練的過程，以提高融合模型的性能。為了驗(yàn)證對融合模型優(yōu)化的有效性，本文對比了融合模型與元融合模型（Meta-PINN）的預(yù)測結(jié)果，如圖5 所示?？傮w上，元融合模型在預(yù)測精度和預(yù)測穩(wěn)定性上都優(yōu)于融合模型。通過計算，元融合模型的MAE 與STD的都低于融合模型。在預(yù)測精度方面，元融合模型在4個工況樣本上的平均預(yù)測誤差MAE 為0.021 mm，而融合模型為0.031 mm，模型的平均預(yù)測精度提升了近32%。在預(yù)測穩(wěn)定性方面，元融合模型在4種工況樣本上的平均預(yù)測誤差的標(biāo)準(zhǔn)差STD 為0.015 mm，而融合模型為0.018 mm，模型的平均預(yù)測穩(wěn)定性提升了近17%。

圖5 PINN 與Meta-PINN 預(yù)測結(jié)果對比Fig.5 Comparison of prediction results between PINN and Meta-PINN

為了更加直觀且從細(xì)節(jié)上體現(xiàn)優(yōu)化方法的有效性，給出了實(shí)際磨損曲線與模型預(yù)測磨損曲線，以及預(yù)測誤差對比結(jié)果，如圖6 所示。從圖6 中可以看出，融合模型經(jīng)過優(yōu)化，預(yù)測誤差的最大值大多都有降低，預(yù)測誤差中大于0.05 mm 的樣本數(shù)量基本都降低至10%以下，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文方法的實(shí)用性。

圖6 實(shí)際磨損曲線與預(yù)測磨損曲線的對比Fig.6 Comparison between actual wear curves and predicted wear curves

4 結(jié)論

刀具磨損的精確穩(wěn)定預(yù)測在航空航天制造中具有重要意義。數(shù)據(jù)驅(qū)動和基于機(jī)理的刀具磨損預(yù)測方法都由于自身存在的問題難以實(shí)現(xiàn)變工況的刀具磨損精確穩(wěn)定預(yù)測，數(shù)據(jù)與機(jī)理融合方法具備機(jī)理模型和數(shù)據(jù)驅(qū)動模型的優(yōu)勢，是實(shí)現(xiàn)刀具磨損預(yù)測的有效手段。然而現(xiàn)有的融合方法在模型訓(xùn)練過程中難以有效平衡對數(shù)據(jù)和機(jī)理的利用，導(dǎo)致融合效果欠佳。針對以上問題，本文在建立了基于PINN 的刀具磨損融合預(yù)測模型的基礎(chǔ)上，提出了一種基于元學(xué)習(xí)的刀具磨損融合預(yù)測模型優(yōu)化方法，通過魯棒性損失函數(shù)和極大似然估計推導(dǎo)出融合模型損失函數(shù)的加權(quán)形式以更合理利用數(shù)據(jù)和機(jī)理，進(jìn)而使用元學(xué)習(xí)算法學(xué)習(xí)損失函數(shù)參數(shù)和模型參數(shù)，提高模型的泛化性能，從而獲得一個能夠快速適應(yīng)新工況的預(yù)測模型，以實(shí)現(xiàn)變工況下的刀具磨損精確穩(wěn)定預(yù)測。最后，方法的有效性在鈦合金銑削實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集上進(jìn)行了驗(yàn)證。本文的主要貢獻(xiàn)在于：

（1）通過魯棒性損失函數(shù)以及極大似然估計設(shè)計融合模型的損失函數(shù)，進(jìn)而使用元學(xué)習(xí)算法優(yōu)化融合模型的學(xué)習(xí)過程，提高了融合模型變工況下的預(yù)測精度和穩(wěn)定性。

（2）實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，通過基于元學(xué)習(xí)的優(yōu)化算法對融合模型進(jìn)行優(yōu)化，融合模型的預(yù)測精度和穩(wěn)定性提高了32%和17%。

由于實(shí)驗(yàn)條件的限制，本文方法融合的機(jī)理為較為簡單的刀具磨損經(jīng)驗(yàn)公式，后續(xù)可針對更復(fù)雜的磨損機(jī)理設(shè)計相應(yīng)的銑削實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步提升融合模型的預(yù)測效果。另外，本文方法對工況范圍有一定的要求，對于工件材料變化或切削參數(shù)變化更劇烈的工況，本文方法還存在一定的局限性，若要試圖擴(kuò)大適用范圍，則需要采集更多變工況下的監(jiān)測數(shù)據(jù)。