吳則良，葉建川，王江，金忍

(北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081)

0 引言

隨著計算流體力學(xué)的發(fā)展，氣動外形優(yōu)化在飛行器的設(shè)計中變得越來越重要，其中氣動外形的參數(shù)化設(shè)計對氣動外形優(yōu)化起到至關(guān)重要的作用。良好的氣動外形參數(shù)化設(shè)計方法需要滿足在設(shè)計區(qū)間內(nèi)以更少的設(shè)計參數(shù)覆蓋更大的變形范圍(尺度)，以滿足優(yōu)化和創(chuàng)新設(shè)計的要求。

傳統(tǒng)的翼型和機翼形狀表征大多基于高維度的描述參數(shù)，如形函數(shù)線性擾動法、正交基函數(shù)法、自由變形法、特征參數(shù)描述(PARSEC)法和類別形狀函數(shù)變換(CST)法等。在氣動外形優(yōu)化中，越大的設(shè)計空間和越多的參數(shù)變量能夠覆蓋越大的優(yōu)化目標變化范圍。但設(shè)計空間尺度和參數(shù)變量維度的增加會導(dǎo)致設(shè)計空間急劇膨脹，增加計算流體力學(xué)消耗的時間成本，同時增大遺傳算法等智能全局搜索的優(yōu)化算法尋找最優(yōu)解的難度。目前部分學(xué)者采用代理模型的方法來解決這類高維度高計算成本的優(yōu)化問題。Iuliano通過對比直接優(yōu)化和代理模型優(yōu)化，發(fā)現(xiàn)使用代理模型優(yōu)化可有效減少計算流體動力學(xué)(CFD)的計算次數(shù)。但在代理模型的建立過程中，設(shè)計變量越多，建立具有合理精度的代理模型所需要的樣本點就越多，所需樣本數(shù)量也會隨之呈指數(shù)倍增加，出現(xiàn)“維度災(zāi)難”的問題。

為解決該類問題，目前一部分學(xué)者采用改進的代理模型。Han等提出了變保真度的分層Kriging代理模型，對RAE2822翼型和三維運輸機外形進行氣動優(yōu)化。另一部分學(xué)者提出了對設(shè)計變量進行降維的再優(yōu)化求解。Wu等采用基于本征正交分解(POD)的方法對CST翼型描述方法進行降維處理，并證明了POD方法降維前后的翼型參數(shù)化方法在描述目標變化尺度具有同等的效果。

本文采用深度自動編碼(DAE)算法對翼型描述參數(shù)進行降維，結(jié)果顯示相對于POD算法，DAE算法能夠適用更少的參數(shù)達到同樣的參數(shù)降維效果。隨后，采用基于DAE算法和Kriging代理模型的優(yōu)化設(shè)計方法對RAE2822翼型進行跨聲速來流下的減阻設(shè)計。結(jié)果顯示，DAE算法相對于POD算法具有更優(yōu)的參數(shù)降維能力，并可顯著提升基于代理模型的翼型優(yōu)化設(shè)計效率。

1 翼型參數(shù)降維設(shè)計

1.1 翼型庫建立

在進行翼型的幾何參數(shù)降維之前，需要先對翼型進行參數(shù)化描述并建立翼型數(shù)據(jù)庫，常用的翼型參數(shù)化方法有PARSEC方法、Hick-Henne方法、正交基函數(shù)法、CST方法等。廖炎平等對幾種翼型參數(shù)化方法擬合精度進行了對比研究，結(jié)果表明CST方法擬合精度較高，能產(chǎn)生連續(xù)光滑的幾何外形。因此本文在翼型參數(shù)化過程選用CST方法。

CST方法是Kulfan提出的通過擬合翼型上下表面坐標點來描述翼型的一種方法，由于其良好的魯棒性與精度，廣泛運用于各類翼型參數(shù)化研究中。CST方法對翼型上下表面坐標點的描述規(guī)則如下：

(1)

通常在使用CST方法對翼型進行擬合時，CST參數(shù)維數(shù)設(shè)置越高，對翼型擬合效果越好，但過高維度的參數(shù)也將增加計算成本。本文采用18維的CST方法對RAE2822翼型進行描述，以擬合前后翼型上下表面坐標點的殘差衡量翼型的擬合精度。經(jīng)CST方法擬合對RAE2822翼型的擬合效果以及殘差如圖1和圖2所示，可見其上下表面擬合前后坐標點的殘差均控制在10以內(nèi)，認為CST方法滿足翼型參數(shù)化要求。

圖1 基于CST方法的RAE2822翼型擬合結(jié)果Fig.1 RAE2822 airfoil fitting resultsobtained by CST method

圖2 基于CST方法的RAE2822翼型擬合殘差(橫坐標-1～0代表翼型下表面，0～1代表翼型上表面)Fig.2 Fitting residual of RAE2822 airfoil obtained by CST method(-1-0:the lower surface；0-1:the upper surface)

為保證翼型優(yōu)化過程中生成新翼型的合理性，需要對每種翼型參數(shù)化方法設(shè)計變量設(shè)置一定的上下界，工程上一般認為±10%～±20%可以滿足要求。為提高翼型優(yōu)化效果，本文在RAE2822翼型的擬合基礎(chǔ)上選擇設(shè)計變量的上下邊界(±20%)作為設(shè)計空間，并基于拉丁超次方抽樣方法生成用于參數(shù)降維訓(xùn)練的翼型數(shù)據(jù)庫。拉丁超次方抽樣方法是一種分層隨機抽樣，能夠確保對每個變量范圍的全覆蓋。生成的翼型設(shè)計空間如圖3所示。

圖3 基于CST方法的翼型設(shè)計空間Fig.3 Airfoil design space based on CST method

數(shù)據(jù)庫中的翼型可以用個二維坐標點統(tǒng)一表示，其中每個翼型的坐標保持一致，因此翼型數(shù)據(jù)庫可以用其中各翼型的坐標(()=[,,…,])來表示，此處是一個×階矩陣，其中為數(shù)據(jù)庫中的翼型個數(shù)，代表每一個翼型特征點的個數(shù)。本文采用RAE2822翼型為基礎(chǔ)翼型，其二維坐標采用NASA翼型數(shù)據(jù)庫數(shù)據(jù)，有=130。

1.2 參數(shù)降維方法

1.2.1 本征正交分解法

POD法是一種用于獲得高維數(shù)據(jù)的低維近似的數(shù)據(jù)分析方法，在1933年首次由Hotelling正式提出，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于各學(xué)科領(lǐng)域。POD通過降低數(shù)據(jù)重要性，可以實現(xiàn)將數(shù)據(jù)庫中的數(shù)據(jù)分解為一組正交基函數(shù)。假設(shè)有個不相關(guān)的數(shù)據(jù)，每個數(shù)據(jù)都可以用一個維特征向量()()表示，則這組數(shù)據(jù)可定義×階矩陣(×)。POD的原理是用維數(shù)更少的矩陣′(′×′)來表示描述的線性空間，即′≤。Chatterjee對POD降維算法進行了詳細推導(dǎo)和分析，其可轉(zhuǎn)化為如下約束極值問題：

(2)

式中：|·，·|和(·，·)分別為內(nèi)積運算和內(nèi)積運算的范數(shù)運算；()為基向量構(gòu)成的矩陣的元素，=[,,…,()]。(2)式也可以通過在核函數(shù)和基向量之間定義核函數(shù)和算子來表征，即

=λ

(3)

式中：(×)為的協(xié)方差矩陣；為矩陣的特征根。

中的每個元素可通過(4)式計算得到：

(4)

顯然，是一個對稱的非負矩陣，并具有一組特征根()和特征向量()。依據(jù)特征根()將特征向量()排列，可求得系數(shù)矩陣。

降維后的矩陣′可通過(5)式求得：

′=·

(5)

式中：為系數(shù)矩陣的前′列。

1.2.2 基于DAE的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型法

自動編碼器的概念最早由Rumelhart等在1986年提出，它最初作為一種數(shù)據(jù)壓縮算法被用作處理高維復(fù)雜數(shù)據(jù)，具有如下特性：

1)數(shù)據(jù)相關(guān)特性，DAE可以用來壓縮與編碼特征分布相似于訓(xùn)練樣本的數(shù)據(jù)，應(yīng)用到翼型描述參數(shù)的降維是合理的；

2)自編碼器的數(shù)據(jù)壓縮是有損的，在本文中用于簡化翼型數(shù)據(jù)的描述，可實現(xiàn)快速概念設(shè)計。

3)自動編碼器能夠從訓(xùn)練數(shù)據(jù)中自動學(xué)習(xí)特征壓縮與編碼，減輕概念設(shè)計階段的計算工作，且該方法具有一定通用價值，不依賴于特定翼型結(jié)構(gòu)。

DAE主要由兩部分組成，一是編碼器=()，用于將輸入數(shù)據(jù)壓縮成一個維數(shù)較小的碼向量，也稱為隱層；二是解碼器，用于生成重構(gòu)函數(shù)=()，用來將編碼的矢量還原為原始的輸入數(shù)據(jù)。在訓(xùn)練過程中，需要為DAE設(shè)置損失函數(shù)，測量解碼器恢復(fù)數(shù)據(jù)的程度或由于特征壓縮造成的信息丟失。編碼和解碼網(wǎng)絡(luò)中的參數(shù)可通過采用隨機梯度下降等算法，通過最小化損失函數(shù)來求得。

近年來，隨著計算機性能的提升，深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練成為可能。2012年，Krizhevsky等使用先進的非線性單位、正則化技術(shù)取得了優(yōu)秀的訓(xùn)練效果。2015年，Ioffe等提出的批標準化技術(shù)可以有效地訓(xùn)練更深層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。2016年，Cheng等提出了殘差網(wǎng)絡(luò)，使任何深度的網(wǎng)絡(luò)都能進行有效訓(xùn)練。

與自動編碼器相比，DAE增加了深度，提高了學(xué)習(xí)能力，更有利于預(yù)訓(xùn)練。如圖4所示，對于一個由5層結(jié)構(gòu)構(gòu)成的DAE，隱層的節(jié)點數(shù)量先降低再升高，最終只需要得到矢量[]和解碼層的參數(shù)就可以輸出最終的重構(gòu)數(shù)據(jù)，其中為DAE網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)隱層中的參數(shù)。

圖4 DAE網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.4 DAE network structure

1.3 翼型參數(shù)降維

1.3.1 基于POD的翼型參數(shù)降維

(6)

圖5 POD基向量對于數(shù)據(jù)降維的貢獻值和累計貢獻值Fig.5 Contribution and cumulative contribution of basis vectors of POD to data dimensionality reduction

在翼型庫中隨機抽取4個翼型，其經(jīng)POD-7降維前后翼型形狀對比和擬合誤差如圖6和圖7所示，可以看出經(jīng)POD-7降維后的翼型坐標點縱坐標誤差基本在±0.005以內(nèi)，滿足翼型參數(shù)擬合要求。

圖6 POD-7降維前后翼型對比Fig.6 Comparison of airfoils before and after POD-7

圖7 POD-7降維前后翼型誤差曲線Fig.7 Error curves of airfoils before and after POD-7

均方差′定義如下：

(7)

(8)

(9)

(10)

132 基于DAE的翼型參數(shù)降維

DAE模型將翼型數(shù)據(jù)庫作為輸入，如圖8所示(圖中表示隱層結(jié)構(gòu))，DAE神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包括輸入層、輸出層、隱層、編碼降維層、解碼重構(gòu)層。編碼降維層設(shè)置4層，隱層節(jié)點數(shù)為編碼降維最后一層節(jié)點數(shù)的一半。解碼重構(gòu)各層節(jié)點數(shù)與編碼降維層相對稱。

圖8 DAE神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)降維框架Fig.8 Parameter dimensionality reduction framework of DAE neural network

=1-

(11)

由(11)式可以看出，越接近于0，翼型降維前后的損失越小。本文分別對DAE神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點數(shù)為6(DAE-6)和節(jié)點數(shù)為7(DAE-7)的模型進行無監(jiān)督訓(xùn)練，DAE-6訓(xùn)練過程的隨迭代步數(shù)變化如圖9所示。

圖9 loss隨迭代步數(shù)變化曲線Fig.9 loss versus iterative step

經(jīng)DAE-6模型進行訓(xùn)練前后翼型對比如圖10和圖11所示，可以看出降維前后翼型的擬合誤差均嚴格控制在±0005以內(nèi)，對比圖7可以看出，經(jīng)DAE-6降維后的翼型擬合誤差要顯著小于POD-7。

圖10 DAE-6降維前后翼型對比Fig.10 Comparision of airfoils before and after POD-6

圖11 DAE-6降維前后翼型誤差曲線Fig.11 Error curves of airfoils before and after DAE-6

DAE-6隱層中的翼型設(shè)計參數(shù)可以表示為

=[,,,,,]

(12)

通過分別改變每個參數(shù)，可以分析(12)式中每個變量對翼型幾何特性的影響如圖12所示。由圖12可以看出DAE-6中每個參數(shù)均對翼型的幾何特性產(chǎn)生全局影響：的變化主要影響翼型上表面最大厚度位置和下表面最大厚度位置；的變化主要影響翼型上表面最大厚度位置；的變化主要影響翼型下表面尾緣的形狀；的變化主要影響翼型上表面最大厚度以及下表面前緣半徑；的變化主要影響翼型的最大厚度；的變化主要影響翼型下表面最大厚度以及上表面尾緣的形狀。

圖12 DAE-6各參數(shù)對翼型描述的影響Fig.12 Effect of DAE-6 parameters on airfoil description

1.4 翼型參數(shù)降維效果對比

本文中所驗證的翼型參數(shù)降維方法效果如表1所示。

從表1中可以看出，進行相同維度的翼型參數(shù)降維時，DAE效果要顯著優(yōu)于POD，DAE-6可達到與POD-7相同的翼型參數(shù)降維效果。因此本文選用DAE-6和POD-7對RAE2822翼型進行參數(shù)降維與優(yōu)化設(shè)計。

表1 各方法翼型參數(shù)降維效果對比Tab.1 Effect comparison of dimensionality reduction of airfoil parameters

2 翼型優(yōu)化設(shè)計

本文針對跨聲速條件下RAE2822翼型進行減阻設(shè)計，流場相關(guān)參數(shù)設(shè)置為雷諾數(shù)=65×10，馬赫數(shù)=0734，攻角=271°。優(yōu)化設(shè)計目標與約束條件為

min

(13)

s.t.>

(14)

≤

(15)

≥

(16)

式中：為翼型阻力系數(shù)；為翼型升力系數(shù)；為翼型的俯仰力矩系數(shù)；為翼型幾何面積；、、分別為RAE2822翼型的升力系數(shù)、阻力系數(shù)和翼型橫截面積，具體參數(shù)取值如表2所示。

表2 RAE2822翼型相關(guān)氣動參數(shù)Tab.2 Aerodynamic parameters of RAE2822 airfoil

本文翼型優(yōu)化設(shè)計流程如圖13所示。在翼型優(yōu)化設(shè)計過程中，本文使用18維參數(shù)的CST方法取新的補充樣本點；在優(yōu)化過程中選用遺傳算法進行設(shè)計空間內(nèi)的尋優(yōu)。

圖13 翼型優(yōu)化設(shè)計流程圖Fig.13 Airfoil optimization design framework

(CST18)作為優(yōu)化設(shè)計的參考基準；在獲取初始翼型數(shù)據(jù)庫時，本文采用拉丁超次方抽樣，以保證對設(shè)計的幾何約束范圍實現(xiàn)全覆蓋，初始翼型數(shù)據(jù)庫中包含200個樣本；選用Kriging模型來構(gòu)建替代模型，用于減少仿真次數(shù)，提高優(yōu)化設(shè)計流程效率；利用目標函數(shù)最小化準則和最大期望提高準則獲

值得指出的是，本文對翼型數(shù)據(jù)進行降維過程中，不論選擇POD-7方法還是DAE-6方法，均會產(chǎn)生一定的仿真和訓(xùn)練時間成本，但對比構(gòu)建Kriging模型和經(jīng)遺傳算法對翼型尋優(yōu)，并利用CFD進行氣動性能仿真計算所需的時間成本，翼型數(shù)據(jù)降維環(huán)節(jié)的時間成本影響可以忽略不計，因此可以認為POD-7方法和DAE-6方法對本文翼型優(yōu)化設(shè)計與計算效率的影響無顯著差異。

翼型優(yōu)化設(shè)計結(jié)果如圖14～圖16所示。其中圖14為經(jīng)CFD仿真的各參數(shù)化方法下翼型優(yōu)化結(jié)果的阻力系數(shù)分布曲線。由圖14可以看出，經(jīng)優(yōu)化設(shè)計后的翼型在跨聲速條件下激波明顯減弱，其中經(jīng)DAE-6優(yōu)化設(shè)計的翼型在跨聲速流場下的CFD仿真壓強云圖和速度云圖如圖17和圖18(為來流速度)所示。由圖15可以看出，各參數(shù)化方法下的翼型優(yōu)化結(jié)果均與原RAE2822翼型幾何形狀有顯著差異，主要體現(xiàn)在翼型上下表面最大高度位置以及上下表面最大曲率。觀察圖16可知，相對于CST18，POD-7和DAE-6能夠顯著提升優(yōu)化收斂速度，并且DAE-6的優(yōu)化收斂速度快于POD-7，證明DAE-6在翼型優(yōu)化效率與描述潛在翼型方面的能力要更優(yōu)于POD-7。

圖14 各參數(shù)化方法下翼型優(yōu)化結(jié)果Cp分布Fig.14 Cp of airfoil optimized results of each parameterization method

圖15 各參數(shù)化方法下翼型優(yōu)化結(jié)果幾何形狀對比Fig.15 Comparison of airfoil optimized results under each parameterization methods

圖16 各參數(shù)化方法下翼型優(yōu)化過程Cp收斂情況Fig.16 Convergence of Cp in airfoil optimization process of each parameterization methods

圖17 經(jīng)DAE-6優(yōu)化后的翼型CFD仿真壓強云圖Fig.17 CFD pressure contour of airfoil optimized by DAE-6

圖18 經(jīng)DAE-6優(yōu)化后的翼型CFD仿真的速度云圖Fig.8 CFD velocity contour of airfoil optimized by DAE-6

在預(yù)設(shè)計算條件下，經(jīng)Fluent軟件對RAE2822翼型進行跨聲速流動下的氣動性能仿真計算，得出該條件下RAE2822的為0.018 5。由圖16可以看出，CST-18、POD-7和DAE-6均能滿足跨聲速流動下對RAE2822翼型的優(yōu)化設(shè)計目標，對比三者優(yōu)化設(shè)計結(jié)果，經(jīng)DAE-6降維優(yōu)化的翼型阻力系數(shù)比經(jīng)CST-18擬合優(yōu)化的降低11.61%，經(jīng)POD-7降維優(yōu)化的翼型阻力系數(shù)比經(jīng)CST-18擬合優(yōu)化的降低9.74%，證明DAE-6在該設(shè)計目標下對RAE2822翼型的減阻優(yōu)化設(shè)計效果優(yōu)于POD-7。

3 結(jié)論

本文介紹了POD和DAE兩種數(shù)據(jù)降維算法在二維翼型參數(shù)降維中的應(yīng)用，并驗證了二者均可以在允許的誤差范圍內(nèi)大幅度減少翼型描述參數(shù)的個數(shù)。本文將POD與DAE兩種方法分別與代理模型相結(jié)合，對RAE2822翼型進行跨聲速條件下的優(yōu)化設(shè)計。得出主要結(jié)論如下：

1)POD和DAE可以在使用少量變量參數(shù)條件下大幅度提升翼型優(yōu)化效率，并減小遺傳算法尋優(yōu)壓力以及減少代理模型初始樣本個數(shù)。

2)通過對比CST-18、POD-7、DAE-6對RAE2822翼型優(yōu)化優(yōu)化設(shè)計結(jié)果，證明DAE-6方法在提高優(yōu)化設(shè)計效率、降低翼型阻力系數(shù)方面效果更優(yōu)。